Ejercicios: Operaciones con polinomios

Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ para $x = -2$ y para $x = 1$.

Dados los polinomios $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ y $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcula la expresión resultante de realizar la operación $2 \cdot A(x) - B(x)$.

Multiplica los polinomios $P(x) = x^2 - 3x + 2$ y $Q(x) = 2x - 5$. Expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.

Realiza la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$.

Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escribe el cociente y el resto obtenidos.

Desarrolla las siguientes expresiones aplicando los productos notables correspondientes:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x - 5)^2$

Expresa los siguientes binomios como un producto de dos factores utilizando la identidad notable de suma por diferencia:

1. a) $16x^2 - 25$
2. b) $9x^4 - 49$

Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.

En un examen de 4° de secundaria, Marcos debe simplificar la expresión algebraica $A(x) = (3x - 2)^2 - (3x + 2)(3x - 2)$. En su hoja de respuestas escribe lo siguiente:

$A(x) = 9x^2 - 4 - (9x^2 - 4) = 9x^2 - 4 - 9x^2 - 4 = -8$.

1. a) Identifica y explica detalladamente los dos errores conceptuales que ha cometido Marcos (uno en el desarrollo del cuadrado de una diferencia y otro en el uso de los signos al suprimir el paréntesis).
2. b) Realiza el desarrollo correcto utilizando paso a paso los productos notables y calcula el valor numérico del polinomio resultante para $x = -1$.

Vas a calcular el producto de los polinomios $P(x) = 2x^2 - 5$ y $Q(x) = 3x^3 + 4x - 1$.

1. a) Antes de realizar las multiplicaciones término a término, estima razonadamente:

• ¿Cuál debe ser el grado del polinomio resultante $P(x)\cdot Q(x)$?

• ¿Cuáles deben ser su coeficiente principal y su término independiente? Justifica cómo puedes deducir estos dos valores en pocos segundos sin desarrollar toda la operación.

1. b) Efectúa el producto completo, reduce los términos semejantes y comprueba si tu estimación inicial era exacta.
2. c) Valora la razonabilidad de tu resultado final calculando numéricamente $P(1)$, $Q(1)$ y el valor para $x = 1$ del polinomio producto obtenido, comprobando que se cumple la igualdad de los resultados.

Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $(2x + 5)$ metros de largo y $(2x - 5)$ metros de ancho. En su interior se va a construir una fuente cuadrada de lado $(x - 1)$ metros, y el resto se cubrirá de césped. Expresa el área de la zona de césped como un polinomio en $x$ simplificado.

Se quiere construir una caja de cartón sin tapa a partir de una lámina rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Para ello, se recortan cuatro cuadrados idénticos de lado $x \text{ cm}$ en cada una de las esquinas y se doblan las solapas hacia arriba. Encuentra el polinomio $V(x)$ que expresa el volumen de la caja resultante en función de $x$.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomio $(x + 2)$ tenga un resto igual a $10$. Utiliza el teorema del resto para justificar tu respuesta.

Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, prestando especial atención a los signos y los productos notables:

$3(x - 2)^2 - 2(x + 1)(x - 1) + (x + 3)^2$

El costo de producción de $x$ unidades de un dispositivo electrónico viene dado por el polinomio $C(x) = 50x + 200$. El precio de venta al público de cada unidad depende de la cantidad fabricada y sigue la expresión $p(x) = 300 - 2x$.

Halla el polinomio beneficio $B(x)$, sabiendo que el beneficio es igual a los ingresos totales (cantidad por precio) menos los costos totales. ¿Cuál será el beneficio si se fabrican y venden $40$ unidades?

Sabiendo que al dividir un polinomio $P(x)$ entre $(x - 3)$ se obtiene como cociente $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ y como resto $R = -7$, reconstruye el polinomio $P(x)$ y exprésalo en su forma desarrollada.

La altura en metros de una pelota lanzada verticalmente en función del tiempo en segundos viene dada por el polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segunda pelota, lanzada desde otro punto, sigue una trayectoria descrita por $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$.

Encuentra el polinomio $D(t)$ que representa la diferencia de altura entre la primera y la segunda pelota ($D(t) = H(t) - G(t)$). ¿En qué instante $t$ se encuentran ambas pelotas a la misma altura?

Comprueba si el polinomio $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ es divisible por el binomio $(x^2 + 1)$ realizando la división correspondiente. En caso afirmativo, escribe la factorización de $P(x)$ como producto de dos polinomios.

Se quiere averiguar el resto de dividir el polinomio $P(x) = 4x^{20} - 3x^7 + 5x - 2$ entre $(x + 1)$ y determinar si $(x + 1)$ es un factor de $P(x)$. Tres miembros de un equipo de trabajo proponen vías distintas:

• Andrés dice: «Hagamos la división euclidiana larga tradicional en caja».

• Bea dice: «Apliquemos la regla de Ruffini dibujando la tabla con coeficientes».

• Carlos dice: «Usemos directamente el teorema del resto sustituyendo $x = -1$».

1. a) Compara los tres métodos explicando por qué las propuestas de Andrés y Bea resultan extraordinariamente ineficientes y propensas a errores de recuento en este ejercicio concreto.
2. b) Justifica cuál es el método idóneo y aplícalo para hallar el resto de la división.
3. c) A la vista del valor obtenido, concluye de forma razonada si el polinomio $P(x)$ es divisible entre $(x + 1)$ y qué significado geométrico o algebraico tiene este hecho respecto a la raíz $x = -1$.

Una empresa de encomiendas urgentes ubicada en un centro logístico de Santa Cruz de la Sierra diseña cajas de cartón reforzado para envíos ecológicos. Las medidas interiores de cada caja (en decímetros) son: largo $(2x + 1)$, ancho $(x + 3)$ y altura $(x - 1)$, con $x > 1$.

1. a) Modela mediante un polinomio desarrollado y ordenado $V(x)$ el volumen interior total de la caja en $\text{dm}^3$.
2. b) Para precintar el paquete se coloca una cinta continua en el contorno horizontal (perímetro de la base, formada por el largo y el ancho) y otra en el contorno vertical transversal (perímetro formado por el ancho y la altura). Expresa mediante un polinomio reducido $L(x)$ la longitud total de cinta requerida (sin traslapes).
3. c) Si las especificaciones de diseño fijan $x = 5\text{ dm}$, calcula el volumen en litros ($1\text{ dm}^3 = 1\text{ litro}$) y la longitud de cinta en centímetros. Comprueba si el paquete cumple la normativa de encomiendas estándar en Bolivia, que exige que la suma de sus tres dimensiones no supere los $25\text{ dm}$.

Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sea divisible exactamente por $(x - 2)$ y, al mismo tiempo, deje un resto de $-12$ al dividirlo entre $(x + 1)$.

Una pista de atletismo está formada por una región rectangular central de largo $3x$ y ancho $2x$, rematada por dos semicírculos en sus extremos de diámetro $2x$. Expresa el área total y el perímetro exterior de la pista como polinomios dependientes de $x$ (deja el número $\pi$ indicado en los coeficientes).

Demuestra algebraicamente que, para cualquier número real $x > 1$, las expresiones $a = x^2 - 1$, $b = 2x$ y $c = x^2 + 1$ forman siempre los lados de un triángulo rectángulo (es decir, cumplen el Teorema de Pitágoras). Comprueba tu resultado evaluando los polinomios para $x = 4$.

Una empresa emergente estima que sus ingresos mensuales siguen el polinomio $I(x) = -2x^3 + 60x^2$ y sus costos de operación son $C(x) = 15x^2 + 400x$, donde $x$ es el número de meses transcurridos desde su creación.

Encuentra el polinomio de beneficio $B(x)$. Sabiendo que en el mes $x = 10$ el beneficio es exactamente cero (punto de equilibrio), factoriza el polinomio $B(x)$ para determinar en qué otro mes el beneficio vuelve a ser cero.

Opera y simplifica la siguiente expresión algebraica, factorizando el resultado final si es posible:

$\frac{(2x - y)^3 - (2x + y)^3}{-2y}$

A continuación, evalúa el polinomio resultante para $x = 2$ e $y = -1$.

Determina los valores de los coeficientes $m$ y $n$ para que la división del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + mx^2 + nx - 5$ entre el divisor $d(x) = 2x^2 - x + 3$ sea exacta.

Un depósito de agua tiene forma cilíndrica con un radio base de $(x + 2)$ metros y una altura de $(2x - 1)$ metros. En su interior se sumerge un bloque cúbico sólido de arista $x$ metros. Expresa mediante un polinomio ordenado el volumen de agua necesario para llenar el espacio libre del depósito. Deja la constante $\pi$ indicada en los coeficientes que la requieran.

Un polinomio $P(x)$ de grado 3 tiene como raíces $x = 1$, $x = -2$ y $x = 4$. Sabiendo además que el valor numérico del polinomio para $x = 0$ es igual a $16$, encuentra la expresión desarrollada de $P(x)$ (es decir, en la forma $ax^3 + bx^2 + cx + d$).

Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $3$. Se conocen los siguientes datos sobre sus divisiones:

• Es divisible exactamente entre $(x - 2)$ y entre $(x + 1)$.

• Al dividir $P(x)$ entre $(x - 1)$, el resto obtenido es $12$.

1. a) Utilizando el teorema del resto y la relación fundamental entre divisores, factores y raíces, plantea la estructura factorial de $P(x)$ en función de una única raíz desconocida $c$, justificando por qué no es necesario plantear un sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas.
2. b) Determina el valor exacto de la raíz $c$ a partir del resto de la división entre $(x - 1)$.
3. c) Escribe la expresión desarrollada de $P(x)$ en la forma $ax^3 + bx^2 + cx + d$ y, aplicando la regla de Ruffini, calcula el resto de dividir dicho polinomio entre $(x + 2)$, comprobando que coincide con el valor numérico $P(-2)$.

En una comunidad de regantes de Cochabamba se instala un sistema automatizado de bombeo solar. El costo de mantenimiento anual (en bolivianos) se modeliza mediante el polinomio $C(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 8$, donde $x$ representa el número de sectores de bombeo activos ($x \ge 2$). Dicho costo se reparte a partes iguales entre los sectores de riego, cuyo número viene dado por $S(x) = x - 2$.

1. a) Utiliza la regla de Ruffini para calcular el polinomio $Q(x)$ que representa el costo anual por sector y el costo residual $R$ que queda en el fondo de reserva comunitario sin asignar. Recuerda completar todos los grados en la tabla y escribe la relación $C(x) = S(x)\cdot Q(x) + R$.
2. b) Un agricultor afirma que si se amplía la red a más sectores (haciendo crecer el valor de $x$), el importe del fondo de reserva $R$ aumentará porque la instalación es mayor. Rebate razonadamente su afirmación utilizando la definición formal del algoritmo de la división y el teorema del resto, explicando qué grado debe tener necesariamente $R(x)$.
3. c) La comunidad recibe una subvención del Plan de Modernización de Riego que reduce el costo total según la expresión $A(x) = x^4 - (x^2 - 1)^2$. Simplifica algebraicamente el polinomio de la subvención $A(x)$ mediante identidades notables y deduce el nuevo resto residual no repartido $R_{\text{nuevo}}$ tras aplicar la ayuda, justificando el cálculo mediante el teorema del resto sin volver a trazar toda la tabla de Ruffini.