Ejercicios: Momento angular y fuerzas centrales

En el laboratorio de un hospital, una centrífuga hace girar un tubo de ensayo de $0,02\ \text{kg}$ que describe una circunferencia de $0,15\ \text{m}$ de radio con una rapidez de $9\ \text{m/s}$. El esquema muestra el giro visto desde arriba:

1. a) Escribe la expresión del momento angular de una partícula respecto de un punto, $L = m \cdot v \cdot r$, válida cuando la velocidad es perpendicular al radio.
2. b) Calcula el momento angular del tubo respecto del eje de giro, expresado en $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

Una atleta hace girar una honda: una piedra de $0,1\ \text{kg}$ describe una circunferencia horizontal de $0,8\ \text{m}$ de radio con una rapidez de $12\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el momento lineal de la piedra, $p = m \cdot v$.
2. b) Calcula su momento angular respecto del centro de la circunferencia, $L = m \cdot v \cdot r$.

Cuando la velocidad de una partícula es perpendicular a su vector de posición (por ejemplo, en un movimiento circular respecto al centro), el módulo de su momento angular se calcula como $L = m \cdot v \cdot r$.

1. a) A partir de las unidades de masa, velocidad y distancia, deduce la unidad del momento angular en el Sistema Internacional.
2. b) Comprueba que esa unidad equivale a $\text{J} \cdot \text{s}$ (recuerda que $1\ \text{J} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$).
3. c) A partir de la fórmula, explica qué le ocurre al momento angular de una partícula si se duplica su rapidez sin cambiar su trayectoria.

Un nanosatélite de $4\ \text{kg}$ describe una órbita circular de $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de radio alrededor de la Tierra con una rapidez de $7,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$. El esquema muestra la órbita:

1. a) Calcula su momento angular respecto del centro de la Tierra, expresando el resultado en notación científica.
2. b) Indica la dirección y el sentido del vector $\vv{L}$ respecto del plano de la órbita.

Una fuerza es central cuando su dirección pasa siempre por un punto fijo llamado centro de fuerzas. Indica cuáles de las siguientes fuerzas son centrales y cuáles no, razonando cada respuesta:

1. a) La atracción gravitatoria del Sol sobre un planeta.
2. b) La tensión de la cuerda de una bola que gira atada a un poste.
3. c) La fuerza eléctrica que el núcleo de un átomo ejerce sobre un electrón.
4. d) El rozamiento del aire sobre un satélite artificial en órbita baja.
5. e) El empuje del motor de un cohete que acelera en la dirección del movimiento.

En el modelo atómico de Bohr, el electrón de un átomo de hidrógeno describe una órbita circular de $5,3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}$ de radio con una rapidez de $2,2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ (masa del electrón: $9,1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$). El esquema representa el modelo:

1. a) Calcula el momento angular del electrón respecto del núcleo, en notación científica y con dos cifras significativas.
2. b) Indica qué fuerza actúa como fuerza centrípeta en este caso y justifica que se trata de una fuerza central.

La nave Orión, de $2,5 \cdot 10^{4}\ \text{kg}$, pasa por un punto situado a $2 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ del centro de la Luna con una rapidez de $1,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, en una dirección que forma $30^\circ$ con la recta que la une con la Luna ($\sen 30^\circ = 0,5$). La figura muestra ese instante:

1. a) Escribe la expresión general del módulo del momento angular, $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$, y explica el significado de cada término.
2. b) Calcula el momento angular de la nave respecto del centro de la Luna.
3. c) Si la nave pasara por el mismo punto con la velocidad apuntando directamente hacia la Luna, ¿cuánto valdría su momento angular? Razona la respuesta.

La Tierra describe una órbita prácticamente circular de $1,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ de radio alrededor del Sol con una rapidez de $29,8\ \text{km/s}$ (masa de la Tierra: $5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$).

1. a) Expresa la rapidez en $\text{m/s}$, en notación científica.
2. b) Calcula el momento angular orbital de la Tierra respecto del Sol, con tres cifras significativas.
3. c) Indica la dirección del vector $\vv{L}$ respecto del plano de la órbita y si este cambia a lo largo del año.

En la prueba de lanzamiento de martillo, la bola de $7,26\ \text{kg}$ gira con una rapidez de $25\ \text{m/s}$ y su momento angular respecto del eje de giro vale $290\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

1. a) Despeja el radio de giro de la expresión $L = m \cdot v \cdot r$.
2. b) Calcula el radio de giro de la bola, con dos cifras significativas.
3. c) Compara el resultado con la longitud del cable reglamentario, que es de unos $1,2\ \text{m}$, y explica a qué se debe la diferencia.

Dos cuerpos de prueba, A y B, giran en el laboratorio alrededor del mismo eje. El cuerpo A tiene una masa de $0,3\ \text{kg}$, una rapidez de $4\ \text{m/s}$ y un radio de giro de $0,5\ \text{m}$; el cuerpo B tiene una masa de $0,6\ \text{kg}$, una rapidez de $2\ \text{m/s}$ y un radio de $1\ \text{m}$. El esquema muestra ambos cuerpos vistos desde arriba:

1. a) Calcula el momento angular de cada cuerpo respecto del eje.
2. b) Calcula el cociente $\frac{L_B}{L_A}$ e interprétalo: ¿cuántas veces es mayor el momento angular de B?
3. c) Sin repetir cálculos, razona cómo cambiaría ese cociente si la rapidez de A se duplicara.

Un satélite de comunicaciones de $300\ \text{kg}$ ocupa una órbita geoestacionaria circular de $4,22 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ de radio y completa una vuelta cada $24\ \text{h}$.

1. a) Expresa el período en segundos y calcula la rapidez orbital, $v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}$.
2. b) Calcula el momento angular del satélite respecto del centro de la Tierra, en notación científica.
3. c) ¿Cómo cambiaría el resultado si el satélite fuera el doble de masivo? Justifícalo sin repetir el cálculo completo.

La Luna describe una órbita casi circular de $3,84 \cdot 10^{8}\ \text{m}$ de radio alrededor de la Tierra con un período de $27,3$ días (masa de la Luna: $7,35 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$).

1. a) Expresa el período en segundos y calcula la rapidez orbital de la Luna, $v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}$.
2. b) Calcula el momento angular orbital de la Luna respecto del centro de la Tierra, en notación científica y con tres cifras significativas.

Una partícula de abrasivo de $1\ \text{g}$ de masa está adherida al borde del disco de una amoladora, que gira con velocidad angular $\omega = 250\ \text{rad/s}$ a $5\ \text{cm}$ del eje. El esquema muestra el disco visto desde arriba:

1. a) Expresa la masa y el radio en unidades del Sistema Internacional.
2. b) Calcula la rapidez lineal de la partícula, $v = \omega \cdot r$.
3. c) Calcula su momento angular respecto del eje del disco.

Se desea situar un satélite de observación terrestre de $500\ \text{kg}$ en una órbita circular de $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de radio medido desde el centro de la Tierra. Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_{Tierra} = 5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) La única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, que actúa como fuerza centrípeta. Iguala $G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r}$ y deduce la expresión $v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$.
2. b) Calcula la rapidez orbital del satélite.
3. c) Calcula su momento angular respecto del centro de la Tierra.
4. d) Justifica, a partir del carácter central de la fuerza gravitatoria, que ese momento angular permanece constante durante toda la órbita.