Ejercicios: Sucesos compuestos

Lanzamos dos monedas al aire de forma independiente. Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos cruces.

En una caja hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas azules. Se extrae una bola, se anota su color, se devuelve a la caja y se extrae una segunda bola. Halla la probabilidad de que ambas bolas sean rojas.

Lanzamos un dado cúbico equilibrado (con las caras numeradas del $1$ al $6$) y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en el dado y una cara en la moneda?

De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas consecutivamente sin reemplazo. Calcula la probabilidad de que las dos cartas sean reyes.

En un restaurante, el $60\%$ de los clientes pide menú del día y el $40\%$ pide a la carta. De los que piden menú, el $70\%$ toma postre. De los que piden a la carta, el $50\%$ toma postre. Calcula la probabilidad de que un cliente elegido al azar pida menú del día y tome postre.

En un curso de 4° de secundaria hay $12$ chicos y $18$ chicas. Se sabe que $4$ chicos y $6$ chicas usan lentes. Si elegimos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica que usa lentes?

Hacemos girar las dos ruletas independientes que se muestran en la figura. Calcula la probabilidad de que la primera ruleta marque el número $3$ y la segunda ruleta marque el color verde (V).

En una calle hay dos semáforos independientes. La probabilidad de que el primero esté en verde es de $0,4$ y la probabilidad de que el segundo esté en verde es de $0,5$. Halla la probabilidad de encontrarse los dos semáforos en verde al pasar por esa calle.

En una caja hay $6$ bolígrafos azules y $4$ bolígrafos negros. Extraemos dos bolígrafos consecutivamente y sin reemplazamiento. Queremos calcular la probabilidad de que los dos bolígrafos extraídos sean del mismo color.

Sergio realiza la siguiente resolución:

«Como hay dos colores posibles, primero calculo la probabilidad de dos azules: $\frac{6}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{36}{100}$. Luego la de dos negros: $\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100}$. Por último, como me sirve cualquiera de los dos casos, multiplico ambos resultados: $\frac{36}{100} \cdot \frac{16}{100} = 0,0576$, es decir, un $5,76\,\%$».

1. a) Identifica y explica los dos errores conceptuales que ha cometido Sergio: uno relativo a la dependencia entre etapas consecutivas y otro a la combinación de las ramas finales.
2. b) Corrige el planteamiento y calcula la probabilidad exacta de obtener dos bolígrafos del mismo color en forma de fracción irreducible y como porcentaje.

En un juego de mesa, para superar un obstáculo debes lanzar un dado de seis caras dos veces seguidas. La regla establece que superas el obstáculo si obtienes al menos un número mayor que $4$ (es decir, un $5$ o un $6$) en cualquiera de los dos lanzamientos.

1. a) Estima: Antes de realizar cualquier cálculo matemático exacto, reflexiona y responde: ¿crees que la probabilidad final de superar el reto será menor del $50\,\%$, exactamente el $50\,\%$ o mayor del $50\,\%$? Escribe una frase justificando tu intuición.
2. b) Comprueba: Modela la tirada doble como un evento compuesto. Calcula primero la probabilidad del evento contrario («no obtener más de 4 en ningún lanzamiento») aplicando la regla del producto y, a partir de él, obtén la probabilidad real de superar el obstáculo en forma de fracción irreducible y porcentaje.
3. c) Compara el resultado con tu estimación inicial: ¿coincidió con lo que habías pensado? Razona por qué al encadenar dos oportunidades la probabilidad global acumulada resulta notablemente mayor que la de una sola tirada individual (que es $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,3\,\%$).

Se extraen tres cartas consecutivamente y sin reemplazo de una baraja española de $40$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener tres cartas del palo de oros.

En un complejo deportivo se ofrecen clases de tenis y pádel. Hay $120$ socios inscritos en estas clases, y cada socio practica un solo deporte. Se sabe que $70$ socios juegan pádel y que hay $50$ mujeres en total. Además, $30$ mujeres juegan tenis. Si se elige un socio al azar, calcula la probabilidad de que sea un hombre que juega pádel.

Disponemos de dos urnas. La urna $A$ contiene $4$ bolas blancas y $2$ negras. La urna $B$ contiene $3$ bolas blancas y $5$ negras. Lanzamos una moneda equilibrada; si sale cara, extraemos una bola de la urna $A$, y si sale sello, extraemos una bola de la urna $B$. Halla la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.

Una fábrica de componentes electrónicos tiene dos máquinas. La máquina $M_1$ produce el $60\%$ de los componentes y la máquina $M_2$ el $40\%$ restante. Se sabe que el $2\%$ de los componentes producidos por $M_1$ son defectuosos, mientras que el $5\%$ de los producidos por $M_2$ son defectuosos. Si se selecciona un componente al azar en el almacén, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

Dos jugadoras de básquetbol, Marta y Laura, lanzan un tiro libre cada una. La probabilidad de que Marta enceste es $0,8$ y la probabilidad de que Laura enceste es $0,7$. Sus lanzamientos son eventos independientes. Calcula la probabilidad de que al menos una de las dos enceste su tiro libre.

En un juego, un participante extrae primero una carta de una baraja española de $40$ cartas. Si la carta extraída es del palo de copas, lanza un dado cúbico equilibrado (del $1$ al $6$). Si la carta NO es de copas, lanza una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que el participante termine obteniendo un $5$ en el dado?

Tenemos dos cajas. La caja 1 contiene $3$ fichas rojas y $2$ verdes. La caja 2 contiene $1$ ficha roja y $4$ verdes. Se extrae una ficha al azar de la caja 1 y, sin mirar su color, se introduce en la caja 2. A continuación, se extrae una ficha al azar de la caja 2. Calcula la probabilidad de que esta segunda ficha sea roja.

Un arquero tiene una probabilidad de $0,85$ de dar en el centro de la diana en cada disparo. Si realiza tres disparos consecutivos e independientes, halla la probabilidad de que falle los tres disparos.

Un tirador de precisión tiene una probabilidad fija de $0,7$ de acertar a una diana en cada disparo. Si realiza $3$ disparos de manera totalmente independiente, queremos calcular la probabilidad de que consiga hacer diana al menos una vez.

Para resolver este problema se pueden plantear dos estrategias distintas:

• Método A (directo): Identificar todos los resultados favorables (acertar exactamente una vez, acertar exactamente dos veces o acertar los tres tiros), calcular la probabilidad de cada rama del árbol y sumarlas.

• Método B (evento contrario): Calcular la probabilidad de fallar los tres disparos de forma consecutiva y restar ese valor de $1$.

1. a) Compara ambos caminos: ¿cuántas ramas del diagrama de árbol tendrías que calcular y sumar con el Método A frente a las operaciones necesarias con el Método B? Justifica cuál es más eficiente y seguro contra descuidos algebraicos.
2. b) Aplica el método más conveniente para calcular la probabilidad pedida, expresando el resultado final en formato decimal y como porcentaje.
3. c) Si el tirador realizara $5$ disparos en lugar de $3$, razona cómo cambiaría la cantidad de cálculos necesarios en el Método A en comparación con el Método B.

Según los registros de una oficina departamental de Tránsito en Bolivia relativos a los aspirantes que obtienen la licencia de conducir:

• La probabilidad de que un alumno apruebe el examen teórico en su primera convocatoria es del $70\,\%$.

• Entre quienes aprueban el teórico a la primera, la probabilidad de aprobar el examen práctico a la primera es del $60\,\%$.

• Entre quienes reprueban el teórico en primera convocatoria (y lo aprueban en convocatorias posteriores), la probabilidad de aprobar el práctico a la primera es del $40\,\%$.

1. a) Modela el proceso describiendo las etapas del experimento compuesto y las probabilidades asignadas a cada rama.
2. b) Si se elige un aspirante al azar, calcula la probabilidad de que apruebe tanto el examen teórico como el práctico a la primera convocatoria.
3. c) Calcula la probabilidad total de que un aspirante elegido al azar apruebe el examen práctico a la primera, con independencia de si aprobó el teórico a la primera o necesitó más intentos. Explica por qué es necesario sumar las probabilidades de dos caminos distintos del árbol.

Una prueba médica para detectar una enfermedad tiene las siguientes características: si una persona está enferma, la prueba da positivo en el $95\%$ de los casos. Si la persona está sana, la prueba da positivo (falso positivo) en el $3\%$ de los casos. Se sabe que el $2\%$ de la población padece esta enfermedad. Si se elige a una persona al azar y se le realiza la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea positivo?

Dos equipos de e-sports, Alpha y Beta, juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (el primero que gane dos partidas se proclama campeón). La probabilidad de que Alpha gane una partida es $0,6$ y la de que gane Beta es $0,4$ (no hay empates). Los resultados de las partidas son independientes. Calcula la probabilidad de que el equipo Alpha gane el torneo.

Una urna contiene $x$ bolas blancas y $5$ bolas negras. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento. Si sabemos que la probabilidad de que ambas bolas sean blancas es de $\frac{1}{6}$, plantea una ecuación de segundo grado y determina el número inicial de bolas blancas $x$ que había en la urna.

El siguiente esquema muestra un sistema de tuberías con tres válvulas $A$, $B$ y $C$. El agua fluye de izquierda a derecha. Para que el agua llegue al final, debe pasar por la válvula $A$ o por la rama inferior que contiene las válvulas $B$ y $C$ en serie. Las probabilidades de que las válvulas estén abiertas son $P(A) = 0,7$, $P(B) = 0,8$ y $P(C) = 0,9$. Sabiendo que el funcionamiento de cada válvula es independiente, calcula la probabilidad de que el agua logre atravesar el sistema.

En un congreso internacional, el $40\%$ de los asistentes son europeos y el $60\%$ son americanos. Se sabe que el $30\%$ de los europeos y el $20\%$ de los americanos son bilingües. Si seleccionamos a dos asistentes al azar con reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los dos sea bilingüe?

Se extraen cartas de una baraja española de $40$ cartas una a una y sin reemplazo, hasta que aparezca el primer As. El experimento termina en el momento en que sale un As o cuando se han extraído $3$ cartas como máximo. Calcula la probabilidad de que el experimento termine habiendo encontrado un As.

Se lanza un dardo a la diana de la figura, formada por dos círculos concéntricos de radios $R$ y $2R$. El dardo siempre impacta en la diana y la probabilidad de impactar en una región es proporcional a su área. Si se lanzan dos dardos de forma independiente, calcula la probabilidad de que un dardo caiga en la zona central (A) y el otro en la zona exterior (B).

Disponemos de dos urnas. La urna $U_1$ contiene $2$ bolas rojas y $2$ bolas negras. La urna $U_2$ está inicialmente vacía. Se extraen simultáneamente dos bolas de $U_1$ y se introducen en $U_2$. A continuación, se extrae una bola al azar de $U_2$. Calcula la probabilidad de que la bola extraída de $U_2$ sea roja.

En un cajón hay guardados exactamente $10$ calcetines idénticos al tacto: $n$ de ellos son de color azul y los $10 - n$ restantes son de color gris. Una persona extrae a oscuras y de manera consecutiva dos calcetines sin reemplazo.

Sabiendo que la probabilidad de que los dos calcetines extraídos sean de distinto color es exactamente igual a $\frac{8}{15}$:

1. a) Modela el experimento como un evento compuesto de dos etapas consecutivas y escribe la expresión algebraica de dicha probabilidad en función de $n$.
2. b) Plantea una ecuación a partir del dato conocido y resuelve algebraicamente el valor de $n$ para determinar cuántos calcetines azules puede haber en el cajón.
3. c) Interpreta el hecho de obtener dos soluciones matemáticas distintas: ¿por qué tiene pleno sentido lógico en el contexto físico del problema que existan dos valores válidos para $n$?

Un museo protege una escultura valiosa mediante un sistema de seguridad compuesto por dos sensores independientes: una barrera perimetral de infrarrojos (Sensor A) y una base de presión bajo el pedestal (Sensor B). En caso de intrusión real, el Sensor A se activa con una probabilidad de $0,90$, mientras que el Sensor B se activa con una probabilidad de $0,85$.

La empresa de seguridad propone dos posibles configuraciones técnicas para disparar la alarma general:

• Configuración en paralelo (redundante): La alarma suena si se activa al menos uno de los dos sensores.

• Configuración en serie (restrictiva): La alarma suena únicamente si se activan ambos sensores simultáneamente (pensada para minimizar falsas alarmas provocadas por corrientes de aire o polvo).

1. a) Modela la configuración en paralelo mediante eventos compuestos y calcula la probabilidad de que la alarma suene si entra un intruso (emplea la regla del producto con los eventos complementarios).
2. b) Modela la configuración en serie y calcula su probabilidad de activación ante una intrusión.
3. c) La dirección del museo duda entre mantener la configuración en paralelo o sustituir todo el equipo por un único sensor láser de última generación cuya fiabilidad de detección individual es del $0,96$. Basándote en tus cálculos anteriores, justifica matemáticamente qué opción ofrece mayor protección real contra robos y argumenta qué inconveniente operativo presenta el sistema más sensible frente a falsas alarmas.