Ejercicios: Potencias de exponente entero

Calcula el valor numérico de las siguientes potencias de exponente negativo, expresando el resultado como una fracción irreducible o un número entero: $3^{-2}$, $(-2)^{-3}$, $5^{-1}$ y $(-1)^{-4}$.

Expresa las siguientes potencias de base fraccionaria con un exponente positivo y, a continuación, calcula su valor exacto: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ y $\left(-\frac{1}{4}\right)^{-2}$.

Aplica las propiedades de la multiplicación de potencias de la misma base para expresar el resultado como una sola potencia: $7^4 \cdot 7^{-6} \cdot 7^5$.

Simplifica la siguiente expresión resolviendo las operaciones en el numerador y el denominador, y expresa el resultado final como una única potencia: $\frac{5^{-3} \cdot 5^6}{5^2}$.

Reduce la siguiente expresión a una sola potencia aplicando la propiedad de la potencia de una potencia: $\left((-2)^3\right)^{-4}$.

Utiliza la propiedad del producto de potencias con el mismo exponente para expresar el siguiente cálculo como una única potencia: $4^{-3} \cdot 2^{-3} \cdot 5^{-3}$.

Simplifica la siguiente fracción expresando tanto el numerador como el denominador como potencias de la misma base prima, y da el resultado como una única potencia: $\frac{8^4}{4^5}$.

Realiza las operaciones necesarias para expresar el siguiente producto como una sola potencia de base $3$: $9^2 \cdot 27^{-1} \cdot 3^4$.

En un examen de 4° de secundaria, Sonia comete tres errores muy habituales al operar con potencias de exponente entero:

1) Escribe que $(-3)^{-2} = -\frac{1}{9}$, razonando que «el signo menos del exponente convierte el resultado final en negativo».

2) Escribe que $5^{-1} = -5$, afirmando que «elevar a $-1$ es lo mismo que cambiar el signo del número».

3) Escribe que $\left(-\frac{2}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8}$, argumentando que «al invertir la fracción para quitar el exponente negativo, el signo menos de la base también desaparece».

Para cada uno de los tres casos:

1. a) Explica cuál es el error conceptual que comete Sonia y qué propiedad ha aplicado incorrectamente.
2. b) Muestra el desarrollo correcto paso a paso y calcula el resultado numérico final como número entero o fracción irreducible.

Dadas las siguientes expresiones numéricas:

1. a) Sin calcular previamente el valor numérico exacto de ninguna de ellas, realiza una estimación razonada respondiendo a estas preguntas:

• ¿Cuáles de estas potencias darán un resultado estrictamente mayor que $1$?

• ¿Cuáles darán un resultado comprendido entre $0$ y $1$?

• ¿Alguna de ellas dará un resultado negativo? Justifica tu deducción basándote en el signo de la base, la paridad del exponente y el significado del exponente negativo como inverso multiplicativo.

1. b) Calcula ahora el valor exacto de cada una en forma de fracción irreducible o número entero y comprueba si tus estimaciones iniciales eran acertadas.

Simplifica la siguiente expresión, factorizando previamente las bases compuestas y aplicando las propiedades de las potencias de exponente entero. Deja el resultado como un producto de potencias de números primos:

$\frac{12^3 \cdot 18^{-2}}{6^4 \cdot 2^{-5}}$

En un videojuego de estrategia, el número de soldados de tu facción se duplica cada hora de partida. Si al comenzar la partida tienes $150$ soldados, escribe una expresión matemática utilizando potencias que indique la cantidad de soldados transcurridas $h$ horas. ¿Cuántos soldados habrá después de $6$ horas?

En un laboratorio químico se está filtrando una sustancia tóxica contenida en un líquido. Cada filtro que se instala en el circuito reduce la cantidad de toxinas a su tercera parte. Si la cantidad inicial de toxinas es de $81$ gramos, expresa con una potencia de exponente negativo la cantidad de toxina que queda tras pasar por $5$ filtros sucesivos y calcula su valor exacto.

Calcula y simplifica al máximo la siguiente expresión, expresando el resultado final como una fracción irreducible:

$\left( \frac{3}{2} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{-1} : \left( \frac{1}{2} \right)^{-3}$

En un examen de matemáticas, un alumno ha resuelto una operación escribiendo que $2^{-3} \cdot 5^{-3} = 10^{-6}$. Explica detalladamente cuál ha sido el error conceptual del alumno, enuncia la propiedad correcta que debería haber utilizado y calcula el resultado verdadero en forma de fracción.

Un torneo de tenis se juega por eliminatorias directas (en cada partido, el que pierde queda eliminado y el que gana pasa a la siguiente ronda). Si en la primera ronda participan $2^7$ jugadores, ¿cuántos partidos en total se habrán jugado cuando finalice el torneo y haya un único ganador absoluto? Expresa tu razonamiento utilizando operaciones con potencias.

Simplifica la siguiente expresión con fracciones y exponentes negativos, aplicando las propiedades paso a paso y dando el resultado final como una fracción irreducible sin exponentes negativos:

$\left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^{-1} \right]^{-3}$

Encuentra el valor del número entero $x$ que hace que se cumpla la siguiente ecuación exponencial, expresando todos los términos como potencias de la misma base:

$5^{x+2} \cdot 25^{-1} = 125^3$

En una sala blanca del Instituto de Microelectrónica de Barcelona (IMB-CNM, CSIC), se monitoriza la presencia de impurezas microscópicas que pueden inutilizar los microchips. Un sensor detecta una partícula de polvo ambiental tipo $X$ cuya masa es de $2^{-8}\text{ mg}$, y una partícula ultrafina tipo $Y$ cuya masa es de $8^{-3}\text{ mg}$.

1. a) Expresa la masa de la impureza $Y$ como una única potencia de base $2$ con exponente entero.
2. b) ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor masa? Justifica tu respuesta razonando sobre el significado de un exponente entero negativo, sin necesidad de calcular la expresión decimal de ninguna de las dos.
3. c) ¿Cuántas impurezas del tipo $Y$ se necesitan exactamente para igualar la masa de una sola partícula del tipo $X$? Plantea la operación como un cociente de potencias de base $2$, aplica las propiedades de las potencias de exponente entero y expresa el resultado como un número entero.

Se quiere diseñar una igualdad matemática con la siguiente estructura:

donde $a$ y $b$ deben ser números enteros.

1. a) Descompón las bases en factores primos ($2$ y $3$) y utiliza las propiedades de las potencias de exponente entero para expresar todo el miembro izquierdo como una sola potencia de base $\frac{2}{3}$.
2. b) Escribe la fracción del miembro derecho $\frac{32}{243}$ como una potencia de base $\frac{2}{3}$ con exponente entero.
3. c) A partir de los apartados anteriores, obtén una ecuación lineal que deban cumplir $a$ y $b$. A continuación, encuentra dos parejas de enteros $(a, b)$ distintas que satisfagan la igualdad, exigiendo que en al menos una de ellas uno de los exponentes sea estrictamente negativo.

Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales distintos de cero. Aplica las propiedades de las potencias y deja el resultado final expresado exclusivamente con exponentes positivos:

$\frac{(a^{-2} \cdot b^3)^{-3} \cdot (a \cdot b^{-1} \cdot c^2)^4}{(a^3 \cdot c^{-5})^{-2}}$

Una empresa invierte un capital de $35\,000$ bolivianos en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. La fórmula matemática correcta para calcular el capital final después de $t$ años es $C = 35\,000 \cdot (1,04)^t$. Si por un error informático el sistema calcula el capital usando un exponente negativo, $C_{erroneo} = 35\,000 \cdot (1,04)^{-t}$, ¿qué significado financiero tendría este cálculo erróneo? Además, deduce qué relación matemática exacta existe entre el capital correcto a los $5$ años y el capital erróneo calculado para esos mismos $5$ años.

Resuelve la siguiente ecuación exponencial. Para ello, aplica las propiedades de las potencias de exponente entero para separar las bases y extrae factor común:

$3^{x+1} + 3^{x-1} - 3^x = 21$

Se construye un fractal geométrico llamado "Triángulo de Sierpinski" partiendo de un triángulo equilátero relleno de color azul cuya área inicial es $1$ unidad. En cada iteración (paso), se divide cada triángulo azul en cuatro triángulos equiláteros más pequeños y se extrae el triángulo central (que queda vacío/negro). Observa la figura que ilustra los primeros pasos. Determina la expresión matemática, en forma de potencia, que representa el área azul restante tras $n$ iteraciones. A partir de esa expresión, ¿cuál será el área azul exacta tras $6$ iteraciones?

Demuestra matemáticamente que, para cualquier número real $a \neq 0$ y cualquier número entero $n$, se cumple la identidad $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$. Utiliza para tu demostración la definición estricta de potencia de exponente negativo y las propiedades de las operaciones con fracciones.

Simplifica la siguiente expresión algebraica, en la que $m$ y $n$ son números enteros arbitrarios. Tras realizar la simplificación, comprueba y justifica si el resultado final depende de los valores que tomen $m$ y $n$:

$\frac{4^{n+1} \cdot 10^{m-n}}{2^{m+n+2} \cdot 5^{m-n}}$

La intensidad de un haz de luz al atravesar un determinado tipo de cristal tintado se reduce a los $\frac{3}{4}$ de su valor incidente. Si superponemos $n$ de estos cristales idénticos, la intensidad de la luz resultante que logra traspasarlos es $I = I_0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$, siendo $I_0$ la intensidad inicial. Expresa la fracción de luz que se pierde (no la que consigue pasar) tras atravesar $3$ cristales, utilizando potencias de exponente entero para tus cálculos. A la vista del resultado, determina si el sistema bloquea más o menos de la mitad de la luz original.

Analiza y discute razonadamente el signo resultante de la expresión matemática $(-a)^{-n}$ dependiendo de dos factores: si el número real $a$ es estrictamente positivo o negativo, y si el número entero $n$ es par o impar. Elabora un esquema o tabla con los cuatro casos posibles resultantes de esta combinación y acompáñalo de un ejemplo numérico concreto para cada uno de los casos.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Para simplificar la siguiente expresión algebraica:

(con $x \ne 0$ e $y \ne 0$), dos estudiantes plantean dos métodos de trabajo distintos:

• Método 1 (Inversión inicial): Reescribir cada potencia de exponente negativo pasando los factores del numerador al denominador y viceversa ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), para operar únicamente con exponentes positivos desde el primer paso.

• Método 2 (Aritmética directa de exponentes enteros): Aplicar directamente la potencia de un producto y la potencia de una potencia multiplicando los exponentes con su signo, agrupar las potencias de la misma base sumando y restando exponentes enteros, y expresar con exponentes positivos solo al final si se requiere.

1. a) Desarrolla la simplificación paso a paso utilizando el Método 2, mostrando explícitamente las operaciones con los signos de los exponentes. Da el resultado final expresado únicamente con exponentes positivos.
2. b) Justifica por qué el Método 1, aunque matemáticamente válido, resulta poco eficiente y genera un riesgo mucho mayor de error en expresiones con potencias anidadas como esta.
3. c) Modifica exclusivamente dos de los exponentes numéricos que aparecen en la expresión original $E$ para lograr que el resultado final de la simplificación sea exactamente $1$. Justifica cuáles eliges y por qué valores los sustituyes.

Se considera la siguiente función algebraica definida para cualquier exponente entero $n \in \mathbb{Z}$:

1. a) Demuestra formalmente que el valor numérico de $F(n)$ es constante (no depende en absoluto del valor de $n$, sea este positivo, cero o negativo). Para ello, extrae factor común una potencia adecuada de base $3$ tanto en el numerador como en el denominador y simplifica. Expresa la constante resultante como una fracción irreducible.
2. b) Un estudiante afirma: «Si elegimos $n = -100$, las potencias tienen exponentes muy negativos y por tanto valen prácticamente cero; por eso, $F(-100)$ debería tender a cero y no valer lo mismo que para $n = 5$». Rebate con precisión matemática este argumento, distinguiendo entre la magnitud absoluta de los términos y el cociente relativo entre ellos.
3. c) Problema inverso: Encuentra qué valor entero positivo debe tener la base $b$ ($b > 1$) para que la expresión análoga:

tome exactamente el valor numérico $\frac{5}{12}$ para todo $n \in \mathbb{Z}$.