Ejercicios: Factorización y regla de Ruffini

Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente y cuál es el residuo de la división.

Sin realizar la división, utiliza el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.

Utiliza el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.

Extrae el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo:

$P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$

Factoriza los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de productos notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):

1. a) $A(x) = x^2 - 14x + 49$
2. b) $B(x) = 9x^2 - 16$

Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utiliza la regla de Ruffini para factorizarlo y encontrar las otras dos raíces.

Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directamente cuáles son todas sus raíces y especifica la multiplicidad de cada una de ellas (si son simples, dobles, etc.).

Construye un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Expresa el resultado final en forma desarrollada (operando los factores).

Mateo tiene que determinar si el binomio $(x + 2)$ es un factor del polinomio $P(x) = x^3 - 3x + 2$. Para comprobarlo, decide aplicar la regla de Ruffini y escribe en la fila superior de su tabla únicamente los números $1$, $-3$ y $2$. En la casilla lateral izquierda coloca el valor $-2$. Tras operar, obtiene un resto distinto de cero y afirma: «Como el resto no es nulo, $(x + 2)$ no divide al polinomio y, por tanto, no es un factor».

1. a) Identifica los dos errores cometidos por Mateo (uno de procedimiento al preparar la tabla y otro en su conclusión).
2. b) Explica por qué es imprescindible incluir un cero en el lugar de los términos ausentes al aplicar este método.
3. c) Realiza la división de forma correcta utilizando la regla de Ruffini y determina razonadamente si $(x + 2)$ es en realidad un factor de $P(x)$, indicando el cociente obtenido.

Para descomponer en factores el polinomio $Q(x) = 3x^4 - 12x^2$, dos compañeros de curso plantean dos estrategias distintas:

• Estrategia de Alba: Buscar los divisores enteros del término independiente y aplicar sucesivamente la regla de Ruffini.

• Estrategia de Bruno: Extraer primero el máximo factor común posible y, después, aplicar productos notables.

1. a) Explica qué inconveniente insalvable encuentra Alba si intenta aplicar su estrategia tal y como la ha formulado.
2. b) Justifica por qué la propuesta de Bruno es más rápida, segura y adecuada para este tipo de polinomios.
3. c) Aplica el método de Bruno para factorizar completamente $Q(x)$, deduciendo todas sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.

Un depósito de agua tiene forma de prisma rectangular. Su volumen en función de una medida $x$ viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 6x$. Si la altura del depósito es exactamente $x$, factoriza el polinomio para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las dimensiones de su base rectangular.

Halla el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.

La altura de un vagón de una montaña rusa, en metros, respecto al tiempo $t$ en segundos desde que inicia una bajada, se modeliza mediante el polinomio $H(t) = -t^3 + 8t^2 - 15t$. Factoriza el polinomio para determinar en qué instantes exactos de tiempo el vagón se encuentra a ras de suelo ($H(t) = 0$).

Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extrae primero el factor común y luego encuentra las raíces del polinomio resultante.

Calcula el valor de $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sea exactamente divisible por $(x - 3)$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio $P(x)$.

El número de visitas a una web (en miles) durante el mes $x$ desde su lanzamiento viene dado por la expresión $V(x) = x^3 - 14x^2 + 49x$. Factoriza la expresión para averiguar en qué mes o meses las visitas fueron exactamente cero.

Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Puedes utilizar la regla de Ruffini dividiendo entre $(x - \frac{3}{2})$ y ajustando posteriormente el cociente obtenido.

Una empresa de embalaje diseña una caja de cartón cuyo volumen viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 - 12x^2 + 36x$. Factoriza el polinomio al máximo para expresar el volumen como el producto de tres dimensiones lineales (largo, ancho y alto).

Se quiere factorizar el polinomio $P(x) = x^3 + 4x^2 - 11x - 30$.

1. a) Enumera todos los candidatos a raíces enteras a partir de los divisores del término independiente.
2. b) Estima antes de calcular: Observa los candidatos de mayor valor absoluto ($\pm 15$ y $\pm 30$). Sin aplicar la regla de Ruffini, compara mentalmente la magnitud de $x^3$ frente a la suma del resto de términos y razona por qué es sumamente improbable que números tan alejados del origen sean raíces de este polinomio. ¿En qué intervalo esperarías encontrar las raíces?
3. c) Utiliza el teorema del resto evaluando únicamente los candidatos más cercanos a cero ($\pm 1, \pm 2, \pm 3$) para encontrar una primera raíz sin necesidad de trazar tablas de Ruffini innecesarias.
4. d) Completa la factorización de $P(x)$ mediante la regla de Ruffini a partir de la raíz hallada, indica todas las raíces reales y reflexiona sobre cómo la estimación inicial permite ahorrar cálculos infructuosos.

Una empresa logística de Santa Cruz de la Sierra que opera en el parque industrial diseña contenedores de transporte intermodal para el ferrocarril. El volumen de carga útil de cada contenedor (en metros cúbicos, $\text{m}^3$) viene dado por el polinomio $V(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$, donde la variable $x$ es una cota técnica de diseño en metros, sujeta a la condición $x > 3$.

1. a) Aplica la regla de Ruffini para descomponer $V(x)$ en el producto de tres binomios de primer grado, los cuales representarán las tres dimensiones espaciales del contenedor (largo, ancho y alto).
2. b) Si la altura del contenedor viene representada por la expresión $(2x - 1)\text{ m}$, ¿cuáles son las expresiones algebraicas de las otras dos dimensiones que forman la base?
3. c) Si los ingenieros fijan el parámetro en $x = 4\text{ m}$, calcula las dimensiones métricas reales del contenedor, su volumen total en $\text{m}^3$ y en litros, y comprueba que obtienes el mismo resultado utilizando la expresión polinómica desarrollada y la factorizada.

Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modeliza mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentra todas las raíces del polinomio para determinar los puntos exactos donde la tensión es nula.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$.

Un panel solar tiene forma rectangular y su área viene dada por el polinomio $A(x) = x^4 - 81$. Factoriza el polinomio completamente en polinomios irreducibles con coeficientes reales para hallar las posibles expresiones algebraicas de su base y su altura.

Construye un polinomio $P(x)$ de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ y $x_3 = 3$, sabiendo además que su valor numérico en $x = 0$ es $12$ (es decir, $P(0) = 12$). Expresa el polinomio final de forma desarrollada.

Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Ten en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indica claramente cuáles son sus raíces y la multiplicidad de cada una.

Utilizando la factorización de polinomios y los productos notables, demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos, $(2n+1)^2 - (2n-1)^2$, es siempre un múltiplo de $8$ para cualquier número entero $n$.

Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Comprueba mediante el teorema del resto o la regla de Ruffini que $x = 2$ es una de sus raíces. A continuación, factoriza el polinomio completamente para encontrar sus otras dos raíces (una de ellas es una fracción).

En un sistema de criptografía, una clave de seguridad se valida si coincide con las raíces del polinomio $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Factoriza el polinomio completamente para descubrir todas las raíces y sus respectivas multiplicidades, logrando así descifrar el código.

Halla la expresión analítica de un polinomio $P(x)$ de grado 4 que cumpla simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. Su coeficiente principal es igual a $2$.

2. Admite a $x = -1$ como raíz de multiplicidad 2.

3. Es divisible de forma exacta entre el binomio $(x - 2)$.

4. Al dividir $P(x)$ entre $(x + 2)$, el resto obtenido es $-48$.

Para resolverlo de forma razonada:

1. a) Escribe la estructura factorizada general de $P(x)$ dejando indicada una cuarta raíz desconocida $r$.
2. b) Aplica el teorema del resto con la condición 4 para plantear una ecuación de primer grado y despejar el valor exacto de la raíz $r$.
3. c) Escribe la factorización completa y definitiva de $P(x)$ y, a continuación, efectúa las operaciones algebraicas necesarias para expresarlo en forma desarrollada (en potencias decrecientes de $x$).

Considera el polinomio $P(x) = 2x^3 + kx^2 - 13x + 6$, donde $k$ representa un parámetro real desconocido. Se sabe que $x = 2$ es una de sus raíces. Para hallar el valor de $k$ y completar la factorización, el departamento de matemática compara dos alternativas didácticas:

• Vía 1 (Ruffini con parámetro): Colocar el parámetro $k$ directamente en la tabla de Ruffini dividiendo entre $(x - 2)$, obtener la expresión algebraica del resto e igualarla a cero.

• Vía 2 (Teorema del resto): Utilizar la condición $P(2) = 0$ mediante sustitución numérica directa para despejar $k$, y realizar la regla de Ruffini únicamente cuando todos los coeficientes sean conocidos.

1. a) Compara ambas alternativas: explica qué dificultades algebraicas presenta la Vía 1 y por qué la Vía 2 resulta más eficiente y con menor riesgo de error en 4° de secundaria.
2. b) Aplica la Vía 2 para calcular el valor exacto de $k$.
3. c) Una vez fijado $k$, factoriza completamente el polinomio $P(x)$. Justifica la obtención de la raíz fraccionaria a partir del teorema de las raíces racionales ($p/q$) y escribe la factorización final asegurándote de no omitir ningún coeficiente.

Reto del tema. Imagina que planificas una misión con un dron ambiental para medir emisiones urbanas utilizando datos meteorológicos reales.

1. Datos y ruta vectorial: Consulta en el SENAMHI la velocidad media del viento ($v$) y la temperatura de hoy en tu municipio. Define el vector de despegue $\vec{u}=(v, 2)$ y el de deriva del viento $\vec{w}=(-1, 3)$. Realiza la operación combinada $2\vec{u} + \vec{w}$ para calcular el vector de desplazamiento final del dron.

2. Autonomía: Simula en GeoGebra o en una hoja de cálculo el consumo de batería mediante la función exponencial $B(t) = 100 \cdot 0,85^t$ (con $t$ en horas de vuelo). Estima tras cuántas horas la carga baja del $15\,\%$.

3. Rendimiento: El rozamiento aerodinámico depende de la altitud $x$ según la fracción algebraica $F(x) = \frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^2 - 5x + 6}$. Aplica la regla de Ruffini para factorizar numerador y denominador, simplifica la expresión e identifica qué altitudes críticas anulan el denominador.

4. Informe final: Redacta un informe de una página que recoja la trayectoria vectorial, el gráfico de la batería y las altitudes que deben evitarse según la fracción simplificada.

Se valorará:

• Rigor en la factorización por Ruffini y simplificación de la fracción algebraica.

• Precisión en las operaciones con vectores y uso de datos reales del SENAMHI.

• Correcto modelado e interpretación de la función exponencial con soporte digital.