Ejercicios: Potencias de exponente racional: Radicales

Expresa como radical las siguientes potencias de exponente fraccionario y calcula su valor exacto si es un número entero:

• a) $27^{\frac{1}{3}}$

• b) $16^{\frac{3}{4}}$

• c) $5^{\frac{2}{3}}$

Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario los siguientes radicales y simplifica la fracción del exponente:

• a) $\sqrt[6]{x^2}$

• b) $\sqrt[15]{a^5}$

• c) $\sqrt[8]{2^6}$

Extrae todos los factores posibles del interior de los siguientes radicales:

• a) $\sqrt{50}$

• b) $\sqrt[3]{16}$

• c) $\sqrt[4]{x^7 y^5}$

Introduce los factores dentro del radical y simplifica la expresión resultante si es posible:

• a) $3 \sqrt{2}$

• b) $x^2 \sqrt[3]{x}$

• c) $2a \sqrt[4]{3a^2}$, con $a \ge 0$

Realiza los siguientes productos de radicales del mismo índice y extrae factores del resultado si es posible:

• a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$

• b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$

Calcula y simplifica el resultado de las siguientes divisiones de radicales:

• a) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

• b) $\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{5}}$

Calcula las siguientes potencias de radicales, introduciendo el exponente en el radicando y expresando el resultado de la forma más sencilla posible:

• a) $(\sqrt[3]{5})^6$

• b) $(\sqrt{x^3})^4$

Expresa como un único radical utilizando la propiedad de la raíz de una raíz y simplifica el índice si se puede:

• a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$

• b) $\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}$

Elena tiene que calcular el valor exacto de la potencia $32^{-2/5}$. En su cuaderno escribe la siguiente resolución:

Al llegar a ese punto, se detiene y afirma que el resultado no se puede calcular a mano porque $32^5$ es un número demasiado grande.

1. a) Encuentra y explica de forma razonada los dos errores conceptuales que ha cometido Elena al aplicar las propiedades de los exponentes y los radicales.
2. b) Muestra el desarrollo correcto paso a paso para obtener el valor numérico como una fracción irreducible.
3. c) Justifica por qué, a la hora de calcular manualmente una expresión de la forma $a^{m/n}$, resulta mucho más conveniente aplicar primero la raíz y después la potencia, en lugar de hacerlo en el orden inverso.

Se desea estimar el valor numérico de la potencia de exponente racional $50^{3/2}$ sin recurrir a la calculadora.

1. a) Realiza una estimación previa razonada: escribe $50^{3/2}$ en forma de radical y observa que el número $50$ está muy próximo al cuadrado perfecto $49$. ¿A qué número entero debería estar muy cerca el resultado final? Justifica tu conjetura.
2. b) Escribe $50^{3/2}$ como un radical de la forma $\sqrt{50^3}$, descompón el radicando en factores primos y extrae todos los factores posibles fuera de la raíz.
3. c) Tomando la aproximación $\sqrt{2} \approx 1,414$, calcula el valor decimal aproximado a partir de la expresión simplificada del apartado anterior y comprueba si tu estimación inicial del apartado a) era coherente calculando la diferencia entre ambos valores.

En un laboratorio de biología, el número de bacterias de un determinado cultivo sigue la expresión $N(t) = 5000 \cdot 8^{\frac{t}{3}}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. Expresa esta fórmula utilizando radicales y calcula el número exacto de bacterias que habrá cuando hayan transcurrido $2$ horas.

Para la fabricación de tres componentes electrónicos se requieren láminas protectoras cuyos grosores, medidos en milímetros, vienen dados por las expresiones $A = \sqrt[3]{5}$, $B = \sqrt[4]{7}$ y $C = \sqrt[6]{24}$. Reduce los radicales a índice común para ordenar los grosores de las láminas de menor a mayor.

Efectúa las siguientes operaciones reduciendo previamente a índice común y extrae los factores posibles del resultado final:

• a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{8}$

• b) $\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[6]{3}}$

Un arquitecto paisajista está diseñando una zona verde con forma de triángulo escaleno y necesita calcular su perímetro para encargar una valla. Los planos indican que los lados miden $\sqrt{48}$ m, $\sqrt{75}$ m y $\sqrt{12}$ m. Simplifica los radicales extrayendo factores y calcula el perímetro exacto expresado como un único radical.

Una plaza circular tiene un área de $120\pi$ m$^2$. Sabiendo que el área de un círculo viene dada por la fórmula $A = \pi r^2$, calcula el radio exacto de la plaza simplificando el radical al máximo.

Opera utilizando las propiedades de las potencias fraccionarias y expresa el resultado final en forma de raíz simplificada:

Una cooperativa agrícola quiere cercar un terreno con forma de cuadrado cuya área total es de $1250 \text{ m}^2$. Calcula la longitud exacta del lado del terreno extrayendo factores del radical y determina cuántos metros de cerca necesitarán en total, dejando el resultado en su forma radical más simple.

Simplifica la siguiente expresión con radicales anidados introduciendo progresivamente los factores en los radicales más internos y expresando el resultado final como una sola raíz:

Para simplificar la expresión con radicales $E = \frac{\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[4]{8}}{\sqrt[6]{32}}$, se pueden plantear dos estrategias de resolución:

• Método 1 (exponente racional): Expresar cada radicando en base $2$, convertir todas las raíces en potencias fraccionarias y operar aplicando las propiedades del producto y cociente de potencias de la misma base.

• Método 2 (índice común): Expresar cada radicando en base $2$, reducir todos los radicales al mínimo común índice y operar dentro de una única raíz para después simplificar y extraer factores.

1. a) Aplica el Método 1 detallando cada paso y escribe el resultado final como un radical irreducible con factores extraídos.
2. b) Aplica el Método 2 detallando cada paso y comprueba que se obtiene exactamente el mismo resultado.
3. c) Compara ambos procedimientos: ¿qué relación matemática existe entre el mínimo común múltiplo de los denominadores en las potencias fraccionarias y el índice común de los radicales? ¿Cuál de los dos métodos te ha parecido más directo y por qué?

Para el procesado digital de una señal eléctrica positiva $a$, un equipo de telecomunicaciones necesita combinar dos filtros representados por radicales de manera que se cumpla la igualdad:

donde los índices de los filtros, $m$ y $n$, deben ser números enteros estrictamente positivos que cumplen la condición $m < n$.

1. a) Escribe el miembro izquierdo como una única potencia de base $a$ y exponente fraccionario en función de $m$ y $n$.
2. b) A partir de la igualdad de exponentes, deduce razonadamente cuáles son las dos únicas parejas de enteros $(m, n)$ posibles que verifican la condición con $m < n$. Justifica por qué no puede haber ninguna otra combinación.
3. c) Para cada una de las dos parejas halladas, comprueba la igualdad reduciendo los radicales del miembro izquierdo a índice común.

La diagonal principal de un depósito cúbico de almacenamiento de agua (la línea recta que une dos vértices opuestos pasando por el centro del cubo) mide exactamente $\sqrt{108}$ metros. Calcula la longitud de la arista del cubo de forma exacta y, a partir de ella, determina la capacidad del depósito en metros cúbicos. Expresa todos los resultados simplificando los radicales.

Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, asumiendo que $a$ y $b$ son números reales positivos. Expresa el resultado final empleando notación radical, sin dejar exponentes negativos ni fraccionarios en la solución:

La tercera ley de Kepler relaciona el periodo orbital $T$ de un planeta con el radio medio de su órbita $r$ mediante la expresión $T = k^{\frac{1}{2}} \cdot r^{\frac{3}{2}}$. Si para un sistema estelar ficticio la constante es $k = 4 \cdot 10^{-6}$ y un planeta orbita a un radio medio $r = 25 \cdot 10^4$ km, calcula el periodo orbital exacto utilizando las propiedades de las potencias de exponente racional y los radicales.

Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación, transformando previamente todas las expresiones a potencias de base $2$ con exponentes racionales:

Expresa la solución final en forma de fracción irreducible.

El capital final $C_f$ obtenido al invertir un capital inicial $C_0$ a un tipo de interés compuesto anual $r$ (expresado en tanto por uno) durante $t$ años viene dado por la fórmula $C_f = C_0 (1+r)^t$. Una empresa invierte $70\,000$ bolivianos a un interés del $21$ % anual ($r = 0,21$). Usando potencias de exponente fraccionario, calcula de forma exacta el capital acumulado al cabo de $1$ año y $4$ meses (lo que equivale a $t = \frac{4}{3}$ de año). Sabiendo que $1,21 = 1,1^2$, simplifica el resultado extrayendo los factores posibles del radical.

Demuestra, utilizando rigurosamente las propiedades de las potencias de exponente racional, que para cualquier número real positivo $x$, la expresión $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}$ es equivalente a $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}$. A continuación, aplica esta propiedad o el paso a potencias para calcular el valor exacto numérico de la siguiente suma:

Simplifica la siguiente expresión con radicales anidados, reduciendo a un único índice común y extrayendo los factores que sean posibles fuera de la raíz resultante:

En navegación marítima, la distancia $d$ (en kilómetros) a la que se encuentra el horizonte visible para un observador situado a una altura $h$ (en metros) sobre el nivel del mar se aproxima mediante la fórmula $d = \sqrt{13h}$. Dos observadores se encuentran en diferentes puntos de un acantilado a alturas $h_1 = 52$ m y $h_2 = 117$ m respectivamente. Calcula la diferencia exacta de sus distancias al horizonte visible, simplificando la expresión $\sqrt{13 \cdot 117} - \sqrt{13 \cdot 52}$ mediante la extracción de factores.

En los programas de seguimiento de fauna del Parque Nacional de Doñana, el equipo veterinario utiliza la ley alométrica de Kleiber para estimar el metabolismo basal diario $B(M)$ (energía consumida en reposo, en kilocalorías por día) de un mamífero en función de su masa corporal $M$ (en kilogramos):

1. a) Expresa la fórmula de $B(M)$ utilizando radicales y calcula de forma exacta el consumo energético diario de un lince ibérico adulto de $16\text{ kg}$ y el de una cierva de $81\text{ kg}$.
2. b) La cierva tiene una masa aproximadamente $5$ veces mayor que la del lince ($81/16 \approx 5,06$). Demuestra si su gasto energético diario también se multiplica por $5$ calculando el cociente exacto $\frac{B(81)}{B(16)}$ mediante propiedades de potencias fraccionarias.
3. c) La tasa metabólica específica por unidad de peso se define como $b(M) = \frac{B(M)}{M}$. Demuestra algebraicamente, aplicando propiedades de potencias de exponente racional, que $b(M) = \frac{70}{\sqrt[4]{M}}$. A partir de esta fórmula, justifica por qué los mamíferos más pequeños de la fauna ibérica necesitan ingerir proporcionalmente mucho más alimento por cada kilo de su propio cuerpo que los grandes herbívoros.

En una factoría de automoción en Martorell, el tiempo de corte $T$ (en segundos) que emplea un robot láser sobre una chapa de grosor $x$ (en milímetros, con $x > 0$) viene modelizado por la expresión:

1. a) Convierte sucesivamente cada radical en potencia de exponente racional y simplifica la expresión completa paso a paso hasta obtener una potencia única de la forma $T(x) = x^k$, indicando el valor de la fracción irreducible $k$.
2. b) Para una pieza estructural de alta resistencia, el robot tardó exactamente $8$ segundos en realizar el corte. Plantea la ecuación $T(x) = 8$ y calcula el grosor exacto $x$ de la chapa despejándolo mediante exponentes racionales. Expresa el resultado final extrayendo todos los factores posibles de un radical irreducible.
3. c) Un técnico de planta sostiene que si se duplica el grosor de la chapa ($2x$), el tiempo de corte también se duplicará. Demuestra formalmente si su afirmación es verdadera o falsa calculando la razón $\frac{T(2x)}{T(x)}$ y expresándola como un radical irreducible.