Ejercicios: Teorema de Tales

Calcula el valor del segmento desconocido $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las rectas horizontales son paralelas entre sí.

Dos rectas secantes son cortadas por dos rectas paralelas. En la primera recta secante, los segmentos determinados por las paralelas miden $12$ cm y $15$ cm. En la segunda recta secante, el segmento correspondiente al de $12$ cm mide $8$ cm. Calcula la longitud del segmento correspondiente al de $15$ cm.

Los triángulos de la figura están en posición de Tales. Calcula las longitudes de los lados $x$ e $y$.

Explica los pasos geométricos necesarios para dividir un segmento de $11$ cm en $5$ partes exactamente iguales utilizando regla, compás y el Teorema de Tales.

Tres rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes $r$ y $s$. En la recta $r$, los segmentos miden $3,5$ cm y $5$ cm. En la recta $s$, el segmento correspondiente al de $3,5$ cm mide $4,2$ cm. ¿Cuánto mide el segmento correspondiente al de $5$ cm en la recta $s$?

En un triángulo $\Delta ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, de modo que $M$ pertenece al lado $AB$ y $N$ al lado $AC$. Sabemos que $AM = 4$ cm, $MB = 2$ cm y $AN = 6$ cm. Calcula la longitud del lado completo $AC$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Comprueba si los segmentos determinados por tres rectas sobre dos secantes son proporcionales. En la primera secante miden $15$ cm y $20$ cm. En la segunda secante miden $24$ cm y $32$ cm. ¿Son paralelas las tres rectas? Justifica tu respuesta usando el recíproco del Teorema de Tales.

En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $DE$ paralelo al lado $BC$, con el punto $D$ situado en el lado $AB$ y el punto $E$ en el lado $AC$. Se conocen las siguientes medidas: $AD = 6\text{ cm}$, $DB = 3\text{ cm}$ y la base $BC = 12\text{ cm}$. Marcos intenta calcular la longitud del segmento paralelo $DE$ y plantea en su cuaderno:

1. a) Sin realizar ningún cálculo numérico, explica qué evidencia geométrica inmediata demuestra que el resultado de $24\text{ cm}$ obtenido por Marcos es imposible.
2. b) Identifica el error conceptual que cometió Marcos al plantear la proporción entre los lados laterales y las bases paralelas.
3. c) Escribe la proporción correcta aplicando las relaciones de semejanza derivadas del teorema de Tales y halla la medida real del segmento $DE$.

En un parque urbano se diseña un parterre triangular $ABC$. En el lateral $AB$, que mide $15\text{ m}$, se coloca un aspersor en el punto $M$, a $9\text{ m}$ de distancia del vértice $A$. Se traza una tubería secundaria $MN$ paralela al lado $BC$, de modo que el punto $N$ queda situado sobre el otro lateral, $AC$, cuya longitud total es de $14\text{ m}$.

1. a) Antes de realizar cualquier cálculo exacto, estima si el segmento $AN$ medirá más o menos que la mitad del lado $AC$ ($7\text{ m}$) y razona entre qué dos valores enteros debería situarse aproximadamente, observando qué proporción representa $AM$ respecto a la longitud total de $AB$.
2. b) Aplica el teorema de Tales para calcular con exactitud la longitud del segmento $AN$ y la del segmento restante $NC$.
3. c) Comprueba si el valor obtenido coincide con tu estimación inicial y argumenta por qué la razón $\dfrac{AM}{MB}$ debe coincidir numéricamente con la razón $\dfrac{AN}{NC}$.

En una cámara oscura, la luz entra por un pequeño orificio y proyecta la imagen invertida de un objeto en la pared del fondo. Si un árbol de $4$ m de altura se encuentra a $15$ m del orificio, calcula la altura de la imagen proyectada $h$ si la profundidad de la cámara es de $0,3$ m.

Para medir la anchura de un río de orillas paralelas, un topógrafo coloca tres estacas $A, B$ y $C$ alineadas en ese orden en una de las orillas, situando $A$ justo enfrente de un árbol $T$ en la orilla opuesta (de modo que el segmento $TA$ es perpendicular a las orillas), y una cuarta estaca $D$ tal que los puntos $T, B$ y $D$ están alineados. Sabiendo que el segmento $TA$ es paralelo al segmento $CD$, que $AB = 8$ m, $BC = 12$ m y la distancia desde $D$ hasta el río perpendicularmente es de $2$ m, calcula la anchura del río aplicando la semejanza de triángulos.

Una rampa de acceso para sillas de ruedas salva un desnivel de $1,2$ m en una distancia horizontal de $15$ m. Si se quiere colocar un soporte vertical intermedio cuando la distancia horizontal recorrida desde el inicio de la rampa es de $6$ m, ¿cuál debe ser la altura de dicho soporte?

En un partido de tenis, un jugador golpea la pelota a una altura de $2,4$ m. La pelota viaja en línea recta, roza exactamente la cinta superior de la red (que está a $0,9$ m de altura) y cae en el campo contrario. Si la distancia horizontal desde el jugador hasta la red es de $12$ m, ¿a qué distancia de la red botará la pelota?

Halla el valor de $x$ aplicando el Teorema de Tales en el siguiente diagrama, donde las tres rectas verticales son paralelas. Expresa el resultado como un número entero o una fracción simplificada.

Durante un eclipse solar, la Luna se interpone exactamente entre la Tierra y el Sol, bloqueando su luz. Sabiendo que el diámetro del Sol es aproximadamente $1,4 \times 10^6$ km y se encuentra a $1,5 \times 10^8$ km de la Tierra, y que la Luna está a $384000$ km de la Tierra, calcula el diámetro aproximado de la Luna usando la semejanza de triángulos.

En la estructura de un tejado a dos aguas, se coloca un puntal vertical de refuerzo. La base del tejado mide $10$ m en total (del centro al alero hay $5$ m). La altura máxima en el centro es de $3$ m. Si el puntal se coloca a $1,5$ m del centro hacia el alero, ¿cuál debe ser su longitud?

En el plano de ordenamiento urbano de un municipio, dos avenidas rectas parten de una misma rotonda $O$. Para conectar ambas avenidas, el gobierno municipal proyecta tres pasos peatonales rectilíneos y paralelos entre sí: Paso 1, Paso 2 y Paso 3.

Sobre la primera avenida, la distancia desde la rotonda $O$ hasta el Paso 1 es de $40\text{ m}$; la distancia entre el Paso 1 y el Paso 2 es de $24\text{ m}$; y la distancia entre el Paso 2 y el Paso 3 es de $32\text{ m}$.

En la segunda avenida, un equipo de topografía mide que la distancia total desde la rotonda $O$ hasta el Paso 3 es de exactamente $120\text{ m}$.

1. a) Modela la situación identificando qué elementos geométricos corresponden a las rectas secantes y cuáles a las rectas paralelas del teorema de Tales.
2. b) Calcula la longitud de cada uno de los tres tramos en los que queda dividida la segunda avenida por los pasos peatonales (de la rotonda al Paso 1, del Paso 1 al Paso 2, y del Paso 2 al Paso 3).
3. c) La normativa municipal de accesibilidad recomienda que la distancia entre dos pasos peatonales consecutivos no supere los $35\text{ m}$. Determina razonadamente si el tramo entre el Paso 2 y el Paso 3 sobre la segunda avenida cumple dicha recomendación.

Se desea diseñar la estructura metálica de una cristalera triangular delimitada por dos perfiles secantes $r$ y $s$, unidos por tres tirantes transversales horizontales paralelos $a$, $b$ y $c$. Estos tirantes determinan dos tramos contiguos $AB$ y $BC$ sobre el perfil $r$, y dos tramos contiguos $A'B'$ y $B'C'$ sobre el perfil $s$, cumpliendo el teorema de Tales con una razón de diseño preestablecida de $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'} = \dfrac{2}{5}$.

1. a) Si la longitud total del tramo acristalado sobre el primer perfil debe ser $AC = 35\text{ cm}$, deduce los valores exactos que deben tener los segmentos $AB$ y $BC$.
2. b) Para el segundo perfil $s$, propón dos longitudes enteras distintas para $A'B'$ y $B'C'$ de modo que su suma total sea estrictamente mayor que $60\text{ cm}$ y conserven con exactitud la proporción requerida.
3. c) Escribe una expresión matemática general que permita calcular directamente la longitud del segmento superior $A'B'$ en función de la longitud total $L = A'C'$ del perfil $s$, válida para cualquier estructura que deba mantener esta misma proporción de diseño.

En un sistema de dos rectas secantes cortadas por tres rectas paralelas, los segmentos de la primera secante miden $x$ y $x+3$. En la segunda secante, los segmentos correspondientes miden $x-2$ y $x$. Plantea la proporción, resuelve la ecuación resultante y halla el valor de los cuatro segmentos.

Un foco de teatro ilumina a un actor proyectando su sombra en el telón de fondo. El foco está a ras de suelo. El actor, de $1,80$ m de altura, camina hacia el telón. Cuando está a $4$ m del foco, su sombra mide $h_1$. Si camina $2$ m más hacia el telón, su sombra mide $h_2$. Sabiendo que la distancia total del foco al telón es de $10$ m, calcula la diferencia de altura entre las dos sombras proyectadas ($h_1 - h_2$).

En un trapecio $ABCD$ de bases $AB = 25$ cm y $CD = 15$ cm, se traza un segmento $MN$ paralelo a las bases, con $M$ en $AD$ y $N$ en $BC$. Sabemos que el segmento $MN$ divide a los lados no paralelos en la proporción $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$. Calcula la longitud del segmento $MN$. (Pista: Traza una paralela a uno de los lados oblicuos desde un vértice).

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un espejo plano se coloca en el suelo horizontal. Una persona cuyos ojos están a $1,60$ m del suelo se sitúa a $1,20$ m del centro del espejo y ve exactamente reflejada en él la antena de un edificio. Si la distancia desde el espejo hasta la base del edificio es de $18$ m, y tanto la persona como el edificio son perpendiculares al suelo, ¿cuál es la altura total de la antena desde el suelo?

En la estructura de una grúa torre, el brazo principal forma un triángulo con los cables tensores. Desde un nodo $A$ en el brazo principal se traza un tirante vertical hasta el brazo inferior horizontal, midiendo $3$ m. Desde un nodo $B$, situado $4$ m más adelante en el brazo principal, se traza otro tirante vertical que mide $4,5$ m. ¿A qué distancia del nodo $A$ se encuentra el punto de articulación (donde se unen los dos brazos de la grúa)?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dos rectas paralelas distan entre sí $H$. Dos segmentos transversales se cruzan en un punto $P$ entre las paralelas, formando una figura en forma de reloj de arena. Los segmentos de una de las transversales miden $x$ y $x+5$, mientras que la base del triángulo superior mide $12$ cm y la base del triángulo inferior mide $27$ cm. Calcula el valor de $x$ y la longitud total de esa transversal.

Para medir la altura de una montaña inaccesible sin usar trigonometría, un topógrafo utiliza dos varillas verticales de $2$ m de altura. Clava la primera varilla en el suelo y, tumbándose, alinea visualmente la punta de la varilla con la cima de la montaña. La distancia desde su ojo hasta la varilla es de $1,5$ m. Luego retrocede $150$ m en línea recta, clava la segunda varilla, y alinea de nuevo su ojo con la punta de la varilla y la cima. Esta vez, la distancia de su ojo a la varilla es de $1,6$ m. Calcula la altura de la montaña.

Demuestra, utilizando el recíproco del Teorema de Tales, que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo cualquiera es paralelo al tercer lado. Si el tercer lado mide $L$, ¿cuál es la longitud de este segmento en función de $L$? Argumenta tu respuesta basándote en la semejanza de triángulos.

En una estructura triangular de madera $ABC$, los lados laterales miden $AB = 15\text{ cm}$ y $AC = 20\text{ cm}$. Para reforzarla, se coloca un listón interior $MN$ uniendo un punto $M$ del lado $AB$ con un punto $N$ del lado $AC$, de forma que $AM = 6\text{ cm}$ (quedando $MB = 9\text{ cm}$) y $AN = 8\text{ cm}$ (quedando $NC = 12\text{ cm}$). Se quiere comprobar si el listón $MN$ ha quedado estrictamente paralelo a la base $BC$.

• Método A: Comprobar la igualdad de razones entre segmentos contiguos: $\dfrac{AM}{MB} \stackrel{?}{=} \dfrac{AN}{NC}$.

• Método B: Comprobar la igualdad de razones entre el segmento parcial y el lado completo: $\dfrac{AM}{AB} \stackrel{?}{=} \dfrac{AN}{AC}$.

1. a) Aplica numéricamente ambos métodos y determina si el listón $MN$ es paralelo a la base $BC$ según el recíproco del teorema de Tales.
2. b) Demuestra algebraicamente que, si en cualquier triángulo se cumple la igualdad del Método A (llamando $AM = x$, $MB = a - x$, $AN = y$, $NC = b - y$), necesariamente se cumple la igualdad del Método B, justificando por qué ambos criterios son matemáticamente equivalentes.
3. c) Si la base mide $BC = 25\text{ cm}$ y se desea hallar la longitud del listón $MN$, justifica cuál de los dos métodos enlaza directamente con la semejanza de triángulos para calcular $MN$ y explica qué error conceptual cometería quien intentara calcularlo a partir de la proporción del Método A.

Una parcela rústica de forma triangular $ABC$ linda con un canal de riego recto en el lado $AC$ ($180\text{ m}$) y con un camino recto en el lado $AB$ ($150\text{ m}$). El tercer lindero, $BC$, mide $210\text{ m}$. En un proyecto de reorganización, los técnicos trazan dos cercas divisorias rectas, $D_1E_1$ y $D_2E_2$, ambas paralelas al lindero $BC$, situando los puntos $D_1$ y $D_2$ sobre el camino $AB$ de manera que este queda dividido en tres partes iguales de $50\text{ m}$ cada una ($D_1$ más próximo al vértice $A$).

1. a) Modela la posición de los anclajes $E_1$ y $E_2$ sobre el canal $AC$ calculando la longitud de los tres tramos resultantes sobre dicho lindero mediante el teorema de Tales.
2. b) Calcula la longitud exacta de cada una de las dos cercas divisorias interiores ($D_1E_1$ y $D_2E_2$), justificando detalladamente por qué no se puede utilizar directamente la razón de segmentos sobre los laterales $\dfrac{AD_1}{D_1D_2}$ y qué razón geométrica debe emplearse.
3. c) Uno de los propietarios afirma: «Como las cercas dividen ambos linderos laterales en tres partes de igual longitud, la parcela entera ha quedado repartida en tres zonas de igual superficie». Determina razonadamente si esta afirmación es verdadera o falsa comparando el área del triángulo superior $AD_1E_1$ con el área del trapecio inferior delimitado por $D_2E_2$ y el lindero $BC$ a partir de la razón de semejanza.