Ejercicios: Expresiones algebraicas

Identifica el coeficiente, la parte literal y el grado del siguiente monomio: $M(x,y) = -\frac{2}{3}x^4y^2$.

Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ para $x = -2$.

Expresa en lenguaje algebraico el siguiente enunciado: "El cubo de un número menos el cuadrado de otro número distinto".

Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios y justifica tu respuesta:

• $A(x) = 3x^2 - \frac{5}{x}$

• $B(x) = \sqrt{2}x^3 - x$

• $C(x) = 4x^{1/2} + 1$

Realiza la siguiente suma y resta de monomios semejantes y simplifica el resultado: $3x^2y - 5x^2y + 8x^2y$.

Efectúa la multiplicación de los siguientes monomios: $(-3a^2b^3) \cdot (4ab^4)$.

Determina el valor de $k$ para que el valor numérico del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx + 4$ en $x = 1$ sea igual a $5$.

Escribe la expresión algebraica que representa el perímetro de un rectángulo cuya base mide $3x$ y su altura mide $x + 2$.

Marcos tiene que simplificar en un examen la expresión algebraica $E(x, y) = 4x^3y^2 + 2x^3y^2 - 3x \cdot (2x^2y^2)$. En su hoja escribe el siguiente desarrollo:

Paso 1: $4x^3y^2 + 2x^3y^2 = 6x^6y^4$.

Paso 2: $3x \cdot (2x^2y^2) = 6x^2y^2$.

Paso 3: $6x^6y^4 - 6x^2y^2 = 0x^4y^2 = 0$.

1. a) Identifica y explica de forma razonada los errores conceptuales que comete Marcos en cada uno de los tres pasos, indicando qué propiedades de las operaciones con monomios ha vulnerado.
2. b) Realiza la simplificación correcta paso a paso, indica si el resultado obtenido es un monomio o un polinomio y determina su grado absoluto.

Se busca determinar la fórmula de un monomio con dos variables de la forma $M(x, y) = c \cdot x^{a+2} y^{3a-1}$, donde $c$ es un número real y $a$ es un número natural.

1. a) Si se sabe que el grado absoluto del monomio es $9$, plantea una ecuación de primer grado respecto a la incógnita $a$ y halla su valor.
2. b) Con el valor de $a$ hallado, calcula el coeficiente $c$ sabiendo que el valor numérico del monomio para $x = -1$ e $y = 2$ es igual a $-64$.
3. c) Si mantienes el valor de $y = 2$ pero triplicas el valor de $x$ haciéndolo $x = -3$, razona por qué factor queda multiplicado el resultado final sin necesidad de volver a calcular todas las potencias desde el principio.

Una tienda de ropa ofrece un descuento del $20\%$ en todos sus artículos. Si compras $x$ camisas que originalmente cuestan $175$ bolivianos cada una y $y$ pantalones que cuestan $280$ bolivianos cada uno, escribe la expresión algebraica del costo total de la compra. Calcula el costo si compras $3$ camisas y $2$ pantalones.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento viene dada por la expresión $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, donde $m$ es la masa en kilogramos y $v$ la velocidad en metros por segundo. Calcula la energía cinética de un vehículo de $800$ kg que circula a $20$ m/s.

La figura muestra un cuadrado de lado $2x$ que contiene en su interior un círculo de radio $x$. Escribe la expresión algebraica que representa el área de la región sombreada (la zona del cuadrado exterior al círculo).

Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $P(x,y) = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y}$ para $x = \frac{1}{2}$ y $y = -\frac{3}{2}$. Pista: simplifica la expresión antes de sustituir los valores.

Una compañía telefónica cobra una cuota fija mensual de $105$ bolivianos, más $0,84$ bolivianos por cada minuto de llamada $m$ y $0,35$ bolivianos por cada megabyte consumido $d$. Escribe la expresión algebraica de la factura mensual y calcula su monto para un mes en el que se consumieron $100$ minutos y $500$ megabytes.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ en el polinomio $P(x) = ax^2 + bx - 5$ sabiendo que su valor numérico para $x = 1$ es $-2$ y para $x = -1$ es $-4$.

Un depósito cilíndrico tiene un radio de la base $r = x$ y una altura $h = 3x$. Escribe las expresiones algebraicas que representan su volumen y su área lateral en función de $x$.

Realiza la siguiente división de monomios e indica el coeficiente, la parte literal y el grado del monomio resultante: $\frac{-24x^5y^4z}{6x^2y^3}$.

Una cooperativa de mensajería sostenible en bicicleta de Santa Cruz de la Sierra ofrece a las pequeñas empresas una tarifa mensual compuesta por una cuota fija de $35$ bolivianos, más $2,40$ bolivianos por cada entrega estándar (menos de $3$ kg) y $4,50$ bolivianos por cada entrega urgente o voluminosa. Además, para incentivar el comercio de proximidad, si en un mes se realizan más de $80$ entregas en total, se aplica una bonificación del $15\%$ de descuento exclusivamente sobre el costo de los envíos (la cuota fija no se rebaja).

1. a) Define las dos variables que intervienen y escribe el polinomio que expresa el costo mensual $C_1(x, y)$ de una empresa que no supera las $80$ entregas totales. Señala cuál es el término independiente y explica su significado práctico.
2. b) Escribe el polinomio simplificado $C_2(x, y)$ que representa el costo mensual si la empresa supera las $80$ entregas en el mes.
3. c) Una librería del centro realizó el mes pasado $50$ entregas estándar y $40$ entregas urgentes. Justifica qué fórmula debes aplicar, calcula el importe total de la factura e interpreta qué porcentaje del gasto total correspondió a la cuota fija.

En un centro de control medioambiental de Castilla y León se modeliza la concentración de un contaminante en el aire (en $\mu\text{g}/\text{m}^3$) durante una jornada de $8$ horas mediante el polinomio $C(t) = -0,25 t^3 + 2,4 t^2 - 3,5 t + 18$, donde $t$ representa el tiempo en horas transcurrido desde las 08:00 ($0 \leq t \leq 8$). Se quiere conocer la concentración a las 12:00 ($t = 4$).

1. a) Antes de operar con exactitud, realiza una estimación redondeando los coeficientes con decimales al entero más próximo (en caso de empate, como en $-3,5$, redondea a $-4$) y calcula mentalmente si el valor de $C(4)$ será superior o inferior a la concentración inicial $C(0) = 18\,\mu\text{g}/\text{m}^3$. Justifica tu predicción.
2. b) Calcula el valor numérico exacto de $C(4)$ respetando la jerarquía de operaciones y la regla de los signos.
3. c) Determina el error absoluto cometido en tu estimación ($|\text{valor exacto} - \text{valor estimado}|$) y explica, atendiendo a los signos de los monomios del polinomio, qué términos impulsaron la subida del contaminante y cuál frenó su crecimiento.

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una plancha de cartón rectangular de $40$ cm de largo por $30$ cm de ancho. Para ello, se recortan cuadrados de lado $x$ en cada una de las cuatro esquinas y se doblan las solapas hacia arriba. Escribe la expresión algebraica del volumen de la caja en función de $x$ y calcula dicho volumen si $x = 5$ cm.

Demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos es siempre un múltiplo de $8$. (Recuerda que un número impar se puede expresar de la forma $2n+1$).

Dada la expresión algebraica $E(a,b) = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$, simplifícala al máximo efectuando la división y utiliza el resultado para calcular mentalmente su valor numérico cuando $a = 4,5$ y $b = 1,5$.

En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ de tres resistencias $R_1$, $R_2$ y $R_3$ conectadas en paralelo se obtiene a partir de la fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$. Despeja $R_{eq}$ y escribe su expresión algebraica como una única fracción en función de $R_1$, $R_2$ y $R_3$.

Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $a$ metros de largo por $b$ metros de ancho. Se construyen dos caminos perpendiculares de anchura $x$ paralelos a los lados del jardín, formando una cruz. Escribe la expresión algebraica factorizada del área de la zona verde restante.

Dos agencias de alquiler de autos ofrecen distintas tarifas. La agencia A cobra una cuota fija de $210$ bolivianos más $1,40$ bolivianos por kilómetro recorrido. La agencia B cobra $350$ bolivianos fijos más $1,05$ bolivianos por kilómetro. Escribe la expresión algebraica que representa la diferencia de costo entre la agencia A y la agencia B para un trayecto de $k$ kilómetros, y determina para cuántos kilómetros el costo es exactamente el mismo.

Escribe la expresión algebraica que proporciona la suma de los primeros $n$ múltiplos enteros positivos de $3$, sabiendo que la suma de los primeros $n$ números naturales es $\frac{n(n+1)}{2}$. Utiliza dicha expresión para calcular la suma de los primeros $50$ múltiplos de $3$.

Un agricultor dispone de $L$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río rectilíneo. Como el río actúa como barrera natural, no necesita poner valla en ese lado. Si llamamos $x$ a la anchura del terreno (la dimensión perpendicular al río), escribe la expresión algebraica del área del recinto en función de $L$ y $x$. ¿Cuál es el área si dispone de $100$ metros de valla y la anchura es de $20$ metros?

Se quiere calcular el valor numérico de la expresión algebraica racional $E(x, y) = \dfrac{20x^5y^3 - 8x^3y^5 + 16x^4y^4}{4x^2y^2}$ para los valores $x = 2,5$ e $y = -2$. Para resolverlo, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Método de Sergio: sustituir directamente los valores $x = 2,5$ e $y = -2$ en el numerador y en el denominador, calcular las potencias de exponente $5$, $4$ y $3$, efectuar las multiplicaciones y sumas, y finalmente dividir el numerador resultante entre el denominador.

• Método de Alba: dividir previamente cada término del numerador entre el monomio del denominador aplicando las reglas de división de monomios para obtener un polinomio simplificado, y sustituir los valores numéricos únicamente en la expresión resultante.

1. a) Desarrolla de forma completa el método de Alba hasta obtener el polinomio reducido y calcula su valor numérico para los valores indicados.
2. b) Analiza el número de operaciones con potencias de exponente alto y multiplicaciones decimales que exige el método de Sergio frente al de Alba. Justifica de manera crítica cuál de los dos métodos es más conveniente en una prueba sin calculadora para minimizar el tiempo y el riesgo de error.
3. c) ¿Sería válido el método de Alba si los valores asignados fueran $x = 0$ o $y = 0$? Razona tu respuesta basándote en la definición de la expresión original.

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios no nulos en una variable, con grados respectivos $\operatorname{gr}(P) = m$ y $\operatorname{gr}(Q) = n$, tales que $m > n \geq 1$.

1. a) Se forman los polinomios $A(x) = [P(x)]^2 \cdot Q(x)$ y $B(x) = P(x) \cdot [Q(x)]^2$. Sabiendo que el grado de $A(x)$ es $11$ y el grado de $B(x)$ es $10$, plantea un sistema de dos ecuaciones lineales con incógnitas $m$ y $n$ a partir de las propiedades del grado del producto y de la potencia de polinomios, y deduce los grados originales de $P(x)$ y $Q(x)$.
2. b) Considera el polinomio $C(x) = P(x) - k \cdot x^{m-n} \cdot Q(x)$, donde $k$ es una constante real distinta de cero. ¿Se puede asegurar siempre que el grado de $C(x)$ es igual a $m$? Justifica teóricamente tu respuesta y pon un contraejemplo numérico concreto con polinomios sencillos donde $\operatorname{gr}(C) < m$, indicando qué condición matemática precisa debe cumplir $k$ respecto a los coeficientes principales de $P(x)$ y $Q(x)$ para que ocurra dicha reducción de grado.