Ejercicios: Propiedades de los radicales y racionalización

Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:

1. a) $\sqrt{72}$
2. b) $\sqrt[3]{250}$

Introduce los factores enteros dentro del radical y simplifica si es posible:

1. a) $3 \sqrt{5}$
2. b) $2 \sqrt[4]{3}$

Simplifica los siguientes radicales dividiendo el índice y el exponente por su máximo común divisor:

1. a) $\sqrt[6]{27}$
2. b) $\sqrt[8]{16}$

Realiza las siguientes multiplicaciones de radicales con el mismo índice y extrae factores si es posible:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$

Realiza las siguientes sumas y restas de radicales semejantes:

1. a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$
2. b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$

Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones y simplifica el resultado:

1. a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$
2. b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$

Racionaliza las siguientes expresiones multiplicando por el conjugado del denominador:

1. a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$
2. b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

Expresa como un único radical y simplifica el resultado:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)^6$

Lucía tiene que racionalizar la fracción $\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$ en una tarea de clase. En su cuaderno realiza el siguiente cálculo:

Al ver que el denominador sigue teniendo una raíz, añade el siguiente comentario: «No se puede racionalizar porque al multiplicar por la misma raíz siempre queda otro radical».

1. a) Identifica el error conceptual que comete Lucía al elegir el factor multiplicador. Explica por qué su método funciona con raíces cuadradas pero falla con raíces cúbicas.
2. b) Basándote en las propiedades de las potencias, explica qué exponente necesita alcanzar el radicando bajo la raíz cúbica para que se cancele el radical y determina por qué expresión exacta debió multiplicar el numerador y el denominador.
3. c) Corrige el ejercicio realizando la racionalización y simplifica la fracción resultante al máximo.

Considera la expresión con radicales $E = \sqrt{75} - \sqrt{12}$.

1. a) Estima: Sin recurrir a la calculadora ni extraer factores, acota $\sqrt{75}$ entre dos números enteros consecutivos identificando los cuadrados perfectos que lo rodean. Haz lo mismo con $\sqrt{12}$. Con esas dos acotaciones, estima razonadamente entre qué dos números enteros debe encontrarse el valor de $E$.
2. b) Calcula: Descompón los radicandos $75$ y $12$ en factores primos, extrae todos los factores posibles para expresar ambos términos como radicales semejantes y efectúa la resta, dejando el resultado exacto en la forma $k\sqrt{3}$ con $k \in \mathbb{N}$.
3. c) Comprueba: Tomando la aproximación $\sqrt{3} \approx 1,73$, halla el valor decimal del resultado obtenido en el apartado b) y juzga si tu estimación inicial del apartado a) era correcta y coherente.

Realiza la siguiente operación, extrayendo primero los factores necesarios para que los radicales sean semejantes:

$3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$

Reduce a índice común y realiza la siguiente multiplicación y división de radicales:

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{6}}$

Racionaliza las siguientes fracciones con raíces de índice mayor que 2:

1. a) $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}$
2. b) $\frac{3}{\sqrt[4]{27}}$

Racionaliza el denominador y simplifica al máximo la siguiente expresión:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

En un taller de carpintería, se va a cortar un tablero rectangular cuyas dimensiones exactas son $\sqrt{12}$ dm de ancho y $\sqrt{27}$ dm de largo. Calcula el área y el perímetro del tablero, expresando los resultados de forma exacta mediante radicales simplificados.

La velocidad $v$ (en m/s) de una onda que viaja por una cuerda tensa se calcula con la fórmula $v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$, donde $F$ es la tensión en newtons y $\mu$ la densidad lineal en kg/m. Si una cuerda de guitarra está sometida a una tensión $F = 12$ N y tiene una densidad $\mu = 5$ kg/m, halla el valor exacto de $v$. Racionaliza el denominador y extrae los factores posibles.

Simplifica la siguiente expresión introduciendo los factores en el radical más interior y expresándolo como una única raíz:

$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{2}}$

Calcula la longitud exacta de la diagonal principal $D$ de un cubo cuya arista mide $a = \sqrt{5}$ cm. Recuerda que la diagonal de un cubo se calcula como $D = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$. Expresa el resultado de la forma más simplificada posible.

En navegación marítima, la distancia visual máxima teórica $d$ (en kilómetros) a la que se divisa la línea del horizonte desde una altura $h$ (en metros) sobre el nivel del mar se modeliza mediante la fórmula física $d = \sqrt{12,8 \cdot h}$. En la costa gallega se evalúa el alcance visual desde dos puntos del entorno del Faro de Finisterre: una senda costera situada a $h_1 = 15\text{ m}$ sobre el mar y el mirador del faro situado a $h_2 = 60\text{ m}$.

1. a) Sustituye $h_1 = 15$ en la fórmula, calcula el producto $12,8 \cdot 15$, descompón el resultado en factores primos y extrae todos los factores posibles para dar la distancia exacta $d_1$ en forma de radical simplificado $a\sqrt{3}\text{ km}$ ($a \in \mathbb{N}$).
2. b) Realiza el mismo procedimiento para la altura del mirador $h_2 = 60$ y obtén la distancia exacta $d_2$ en la forma $b\sqrt{3}\text{ km}$ ($b \in \mathbb{N}$).
3. c) Determina la ganancia visual exacta que supone subir al mirador calculando la diferencia $d_2 - d_1$. Opera los radicales semejantes, expresa el resultado final como un único término radical simplificado y evalúa dicha ganancia en kilómetros utilizando la aproximación $\sqrt{3} \approx 1,73$.

Se desea diseñar una fracción irracional de la forma $\frac{A}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$ que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

1. Los radicandos $m$ y $n$ son números naturales menores que $10$, ninguno de ellos es un cuadrado perfecto y su diferencia es $m - n = 2$.

2. Al racionalizar la fracción multiplicando por el conjugado del denominador y simplificar el resultado al máximo, se obtiene exactamente la expresión $3\sqrt{5} + 3\sqrt{3}$.

1. a) Deduce de forma razonada cuáles deben ser los números $m$ y $n$.
2. b) Plantea la igualdad algebraica que surge del proceso de racionalización con los valores hallados y calcula el valor numérico exacto que debe tener el numerador entero $A$.
3. c) Comprueba tu solución desarrollando paso a paso la racionalización de la fracción obtenida. A continuación, explica qué resultado se habría obtenido si la fracción de partida hubiera tenido signo positivo en el denominador: $\frac{A}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$.

Realiza la siguiente operación combinada con fracciones irracionales. Para ello, racionaliza primero cada fracción por separado y luego efectúa la resta:

$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

En diseño gráfico, las proporciones basadas en el número áureo $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se consideran estéticamente perfectas. Un lienzo tiene forma de rectángulo áureo (el cociente entre su lado mayor y su lado menor es $\phi$). Si el lado menor del lienzo mide exactamente $\sqrt{5}-1$ metros, calcula la longitud exacta del lado mayor. Simplifica el resultado al máximo.

Extrae todos los factores posibles de la siguiente raíz y simplifica la expresión resultante:

$\sqrt[3]{\frac{81 x^4 y^7}{16 z^5}}$

La fachada de una cabaña tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $\sqrt{6}$ metros y los dos lados iguales miden $\sqrt{15}$ metros cada uno. Calcula el valor exacto de la altura $h$ sobre la base y el área total de la fachada. Racionaliza los resultados si aparecen raíces en el denominador.

Simplifica la siguiente expresión con radicales anidados, expresando el resultado como una única raíz:

$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt{8}}}$

Racionaliza el denominador de la siguiente fracción y simplifica al máximo operando el numerador:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

En física, la velocidad $v$ de un objeto se puede despejar a partir de su energía cinética $E_c$ y su masa $m$ mediante la fórmula $v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}}$. Si un prototipo de vehículo tiene una masa de $m = \sqrt{3}$ kg y su energía cinética es $E_c = 45$ J, calcula el valor exacto de su velocidad. Racionaliza y extrae los factores posibles de la raíz resultante.

Demuestra, desarrollando los productos notables y simplificando, que el resultado de la siguiente expresión es un número entero:

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$

Para calcular el valor exacto de la siguiente operación combinada con fracciones irracionales:

se plantean dos estrategias diferentes en el aula:

• Método 1 (Racionalización previa): Racionalizar cada término por separado (usando el binomio conjugado en la primera fracción y completando la potencia en la segunda), simplificar las fracciones obtenidas y efectuar la resta al final.

• Método 2 (Común denominador directo): Reducir primero ambas fracciones a un denominador común multiplicando los denominadores entre sí, desarrollar el numerador resultante y racionalizar la fracción única final si fuera necesario.

1. a) Desarrolla por completo la resolución siguiendo el Método 1 mostrando todas las simplificaciones intermedias.
2. b) Desarrolla por completo la resolución siguiendo el Método 2, prestando atención a los productos y signos en el numerador.
3. c) Compara ambos caminos: analiza la magnitud de los números que aparecen en los pasos intermedios, la complejidad de las identidades notables y el riesgo de error de cálculo. Justifica con criterio matemático cuál de los dos métodos es claramente más ventajoso y generalizable.

Un equipo de topografía calcula la cota vertical de diseño $h$ (en metros) de una estructura mediante la expresión:

donde $a$ y $b$ son números naturales primos entre sí con $a > b$, y $k \in \mathbb{N}$.

1. a) Problema inverso: Al racionalizar y simplificar completamente la expresión de $h$, el informe topográfico concluye que $h = 2\sqrt{7} - 2\sqrt{3}\text{ m}$. Reconstruye de manera razonada y unívoca los valores de $a$, $b$ y $k$. Justifica por qué no son posibles otros valores naturales que cumplan las condiciones iniciales.
2. b) Operaciones con radicales: Para alcanzar la cota de seguridad se añade un suplemento de altura igual a $\sqrt{12}\text{ m}$. Efectúa la suma $h + \sqrt{12}$ mediante extracción y agrupación de radicales semejantes, e introduce después el factor resultante en el radical para expresar la altura final como una única raíz de la forma $\sqrt{N}$ ($N \in \mathbb{N}$).
3. c) Error ajeno: Un operario afirma que, como $h = \sqrt{28} - \sqrt{12}$, la altura inicial es $h = \sqrt{28 - 12} = \sqrt{16} = 4\text{ m}$. Explica detalladamente el error conceptual cometido, demuestra mediante el desarrollo algebraico de $(\sqrt{28} - \sqrt{12})^2$ por qué su resultado es falso e indica el valor real aproximado de $h$ con un decimal sabiendo que $\sqrt{7} \approx 2,65$ y $\sqrt{3} \approx 1,73$.