Ejercicios: Triángulos semejantes

Dos triángulos tienen, respectivamente, los siguientes ángulos: el primero tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $60^\circ$; el segundo tiene un ángulo de $60^\circ$ y otro de $75^\circ$. Determina si ambos triángulos son semejantes justificando tu respuesta en base a los criterios de semejanza.

Los lados de un triángulo miden $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Sabiendo que un segundo triángulo es semejante a este y que su lado menor mide $15\text{ cm}$, calcula la longitud de los otros dos lados del segundo triángulo.

En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, de modo que el punto $D$ pertenece al lado $AB$ y el punto $E$ al lado $AC$. Sabiendo que $AD = 4\text{ cm}$, $DB = 6\text{ cm}$ y $DE = 5\text{ cm}$, aplica el teorema de Tales en el triángulo para calcular la longitud de la base $BC$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) que miden $4\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la longitud de dicha altura $h$.

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre ella mide $3,6\text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para hallar la longitud de dicho cateto.

La razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es $k = 2,5$. Si el área del polígono menor es de $12\text{ cm}^2$, ¿cuál es el área del polígono mayor?

Determina si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, sabiendo que sus lados miden $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ y $DE = 9\text{ cm}$, $EF = 12\text{ cm}$, $FD = 15\text{ cm}$. En caso afirmativo, indica cuál es el criterio utilizado y la razón de semejanza.

Marcos tiene que determinar si dos triángulos, $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$, son semejantes. En el triángulo $\triangle ABC$, los lados miden $AB = 6\text{ cm}$, $AC = 9\text{ cm}$ y el ángulo $\hat{B} = 40^\circ$. En el triángulo $\triangle DEF$, los lados miden $DE = 4\text{ cm}$, $DF = 6\text{ cm}$ y el ángulo $\hat{E} = 40^\circ$. Marcos afirma: «Como $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{6} = 1,5$, los lados son proporcionales, y como ambos tienen un ángulo de $40^\circ$, son semejantes por el criterio LAL». Identifica y explica detalladamente el error conceptual que comete Marcos al aplicar el criterio LAL e indica qué dato angular exacto necesitarías conocer en ambos triángulos para poder garantizar con certeza su semejanza.

Se quiere diseñar un triángulo $\triangle A'B'C'$ semejante a un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ cuyos catetos miden $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$. La condición fijada es que el área del nuevo triángulo $\triangle A'B'C'$ debe ser exactamente de $96\text{ cm}^2$. Calcula primero el área del triángulo $\triangle ABC$ original y deduce razonadamente la razón de semejanza $k$ entre ambos. A partir de esa razón, determina la longitud exacta de los tres lados de $\triangle A'B'C'$ y comprueba que la relación entre sus perímetros coincide también con $k$.

Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base del edificio. Al retroceder $1,5\text{ m}$ desde el espejo, el estudiante (cuyos ojos están a $1,6\text{ m}$ del suelo) puede ver exactamente la parte más alta del edificio reflejada en él. Sabiendo que los ángulos de incidencia y reflexión en el espejo forman triángulos rectángulos semejantes, calcula la altura del edificio.

En la siguiente figura, los segmentos $DE$ y $BC$ son paralelos. Las longitudes vienen dadas por expresiones algebraicas: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, y $EC = 3\text{ cm}$. Aplica el teorema de Tales para plantear una ecuación y calcular el valor numérico de $x$.

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide $6\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de $4,5\text{ cm}$. Aplica los teoremas de la semejanza en triángulos rectángulos para calcular el perímetro y el área del triángulo completo.

Dos empresas fabrican velas triangulares semejantes para barcos de competición. El perímetro de la vela pequeña es de $12\text{ m}$ y el de la vela grande es de $18\text{ m}$. Si el área de la vela pequeña es de $6\text{ m}^2$, ¿cuál es el área de la vela grande?

Una cámara oscura (o cámara estenopeica) tiene una profundidad de $15\text{ cm}$. Se sitúa frente a un edificio que está a $30\text{ m}$ de distancia del orificio de la cámara. Si la imagen invertida del edificio que se proyecta en el fondo de la cámara tiene una altura de $12\text{ cm}$, ¿cuál es la altura real del edificio?

Para medir la anchura de un río de orillas paralelas, un topógrafo se sitúa en un punto $A$ de una orilla, justo enfrente de un árbol $B$ en la orilla opuesta. Camina $15\text{ m}$ por la orilla hasta un punto $C$ y clava un jalón. Luego camina $3\text{ m}$ más hasta el punto $D$, gira $90^\circ$ alejándose del río y camina $4\text{ m}$ hasta un punto $E$, desde el cual ve alineados el jalón $C$ y el árbol $B$. Calcula la anchura $x$ del río.

Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12\text{ cm}$ y el lado de su base mide $8\text{ cm}$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, situado a $3\text{ cm}$ del vértice. Calcula el área de la sección obtenida y el volumen de la pirámide deficiente (la pequeña pirámide superior).

En una visita cultural a la Plaza Murillo de La Paz, un grupo de estudiantes decide calcular la altura de la fachada de la Alcaldía aprovechando un día despejado mediante la proyección de sombras. Una estudiante de $1,68\text{ m}$ de estatura proyecta en ese instante una sombra sobre el suelo horizontal de $1,20\text{ m}$, mientras que la sombra del edificio mide $25\text{ m}$. Antes de hacer cálculos exactos, estima de forma justificada si la altura del edificio será mayor o menor que los $25\text{ m}$ de su sombra y propón un rango mental aproximado para dicha altura. A continuación, demuestra qué criterio geométrico garantiza la semejanza de los triángulos formados, calcula la altura real del edificio con dos decimales y comprueba si tu estimación inicial era acertada.

Durante una ruta en el Parque Natural de las Hoces del Río Duratón (Segovia), unos técnicos ambientales necesitan conocer la anchura del río entre un sauce situado en el punto $A$ (en la orilla contraria) y una baliza clavada en el punto $B$ (en su orilla, justo enfrente de $A$). Para medirlo sin cruzar el agua, marcan una línea recta por su orilla perpendicular al segmento $AB$ y clavan dos estacas: una en el punto $C$, a $24\text{ m}$ de $B$, y otra en el punto $D$, a $6\text{ m}$ de $C$ en la misma línea ($B$, $C$ y $D$ quedan alineados). Desde $D$, caminan en dirección perpendicular a la orilla alejándose del río hasta un punto $E$ desde el cual los puntos $C$ y $A$ se ven perfectamente alineados. La distancia medida de $D$ a $E$ es de $4,5\text{ m}$. Modela la situación identificando los dos triángulos rectángulos, demuestra qué criterio asegura que son semejantes, calcula la anchura del río entre $A$ y $B$, y determina entre qué valores oscilaría dicha anchura si la medida de $DE$ tuviera un margen de error de $\pm 0,3\text{ m}$.

En un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con el vértice del ángulo recto del triángulo, y el vértice opuesto descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor exacto del lado del cuadrado $x$.

Dos postes verticales de alturas $4\text{ m}$ y $6\text{ m}$ están situados sobre un suelo horizontal, separados por una distancia de $10\text{ m}$. Se tiende un cable recto desde la parte superior de cada poste hasta la base del otro. Calcula a qué altura $h$ del suelo se cruzan ambos cables. Demuestra si este resultado depende o no de la distancia que separa los postes.

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) tales que uno es $5\text{ cm}$ más largo que el otro. Si la altura mide $6\text{ cm}$, determina analíticamente la longitud de los dos segmentos y calcula el perímetro exacto del triángulo original.

Un depósito de agua tiene forma de cono invertido (el vértice hacia abajo) con un radio en la base superior de $3\text{ m}$ y una profundidad total de $4\text{ m}$. Si el depósito contiene agua hasta una altura de $2\text{ m}$, utiliza la relación entre los volúmenes de cuerpos semejantes para calcular el volumen de agua que contiene y el volumen vacío restante.

Se tiene un trapecio isósceles cuyas bases miden $15\text{ cm}$ y $25\text{ cm}$, y su altura es de $12\text{ cm}$. Se prolongan los lados no paralelos hasta que se cortan en un punto, formando un triángulo en la parte superior. Calcula la altura $x$ de dicho triángulo superior y el área total del gran triángulo formado.

La diagonal de un rectángulo mide $20\text{ cm}$. Si trazamos la perpendicular desde uno de los vértices a la diagonal, esta queda dividida en dos segmentos. Si uno de los segmentos mide $7,2\text{ cm}$, halla el área total del rectángulo aplicando los teoremas del cateto y de la altura.

En una esfera de radio $R = 15\text{ cm}$ se inscribe un cono recto cuya generatriz mide $g = 24\text{ cm}$. Considera el triángulo rectángulo formado por el diámetro de la esfera y la generatriz del cono para aplicar los teoremas de semejanza. Calcula el radio de la base del cono y su altura.

En un triángulo $\triangle ABC$, las longitudes de los lados son $AB = 18\text{ cm}$ y $AC = 24\text{ cm}$. Se marcan dos puntos: $D$ sobre el lado $AB$ a $6\text{ cm}$ de $A$, y $E$ sobre el lado $AC$ a $8\text{ cm}$ de $A$. Se desea demostrar si el segmento $DE$ es paralelo al lado $BC$ y hallar qué fracción del lado $BC$ mide $DE$. Para resolverlo se proponen dos estrategias: Álvaro sugiere comprobar si $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ aplicando el recíproco del Teorema de Tales; Nuria sugiere comparar directamente los triángulos $\triangle ADE$ y $\triangle ABC$ mediante el criterio LAL compartiendo el ángulo $\hat{A}$. Desarrolla por completo ambos métodos con sus justificaciones y analiza críticamente cuál de las dos estrategias es más completa para responder a ambas preguntas, explicando la limitación del método de Tales respecto a la razón entre las bases.

Una comunidad de regantes de Albacete gestiona una parcela triangular $\triangle ABC$, cuya base $BC$ mide $160\text{ m}$ y cuya altura perpendicular desde el vértice $A$ hasta dicha base mide $100\text{ m}$. Se necesita trazar una acequia recta $MN$ paralela a la base $BC$ ($M$ en el lado $AB$ y $N$ en el lado $AC$) que divida la finca en dos partes de superficies exactamente iguales: un triángulo superior $\triangle AMN$ y un trapecio inferior $MNCB$. Justifica qué criterio garantiza que $\triangle AMN$ es semejante a $\triangle ABC$, deduce la razón de semejanza $k$ exacta (en forma de radical simplificado y con tres decimales) que hace que las áreas se dividan al $50\,\%$, calcula la longitud de la acequia $MN$ y la distancia a la que debe trazarse desde el vértice $A$. Por último, rebate matemáticamente la propuesta intuitiva de un agricultor que sugiere excavar la acequia justo a la mitad de la altura ($50\text{ m}$), calculando qué porcentaje real del área total quedaría en el triángulo superior si se hiciera caso a su propuesta.