Ejercicios: Reducción al primer cuadrante e identidad fundamental

En la figura se han representado los ángulos de $30º$ y $150º$ en la circunferencia goniométrica.

A la vista de la simetría de la figura, expresa $\sin 150º$ y $\cos 150º$ en función de $\sin 30º$ y $\cos 30º$, indicando el signo correcto de cada una.

Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de la razón de un ángulo del primer cuadrante, cuidando el signo:

• $\sin 210º$

• $\cos 225º$

• $\tan 240º$

Expresa cada una de estas razones trigonométricas en función de la razón de un ángulo del primer cuadrante, cuidando el signo:

• $\sin 330º$

• $\cos 315º$

• $\tan 300º$

Con ayuda de la calculadora, da el valor de estas razones con cuatro cifras decimales y comprueba la relación que se indica:

• Calcula $\sin 140º$ y $\sin 40º$. ¿Qué relación hay entre ambos valores?

• Calcula $\cos 140º$ y $\cos 40º$. ¿Qué relación hay entre ambos valores?

• Explica, con la circunferencia goniométrica, por qué ocurre lo que has observado.

Marcos está resolviendo un ejercicio en el que sabe que $\sen \alpha = 0,6$ y que el ángulo $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante ($90º < \alpha < 180º$). En su cuaderno ha escrito lo siguiente:

«Por la identidad fundamental, $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sen^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{0,64} = 0,8$. Por tanto, aplicando la fórmula de los suplementarios, $\cos(180º - \alpha) = -0,8$».

1. a) Localiza los dos errores conceptuales que ha cometido Marcos y explica, ayudándote del significado de las coordenadas en la circunferencia goniométrica, por qué están mal.
2. b) Corrige el procedimiento y calcula los valores correctos de $\cos \alpha$ y de $\cos(180º - \alpha)$.

Considera el ángulo $\beta = 200º$.

1. a) Antes de operar, estima de forma cualitativa: ¿en qué cuadrante se sitúa $\beta$? ¿Qué signos deben tener $\sen 200º$ y $\cos 200º$? Si comparas $200º$ con $180º$, ¿cuál de las dos razones (seno o coseno) esperas que tenga mayor valor absoluto?
2. b) Sabiendo que $200º = 180º + 20º$ y tomando como datos aproximados $\sen 20º \approx 0,3420$ y $\cos 20º \approx 0,9397$, calcula mediante las fórmulas de reducción al primer cuadrante los valores exactos aproximados de $\sen 200º$, $\cos 200º$ y $\tg 200º$.
3. c) Comprueba si los resultados obtenidos confirman tu estimación del apartado a) y razona por qué la tangente resulta positiva a pesar de que tanto el seno como el coseno son negativos.

Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$.

Sabiendo que $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ y de $\tan \alpha$.

Sabiendo que $\tan \alpha = 2$ y que $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$. (Pista: utiliza que $\sin \alpha = 2\cdot\cos \alpha$ y sustituye en la identidad fundamental.)

En la figura se ha representado la circunferencia goniométrica y la recta horizontal $\sin x = \frac{1}{2}$, que la corta en dos puntos.

Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\sin x = \frac{1}{2}$, razonando a partir de la figura.

Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, indicando a qué cuadrantes pertenecen.

En la figura se han representado los ángulos de $60º$ y $120º$, que son suplementarios.

Sabiendo que $\sin 60º = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ y $\cos 60º = \frac{1}{2}$, calcula $\sin 120º$ y $\cos 120º$ razonando a partir de la simetría de la figura.

Para calcular el valor exacto de $\sen(180º + \alpha)$ y de $\cos(360º - \alpha)$ sabiendo que $\tg \alpha = -2$ y que $\alpha$ está en el segundo cuadrante, dos compañeros proponen estrategias distintas:

• Carmen propone utilizar la identidad $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ para obtener $\cos \alpha$, deducir después $\sen \alpha$ con $\sen \alpha = \tg \alpha \cdot \cos \alpha$ y, finalmente, reducir los ángulos pedidos al primer cuadrante.

• Sergio propone plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $\frac{\sen \alpha}{\cos \alpha} = -2$ y $\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, despejar $\sen \alpha = -2\cos \alpha$, sustituir en la fundamental y concluir con las reducciones.

1. a) Analiza ambos métodos: ¿son los dos correctos? ¿Cuál resulta más directo y con menor riesgo de equivocarte al elegir signos?
2. b) Aplica el método que consideres más eficiente para dar el valor exacto y simplificado (con radicales) de $\sen(180º + \alpha)$ y $\cos(360º - \alpha)$.

La computadora de a bordo de un dron registra un ángulo de orientación $\theta \in [0º, 360º)$ que no se puede leer directamente por un fallo de pantalla, pero la memoria conserva dos datos fiables:

1. $\sen(180º - \theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. $\cos(-\theta) < 0$.

1. a) Deduce razonadamente a qué cuadrante pertenece el ángulo $\theta$.
2. b) Determina el valor exacto de $\theta$ en grados dentro de $[0º, 360º)$.
3. c) Escribe una ecuación trigonométrica sencilla de la forma $\cos x = k$ cuyas únicas dos soluciones en el intervalo $[0º, 360º)$ sean el ángulo $\theta$ que has hallado y su ángulo opuesto (simétrico respecto al eje horizontal).

Sabiendo que $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ y que $\alpha$ pertenece al cuarto cuadrante:

• Calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$.

• Calcula $\sin(180º - \alpha)$.

• Calcula $\cos(180º + \alpha)$.

• Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\tan x = 1$.

• Razona, con la circunferencia goniométrica, cuántas soluciones tendría la misma ecuación en el intervalo $[0º, 720º)$ y escríbelas todas.

Una alumna ha escrito esta resolución:

«Si $\cos \alpha = -0,8$ y $\alpha$ está en el segundo cuadrante, entonces:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = -0,6$»

Encuentra el error que ha cometido, explica por qué es un error y calcula correctamente $\sin \alpha$ y $\tan \alpha$.

Demuestra que, para cualquier ángulo $\alpha$, se verifica:

(Indicación: reduce primero cada razón al primer cuadrante.)

Halla todos los ángulos $x$ de $[0º, 360º)$ que verifican $\sin^2 x = \frac{1}{4}$, razonando cuántas soluciones hay y a qué cuadrantes pertenecen.

La punta de la pala de un aerogenerador describe una circunferencia de radio $1\ \text{m}$ (en unidades relativas) alrededor del eje del rotor. Si llamamos $\theta$ al ángulo que forma la pala con la horizontal, medido en sentido antihorario, la altura de la punta respecto al centro es $\sin \theta$ y su desplazamiento horizontal es $\cos \theta$.

• Completa una tabla con la altura y el desplazamiento horizontal de la punta para $\theta = 0º,\ 90º,\ 180º$ y $270º$.

• La pala gira $40$ veces por minuto. Al cabo de un tiempo, la punta está a una altura de $0,5\ \text{m}$ sobre el centro. ¿Qué valores de $\theta$ entre $0º$ y $360º$ corresponden a esa altura?

• ¿Y a una altura de $-0,5\ \text{m}$?

En un parque eólico de Albacete, una pala de aerogenerador de $40\text{ m}$ de longitud gira en sentido antihorario alrededor de su eje central (buje). Tomando el eje horizontal que pasa por el buje como referencia ($0º$ hacia la derecha), la altura vertical del extremo de la pala respecto al buje es $h(\alpha) = 40 \cdot \sen \alpha$ (en metros) y su posición horizontal es $d(\alpha) = 40 \cdot \cos \alpha$ (en metros).

Durante una revisión técnica, la pala queda detenida en una posición $\alpha$ tal que su desviación horizontal es $d = -24\text{ m}$ y el extremo de la pala se encuentra por debajo del buje ($h < 0$).

1. a) Deduce en qué cuadrante se encuentra la pala y calcula el valor exacto de $\cos \alpha$.
2. b) Utilizando la identidad fundamental de la trigonometría, calcula la altura exacta $h$ a la que se encuentra la punta de la pala respecto al buje, justificando con rigor el signo de la raíz.
3. c) Los sensores de mantenimiento solo procesan ángulos agudos $\beta \in [0º, 90º]$. Expresa $\alpha$ en la forma $\alpha = 180º + \beta$ y determina el valor exacto de $\sen \beta$, $\cos \beta$ y $\tg \beta$. ¿Qué representa geométricamente $\beta$ respecto a la posición de la pala?

Dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ del intervalo $[0º, 360º)$ pertenecen a cuadrantes distintos y satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de condiciones:

1. $\sen(180º - \alpha) + \sen(180º + \beta) = 0$.

2. $\cos(360º - \alpha) - \cos(180º - \beta) = 0$.

1. a) Aplica las fórmulas de reducción al primer cuadrante en ambas ecuaciones para obtener una relación directa entre las razones trigonométricas de $\alpha$ y las de $\beta$.
2. b) A partir del resultado anterior, deduce la relación geométrica exacta que une a los ángulos $\alpha$ y $\beta$ (¿son suplementarios, opuestos o se diferencian en $180º$?). Justifica tu conclusión analizando los signos en la circunferencia goniométrica.
3. c) Sabiendo además que $\sen \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ y que $\alpha$ está en el segundo cuadrante, halla mediante la identidad fundamental el valor exacto de $\cos \beta$ y de $\tg \beta$, razonando el signo de cada paso sin recurrir a la calculadora.