Ejercicios: Semejanza de triángulos rectángulos

En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $4$ cm y $9$ cm. Calcula la longitud de dicha altura utilizando el teorema correspondiente.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25$ cm y la proyección de uno de sus catetos sobre ella mide $9$ cm. Calcula la longitud de dicho cateto aplicando el teorema del cateto.

La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $6$ cm. Si uno de los segmentos en los que divide a la hipotenusa mide $3$ cm, ¿cuánto mide el otro segmento de la hipotenusa?

Un cateto de un triángulo rectángulo mide $8$ cm y su proyección ortogonal sobre la hipotenusa mide $3,2$ cm. Determina la longitud total de la hipotenusa.

Dos triángulos rectángulos son semejantes. El primero tiene unos catetos que miden $3$ cm y $4$ cm. Si el cateto menor del segundo triángulo mide $9$ cm, ¿cuánto mide la hipotenusa de este segundo triángulo?

Dos cartabones de dibujo (que tienen forma de triángulo rectángulo escaleno) son semejantes. Si la hipotenusa del cartabón más grande es el triple que la del cartabón más pequeño, ¿cuántas veces mayor es el área del cartabón grande respecto al pequeño?

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa miden $5$ cm y $12$ cm respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo?

En un examen de Matemática de 4° de secundaria, Lucía debe calcular la longitud del cateto menor, $c$, de un triángulo rectángulo. El enunciado indica que la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa mide $m = 3\text{ cm}$ y la proyección del otro cateto mide $n = 9\text{ cm}$. Lucía escribe la siguiente resolución:

«Por el teorema del cateto, sé que el cuadrado del cateto es el producto de las dos proyecciones: $c^2 = m \cdot n = 3 \cdot 9 = 27$, por tanto $c = \sqrt{27} \approx 5,2\text{ cm}$».

1. a) Explica con precisión qué error conceptual ha cometido Lucía y qué teorema o fórmula ha confundido.
2. b) Corrige el procedimiento y calcula el valor exacto del cateto $c$ en forma de radical simplificado y su aproximación redondeada a las décimas.

En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos de longitudes $m = 2\text{ cm}$ y $n = 10\text{ cm}$.

1. a) Antes de operar, estima razonadamente entre qué dos números enteros consecutivos debe situarse la longitud de la altura $h$. ¿Crees que $h$ será mayor, menor o igual que la mitad de la hipotenusa ($(m+n)/2 = 6\text{ cm}$)? Justifica tu previsión.
2. b) Aplica el teorema correspondiente para calcular el valor exacto de la altura $h$ y obtén su aproximación con dos cifras decimales.
3. c) Comprueba si tu cálculo confirma la estimación realizada en el apartado a) y explica por qué en cualquier triángulo rectángulo no isósceles la altura sobre la hipotenusa siempre es estrictamente menor que la mitad de dicha hipotenusa.

En el diseño de una cercha para un tejado a dos aguas en forma de triángulo rectángulo, la viga vertical (que hace de altura sobre la hipotenusa) mide $2,4$ m y separa la viga inferior (hipotenusa) en dos tramos, uno de los cuales mide $1,8$ m. Calcula el perímetro total de la estructura exterior de la cercha.

Para medir la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $15$ m de la base del edificio. Al retroceder $1,2$ m desde el espejo, ve la parte más alta del edificio reflejada en él. Si los ojos del estudiante están a $1,6$ m del suelo, ¿cuál es la altura del edificio?

Una rampa de accesibilidad tiene una longitud total de $12$ m apoyada sobre el suelo y salva un desnivel máximo de $1,5$ m. Si una silla de ruedas ha avanzado $4$ m sobre la rampa desde su inicio en la parte inferior, ¿a qué altura se encuentra respecto al nivel del suelo?

En una cámara oscura artesanal de $20$ cm de profundidad, se forma la imagen invertida de un árbol que se encuentra a $15$ m del orificio estenopeico. Si la imagen formada en el fondo de la cámara tiene una altura de $8$ cm, ¿cuál es la altura real del árbol en metros?

La vela principal de un velero tiene forma de triángulo rectángulo. La costura que marca la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa mide $6$ m. Si la proyección del lado menor de la vela sobre la hipotenusa es de $4,5$ m, calcula la superficie total de la vela en metros cuadrados.

Un arco de puente de piedra tiene forma de semicircunferencia perfecta con un diámetro de $20$ m. A $4$ m de uno de los extremos del puente, se necesita colocar un pilar vertical que llegue desde el suelo hasta el arco. Utilizando el teorema de la altura, determina qué longitud exacta debe tener este pilar.

En una mesa de billar rectangular, golpeas una bola sin efecto contra una de las bandas, de modo que rebota formando dos triángulos rectángulos semejantes en su trayectoria. La bola parte de una posición situada a $40\text{ cm}$ de dicha banda y, tras el rebote, llega a un punto situado a $60\text{ cm}$ de la misma banda. Si la distancia longitudinal total que avanza la bola en la dirección paralela a la banda es de $150\text{ cm}$, determina:

1. a) La distancia longitudinal recorrida por la bola antes del rebote.
2. b) La distancia longitudinal recorrida después del rebote.

En el parque Urbano Central de La Paz se proyecta construir un módulo para skate cuya sección lateral es un triángulo rectángulo apoyado sobre el suelo horizontal, que actúa como hipotenusa y mide $3,2\text{ m}$ de longitud. Para reforzar la estructura de madera, se colocará una viga de acero vertical desde el vértice superior perpendicularmente al suelo (haciendo de altura sobre la hipotenusa). Los planos indican que dicha viga divide la base en dos tramos, siendo el tramo más largo exactamente el triple que el tramo corto.

1. a) Modela la situación identificando los elementos geométricos del triángulo ($a$, $m$, $n$, $h$) y calcula la longitud exacta de cada uno de los dos tramos del suelo.
2. b) Calcula la altura que debe tener la viga vertical de refuerzo y la longitud de las dos superficies inclinadas de la rampa (los catetos). Redondea los resultados al centímetro.
3. c) Si la normativa municipal de seguridad para pistas de iniciación exige que la altura total no supere los $1,5\text{ m}$, determina razonadamente si el diseño cumple con la normativa.

En un triángulo rectángulo conocemos con exactitud las longitudes de sus dos catetos: $b = 15\text{ cm}$ y $c = 20\text{ cm}$. Para hallar la altura sobre la hipotenusa, $h$, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Método de Sergio: Calcula primero la hipotenusa $a$ mediante el teorema de Pitágoras. Después, usa el teorema del cateto para hallar las dos proyecciones, $m$ y $n$, sobre la hipotenusa. Finalmente, calcula $h$ aplicando el teorema de la altura ($h^2 = m \cdot n$).

• Método de Nerea: Calcula primero la hipotenusa $a$ mediante Pitágoras. A continuación, iguala dos formas de expresar el área del triángulo (el producto de catetos entre dos frente a la hipotenusa por la altura entre dos: $\frac{b \cdot c}{2} = \frac{a \cdot h}{2}$) para despejar $h$ directamente.

1. a) Desarrolla paso a paso ambos métodos y comprueba que se obtiene idéntico resultado.
2. b) Si los catetos midieran valores con decimales no exactos (por ejemplo, $b = 13,4\text{ cm}$ y $c = 18,1\text{ cm}$), ¿cuál de los dos métodos resultaría más ventajoso y menos propenso a acumular errores de redondeo? Justifica tu elección analizando el número de pasos y las operaciones requeridas en cada caso.

En un terreno con forma de triángulo rectángulo, se ha trazado una zanja de riego que coincide con la altura sobre la hipotenusa y mide $12$ m. Si la razón entre los dos segmentos en los que esta zanja divide a la hipotenusa es $\frac{9}{16}$, calcula las dimensiones de los tres lados que delimitan el terreno.

En un triángulo rectángulo, la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $x$ cm, la proyección del cateto mayor mide $(x+5)$ cm, y la altura relativa a la hipotenusa mide $(x+2)$ cm. Plantea la ecuación correspondiente, halla el valor de $x$ y calcula el área total del triángulo.

Dos postes verticales de alturas $a = 3$ m y $b = 6$ m están separados por una distancia desconocida. Se tienden dos cables tensos desde la base de cada poste hasta el extremo superior del otro poste. Utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos que se forman, demuestra que la altura $h$ a la que se cruzan los cables es independiente de la distancia que separa los postes y calcula su valor.

En un triángulo rectángulo de catetos $8$ cm y $6$ cm, se inscribe un cuadrado de forma que uno de sus vértices coincide con el ángulo recto del triángulo, y los dos lados del cuadrado que forman ese vértice descansan sobre los catetos. Calcula la medida del lado del cuadrado $x$ utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos que se forman.

El área de un panel solar con forma de triángulo rectángulo es de $150$ dm$^2$ y la altura relativa a su hipotenusa mide $12$ dm. Planteando un sistema de ecuaciones con las proyecciones de los catetos, determina la longitud exacta de los dos catetos del panel solar.

En un triángulo rectángulo, la razón entre los cuadrados de los catetos es $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si la hipotenusa mide $50$ cm, utiliza la relación de proporcionalidad deducida a partir de los teoremas del cateto para hallar primero la medida de las proyecciones de ambos catetos sobre la hipotenusa, y posteriormente la longitud exacta de los catetos.

Un vaso cónico de cristal tiene $15$ cm de profundidad total y $6$ cm de radio en su abertura superior. Se llena de agua hasta que el líquido alcanza una altura de $10$ cm medida desde el fondo (vértice inferior). Calcula el radio de la superficie circular del agua utilizando la semejanza de triángulos rectángulos que se forman con el eje central del vaso.

Si consideramos que la Tierra es una esfera de radio $R = 6371$ km, y una persona se encuentra en un globo aerostático a una altura $h = 2$ km sobre la superficie, la línea visual tangente a la superficie forma un triángulo rectángulo en el punto del horizonte. Utiliza el teorema del cateto (o el de Pitágoras en triángulos semejantes) para hallar la distancia rectilínea $d$ desde el globo aerostático hasta el horizonte visible, aproximando a dos decimales.

Recuerda que en una ecuación cuadrática unitaria $x^2 - S\cdot x + P = 0$, el coeficiente $S$ representa la suma de sus dos soluciones y el término independiente $P$ representa su producto.

1. a) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa completa es la suma de las proyecciones ($a = m + n$) y el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es el producto de dichas proyecciones ($h^2 = m \cdot n$). Sin resolver la ecuación, deduce el valor de la hipotenusa $a$ y el de la altura $h$ de un triángulo rectángulo sabiendo que las medidas de sus proyecciones $m$ y $n$ son las raíces de la ecuación $x^2 - 13x + 36 = 0$ (con medidas en centímetros).
2. b) Plantea el problema inverso: escribe la ecuación de segundo grado cuyas soluciones correspondan a las proyecciones $m$ y $n$ de un triángulo rectángulo que tiene una hipotenusa de $a = 25\text{ cm}$ y una altura sobre la hipotenusa de $h = 12\text{ cm}$.
3. c) Resuelve la ecuación que has formulado en el apartado b) para hallar $m$ y $n$, y calcula a partir de ellas las longitudes exactas de los dos catetos del triángulo.

En un triángulo rectángulo $ABC$ con ángulo recto en $A$, el cateto $b$ mide exactamente el doble que el cateto $c$ ($b = 2c$). Se traza la altura $h$ sobre la hipotenusa, que divide a esta en dos segmentos: $m$ (proyección del cateto menor $c$) y $n$ (proyección del cateto mayor $b$). Dicha altura divide al triángulo original en dos triángulos rectángulos menores, $T_1$ y $T_2$.

1. a) Utilizando el teorema del cateto para ambos catetos, demuestra de forma deductiva que la proyección mayor no es el doble de la menor, sino que se cumple $n = 4m$.
2. b) Demuestra, a partir del teorema de la altura, que dicha altura mide exactamente el doble que la proyección menor ($h = 2m$).
3. c) Un equipo técnico cartografía una parcela con estas proporciones cuya hipotenusa mide en total $a = 45\text{ m}$. Calcula las medidas de $m$, $n$, $h$ y la razón exacta entre el área de $T_2$ y el área de $T_1$. Explica cómo se deduce esa misma razón de áreas directamente a partir de la semejanza de triángulos sin necesidad de calcular las áreas numéricas.