Ejercicios: Longitudes, áreas y volúmenes

Dos pentágonos son semejantes con una razón de semejanza $k = 3$. Si el perímetro del pentágono menor es de $15 \text{ cm}$ y su área es de $20 \text{ cm}^2$, calcula el perímetro y el área del pentágono mayor.

La razón entre las áreas de dos hexágonos semejantes es $\frac{16}{25}$. Determina cuál es la razón de semejanza entre sus lados correspondientes.

Un mapa de carreteras está diseñado a una escala de $1:50\,000$. Si un tramo recto de carretera mide $4 \text{ cm}$ en el mapa, calcula cuántos kilómetros mide ese tramo en la realidad.

Se tienen dos cubos semejantes. El volumen del cubo más pequeño es de $8 \text{ cm}^3$ y el volumen del cubo más grande es de $64 \text{ cm}^3$. Encuentra la razón de semejanza $k$ entre las aristas de ambos cubos.

Una maqueta de un auto deportivo está fabricada a una escala de $1:24$. Si el auto real tiene una longitud de $4,8 \text{ m}$, averigua cuál es la longitud de la maqueta expresada en centímetros.

El área de un triángulo es de $12 \text{ cm}^2$. Se dibuja un segundo triángulo semejante al primero, pero con los lados que miden exactamente la mitad. Calcula el área de este nuevo triángulo.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dos botellas de agua tienen formas semejantes. La botella más grande es $1,5$ veces más alta que la botella pequeña. Si la botella pequeña tiene una capacidad de $500 \text{ ml}$, determina la capacidad de la botella grande.

Una parcela de terreno rectangular tiene un área real de $400 \text{ m}^2$. En un plano urbanístico, esa misma parcela ocupa un área de $4 \text{ cm}^2$. Calcula la escala numérica a la que está dibujado el plano.

Lucía consulta en la página web de Derechos Reales el plano a escala $1:500$ de un terreno rectangular que su familia quiere cercar y sembrar de césped en Cochabamba. En el plano, el terreno mide $4\text{ cm}$ de ancho por $6\text{ cm}$ de largo. Para calcular el área real, Lucía realiza la siguiente operación: «Como el área en el papel es $4 \cdot 6 = 24\text{ cm}^2$, el área real del terreno será $24 \cdot 500 = 12\,000\text{ cm}^2 = 1,2\text{ m}^2$». Identifica y explica detalladamente el doble error (geométrico y de sentido común) que comete Lucía, y calcula correctamente el área real del terreno en metros cuadrados.

Un taller artesanal de alfarería en Tarija fabrica jarras de barro tradicionales semejantes de dos tamaños. El modelo estándar tiene una capacidad de $1\text{ litro}$ y pintarlo con un barniz especial impermeable cuesta $3,50\text{ \text{Bs}\ }$. El artesano desea diseñar un modelo gigante con una capacidad de exactamente $8\text{ litros}$. Si el costo de barnizar es directamente proporcional a la superficie exterior de la jarra y el cliente ha fijado un límite de gasto de $15\text{ \text{Bs}\ }$ para el barnizado de este nuevo modelo:

1. a) Halla la razón de semejanza lineal $k$ que deben guardar las dimensiones de la jarra gigante respecto a la estándar.
2. b) Determina si el costo del barniz del modelo gigante respetará el presupuesto fijado por el cliente.

Dos campos de cultivo triangulares son semejantes. Las dimensiones del campo más pequeño son $30 \text{ m}$, $40 \text{ m}$ y $50 \text{ m}$, y su área es de $600 \text{ m}^2$. Si el perímetro del campo más grande es de $360 \text{ m}$, calcula el área de este segundo campo.

La maqueta de un monumento histórico se ha construido a una escala de $1:40$. Si el volumen de la maqueta es de $0,05 \text{ m}^3$ y su superficie exterior mide $1,2 \text{ m}^2$, halla el volumen real del monumento en $\text{m}^3$ y su superficie real en $\text{m}^2$.

Una marca de sopas comercializa su producto en dos latas cilíndricas semejantes. La cantidad de hojalata necesaria para fabricar la lata grande (su área superficial) es $4$ veces mayor que la necesaria para la lata pequeña. Si la lata pequeña contiene $250 \text{ ml}$ de sopa, averigua cuántos litros contiene la lata grande.

En un mapa topográfico con una escala de $1:250\,000$, un parque natural ocupa una extensión de $12 \text{ cm}^2$. Sabiendo que $1 \text{ hectárea (ha)}$ equivale a $10\,000 \text{ m}^2$, calcula la extensión real del parque natural expresada en hectáreas.

Una diseñadora imprime en 3D una pequeña figura de plástico que pesa $30 \text{ g}$. Al ver el resultado, decide imprimir una versión semejante pero ampliada al $150\%$ de su tamaño original. Suponiendo que la densidad del relleno plástico es idéntica en ambas impresiones, calcula el peso de la nueva figura.

Un balón de básquetbol reglamentario tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$, mientras que una pelota de tenis tiene un diámetro de $6 \text{ cm}$. Asumiendo que ambos son esferas perfectas, determina cuántas veces mayor es la superficie del balón de básquetbol respecto a la pelota de tenis, y cuántas veces mayor es su volumen.

Un pintor quiere realizar un mural en una pared ampliando un boceto previo. El boceto está dibujado sobre un lienzo rectangular de $20 \text{ cm}$ de ancho por $30 \text{ cm}$ de alto. La pared destinada al mural tiene un área total de $24 \text{ m}^2$ y el mural final será exactamente semejante al boceto, ocupando toda la pared. ¿Cuáles serán las dimensiones del mural en metros?

Una pizzería ofrece sus pizzas circulares en dos tamaños semejantes: mediana y familiar. La pizza mediana tiene un diámetro de $28 \text{ cm}$ y cuesta $\text{Bs}\ 8$. Si el precio de la pizza es estrictamente proporcional al área que ocupa, halla qué diámetro debe tener la pizza familiar si su precio en el menú es de $\text{Bs}\ 18$.

El Gobierno Autónomo Municipal de una localidad encarga la construcción de una piscina pública con forma de prisma de base trapezoidal irregular. En el proyecto técnico se diseñó una maqueta semejante cuyo fondo y paredes suman una superficie interior de $1,2\text{ m}^2$ y cuya capacidad de agua es de $0,3\text{ m}^3$. La piscina real debe tener unas longitudes $10$ veces mayores que las de la maqueta (razón de semejanza lineal $k = 10$).

Dos técnicos discuten cómo presupuestar el revestimiento cerámico y el llenado:

• El técnico A propone despejar primero cada una de las cotas lineales reales (largo, anchos y profundidad) a partir de las fórmulas geométricas del prisma trapezoidal para luego calcular la nueva superficie y el nuevo volumen.

• El técnico B propone aplicar directamente las razones entre magnitudes de cuerpos semejantes a partir de los datos globales de la maqueta.

Explica razonadamente cuál de los dos métodos es el más adecuado y eficiente en este caso, e indica qué dificultad insalvable presenta el otro. A continuación, calcula el área a revestir y los metros cúbicos de agua necesarios para llenar la piscina real.

Una empresa envasadora de Trinidad comercializa pescado del Beni (surubí) en latas cilíndricas semejantes de hojalata. La lata individual mide $4\text{ cm}$ de altura, contiene una masa neta de $100\text{ g}$ de pescado y su envase cuesta $0,25\text{ \text{Bs}\ }$ de fabricar. La empresa lanza un formato familiar semejante con una altura de $8\text{ cm}$. Suponiendo que la densidad del contenido es idéntica en ambos formatos y que el costo del envase depende exclusivamente de la superficie total de hojalata empleada:

1. a) Modela la relación entre las masas y calcula cuántos gramos de pescado contendrá el formato familiar.
2. b) Modela la relación entre las superficies y calcula el costo de fabricación de la lata grande.
3. c) Calcula la tasa de costo de envase por gramo de producto (en $\text{\text{Bs}\ }/\text{g}$) en ambos formatos y razona por qué a la empresa le resulta más eficiente económicamente envasar en tamaños grandes.

Un depósito de agua tiene forma de cono invertido. Se sabe que el líquido en su interior alcanza una profundidad equivalente a $\frac{2}{3}$ de la altura total del depósito. Determina qué fracción del volumen total del depósito está actualmente llena de agua.

Una fábrica de juguetes produce pirámides macizas de madera. Pintar la superficie de una pirámide pequeña cuesta $\text{Bs}\ 17,50$ (el costo es directamente proporcional al área superficial) y para su fabricación se emplean $100 \text{ cm}^3$ de madera. Si se fabrica una pirámide mayor, semejante a la primera, que requiere $800 \text{ cm}^3$ de madera, ¿cuál será el costo de pintar esta pirámide grande?

La Gran Pirámide de Guiza originalmente tenía una altura aproximada de $146 \text{ m}$. Imagina que se construyera una réplica semejante en las proximidades, pero diseñada para tener exactamente la mitad del volumen de la pirámide original. Calcula cuál sería la altura exacta de esta réplica, expresando el resultado mediante radicales.

La pantalla de un teléfono inteligente tiene un área de $A \text{ cm}^2$. El fabricante lanza un nuevo modelo "Pro" con exactamente la misma proporción (es decir, una pantalla semejante), pero cuya diagonal es un $20\%$ mayor que la del modelo estándar. ¿En qué porcentaje exacto se incrementa el área de la pantalla? Adicionalmente, si todas las dimensiones tridimensionales del teléfono aumentan un $20\%$, ¿en qué porcentaje aumentará su volumen total?

Una estatua de bronce expuesta en una plaza tiene una masa de $432 \text{ kg}$. En la tienda del museo se vende una réplica a escala fabricada exactamente con la misma aleación de bronce, cuya masa es de $2 \text{ kg}$. Si el área superficial de la réplica es de $450 \text{ cm}^2$, halla el área superficial de la estatua original expresada en $\text{m}^2$.

Una plaza de forma cuadrada tiene un perímetro de $160 \text{ m}$. La alcaldía decide remodelarla para construir una nueva plaza cuadrada semejante, de tal forma que el área pavimentada de la nueva plaza sea exactamente el triple del área de la antigua. Calcula el perímetro de la nueva plaza, dando el valor exacto utilizando radicales.

Se tienen dos polígonos semejantes. El área del primer polígono es $S_1 = 45 \text{ cm}^2$ y el área del segundo es $S_2 = 80 \text{ cm}^2$. Si la suma de los perímetros de ambos polígonos es de $70 \text{ cm}$, determina el perímetro de cada uno de ellos.

En biología, la relación entre la superficie y el volumen de una célula determina su capacidad para intercambiar nutrientes. Considera una célula esférica de radio $r$. Si la célula crece de forma que su nuevo radio es $k \cdot r$ (con $k > 1$), demuestra matemáticamente que la relación superficie/volumen se reduce por un factor de $\frac{1}{k}$. A continuación, calcula el valor exacto de la nueva relación superficie/volumen si el radio original era de $2 \,\mu\text{m}$ y el factor de crecimiento es $k = 3$.

En biología, la regla ecológica de Bergmann describe la adaptación térmica de los animales mediante la relación entre su superficie corporal (por donde disipan calor) y su volumen (que genera calor). Considera dos mamíferos de silueta semejante y densidad idéntica: un ratón de campo de longitud $6\text{ cm}$ y una nutria de longitud $60\text{ cm}$. La energía metabólica que deben quemar por cada gramo de masa corporal para mantener constante su temperatura es proporcional al cociente superficie/volumen ($S/V$).

1. a) Antes de realizar ningún cálculo numérico, estima razonadamente: ¿quién crees que debe quemar proporcionalmente más alimento al día respecto a su propio peso para no enfriarse, el ratón o la nutria? Formula una hipótesis cualitativa.
2. b) Sabiendo que la razón de semejanza lineal de la nutria respecto al ratón es $k = 10$, deduce algebraicamente cómo varía el cociente $S/V$ de un cuerpo cuando sus longitudes se multiplican por $k$ y calcula el valor de la razón $\dfrac{(S/V)_{\text{ratón}}}{(S/V)_{\text{nutria}}}$.
3. c) Comprueba si tu estimación inicial era correcta e interpreta el resultado: si el ratón necesita ingerir cada día el equivalente al $30\,\%$ de su masa corporal en comida para compensar su pérdida térmica, ¿qué porcentaje de su propia masa corporal necesitaría ingerir la nutria para el mismo fin?

Una escultora ha fundido en bronce una maqueta maciza de $25\text{ cm}$ de altura para un monumento que se instalará en una plaza pública. La maqueta pesa $3,2\text{ kg}$ y aplicar una pátina especial protectora sobre toda su superficie costó $6\text{ \text{Bs}\ }$. La comisión de urbanismo establece dos condiciones estrictas para encargar la escultura definitiva, que será una figura a escala geométricamente semejante y del mismo bronce macizo:

1. Por motivos de seguridad en el transporte con grúa, la masa total de la escultura no puede superar los $1\,350\text{ kg}$.

2. La partida económica máxima asignada para la pátina protectora de la escultura es de $216\text{ \text{Bs}\ }$ (el costo del tratamiento por metro cuadrado es idéntico al de la maqueta).

Plantea las inecuaciones correspondientes a ambas restricciones en función de la razón de semejanza $k$, determina el valor máximo admisible para $k$ y calcula la altura máxima que podrá tener el monumento definitivo. Justifica detalladamente cuál de las dos restricciones (el peso o el presupuesto de la pátina) es la que impone el límite real al tamaño de la obra.

Reto del tema. ¿Cómo medir lo inaccesible y reproducirlo a escala? Diseñarás un informe técnico calculando las dimensiones reales de un elemento urbano cercano (árbol, farola o edificio) y las de su maqueta virtual.

1. Toma de datos reales: Elige un día soleado y mide con una cinta métrica la longitud de la sombra del elemento elegido y, simultáneamente, tu propia sombra y tu altura (o la de un listón de $1\text{ m}$).

2. Geometría y cálculo: Modela los triángulos rectángulos semejantes formados por los rayos solares en GeoGebra o en una hoja de cálculo. Aplica el teorema de Tales para deducir la altura del objeto. Con la calculadora y el teorema de Pitágoras, determina la distancia desde el punto más alto del elemento hasta el extremo de su sombra.

3. Escala tridimensional: Asimila el objeto a un cuerpo geométrico básico (cilindro, cono o prisma) y estima su volumen y área lateral reales. Si construyeras una maqueta con razón de semejanza $k = 0,05$ ($1:20$), calcula el área superficial y el volumen que ocuparía aplicando las razones $k^2$ y $k^3$.

Presenta tu informe con los datos obtenidos, los cálculos justificados y una captura del modelo digital.

Se valorará:

• Aplicación rigurosa de Tales y Pitágoras en triángulos semejantes rectángulos.

• Manejo correcto de la calculadora y justificación de las razones de semejanza en longitudes ($k$), áreas ($k^2$) y volúmenes ($k^3$).

• Claridad del informe técnico y uso adecuado de herramientas digitales (GeoGebra u hoja de cálculo).