Ejercicios: Números racionales

Clasifica las siguientes fracciones según el tipo de expresión decimal que generan (exacta, periódica pura o periódica mixta) sin realizar la división: $\frac{7}{20}$, $\frac{5}{33}$, $\frac{11}{9}$ y $\frac{3}{14}$.

Calcula la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales: $3,45$ y $2,\widehat{7}$.

Clasifica los siguientes números indicando el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$; $\frac{8}{2}$; $1,2\widehat{3}$; $\sqrt{7}$.

Realiza la siguiente operación con fracciones y simplifica el resultado: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.

Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: $\frac{5}{6}$, $0,83$, $0,\widehat{8}$, $\frac{7}{8}$.

En una receta de repostería se necesitan $\frac{3}{4}$ de kilo de harina para hacer una tarta. Si dispones de $2,5$ kg de harina, ¿cuántas tartas completas puedes hacer y qué fracción de kilo te sobrará?

Representa de forma exacta en la recta numérica los números racionales $\frac{5}{3}$ y $-\frac{7}{4}$.

Encuentra dos números racionales distintos que estén comprendidos estrictamente entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$.

Para clasificar el número decimal que genera la fracción $\frac{21}{140}$ sin hacer la división, Lucía descompone el denominador en factores primos: $140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$. Al observar que aparecen los factores $2$ y $5$ junto con el $7$, afirma con rotundidad: «Como en el denominador aparece el factor $7$ acompañando al $2$ y al $5$, la fracción genera necesariamente un decimal periódico mixto». Explica detalladamente el error que ha cometido Lucía, indica qué paso previo e imprescindible omitió y clasifica de forma correcta la expresión decimal de dicha fracción calculando su valor exacto.

Se busca construir fracciones irreducibles cuyo denominador $d$ sea un número natural estrictamente comprendido entre $20$ y $30$ ($20 < d < 30$):

1. a) Escribe una fracción irreducible que cumpla esa condición y cuya expresión decimal sea exacta.
2. b) Escribe otra fracción irreducible que cumpla la condición pero cuya expresión decimal sea periódica pura.
3. c) Escribe una tercera fracción irreducible que cumpla la condición y cuya expresión decimal sea periódica mixta.

En cada uno de los tres casos, justifica tu respuesta mediante la descomposición en factores primos del denominador que hayas elegido.

Calcula la fracción generatriz irreducible del número decimal $4,1\widehat{36}$.

Realiza la siguiente operación pasando previamente los números decimales a fracción generatriz y simplifica el resultado: $1,\widehat{5} + 0,2\widehat{3} - \frac{5}{6}$.

Un agricultor vende $\frac{1}{3}$ de su cosecha de tomates por la mañana y $\frac{2}{5}$ del resto por la tarde. Si aún le quedan $480$ kg en el almacén, ¿cuántos kilos de tomates cosechó en total?

Al medir la longitud de una pieza de madera de $\frac{17}{3}$ cm exactos, un carpintero anota un valor de $5,6$ cm. Calcula el error absoluto y el error relativo cometidos en la medición, expresando los resultados como fracciones irreducibles.

Determina el valor de $x$ para que la fracción $\frac{x}{42}$ genere un número decimal exacto, sabiendo que $x$ es un número natural menor que $25$. Justifica tu respuesta utilizando la descomposición factorial del denominador.

En un partido de básquetbol, una jugadora encesta $5$ de cada $8$ tiros libres que lanza. Si en toda la temporada ha fallado $24$ tiros libres, ¿cuántos ha lanzado en total y cuál es su porcentaje de acierto expresado como número decimal?

Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado como una fracción irreducible: $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^3 \div \left( \frac{3}{2} \right)^5$.

Para fabricar un perfume artesanal, se mezclan $\frac{2}{5}$ de litro de esencia de lavanda con $\frac{1}{4}$ de litro de alcohol puro y el resto de agua destilada hasta completar un frasco de $1,5$ litros. ¿Qué fracción del frasco representa el agua destilada?

Antes de operar con precisión la expresión $E = 2,\widehat{6} \cdot 0,75 - 0,1\widehat{6}$:

1. a) Realiza una estimación previa redondeando cada número decimal a las décimas y calcula mentalmente el valor aproximado para prever entre qué dos números enteros consecutivos estará el resultado.
2. b) Determina la fracción generatriz irreducible de cada uno de los tres términos y calcula el valor exacto de $E$, expresando el resultado final como una fracción irreducible.
3. c) Obtén la expresión decimal del resultado exacto del apartado b, compárala con tu estimación inicial y argumenta si el resultado obtenido es razonable o si denota algún error de cálculo.

En la línea C-5 de Cercanías de Madrid se realiza un estudio de tiempos de transporte. Un tren tarda habitualmente $12,1\widehat{6}$ minutos en cubrir el trayecto entre dos estaciones, mientras que la línea de autobús interurbano que realiza el mismo recorrido emplea $18,45$ minutos.

1. a) Modela el tiempo del tren expresándolo como una fracción irreducible de hora (recuerda que $1\text{ hora} = 60\text{ minutos}$).
2. b) Durante una jornada de mantenimiento técnico, el tren sufre una avería que incrementa su tiempo de viaje en una tercera parte respecto a su tiempo habitual. Modela esta nueva situación calculando el tiempo total del tren en minutos como una fracción irreducible y clasifica el tipo de número decimal que representa.
3. c) Con dicho incremento de tiempo, ¿sigue siendo el tren más rápido que el autobús? Justifica tu respuesta comparando formalmente ambas fracciones de tiempo en minutos mediante reducción a común denominador.

Resuelve la siguiente operación combinada, expresando el resultado final como una fracción irreducible: $\frac{\left( 0,\widehat{3} + \frac{1}{2} \right)^{-1} \cdot 1,1\widehat{6}}{\sqrt{0,25} - \frac{1}{3}}$.

Demuestra matemáticamente, utilizando el algoritmo para obtener la fracción generatriz, que el número decimal periódico puro $0,\widehat{9}$ es exactamente igual al número natural $1$.

Un sistema de engranajes está formado por tres ruedas dentadas. La primera rueda da $\frac{15}{4}$ de vuelta por minuto. La segunda rueda da $\frac{5}{2}$ de vuelta por cada vuelta que da la primera, y la tercera rueda da $\frac{4}{3}$ de vuelta por cada vuelta que da la segunda. ¿Cuántas vueltas completas dará la tercera rueda en $8$ minutos?

Un tanque de agua para riego tiene dos grifos de llenado y un desagüe. El primer grifo lo llena en $4$ horas, el segundo grifo lo llena en $6$ horas, y el desagüe lo vacía por completo en $8$ horas. Si se abren los tres a la vez cuando el tanque está vacío, ¿qué fracción del tanque se llenará en $1$ hora? ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse por completo?

Una pelota de goma especial se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada bote alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura del bote anterior. Calcula la altura que alcanzará en el cuarto bote y exprésala como un número decimal exacto.

Halla un número racional positivo de la forma $\frac{a}{b}$ tal que al sumarle su inverso multiplicativo se obtenga como resultado $\frac{25}{12}$.

Tres amigos organizan un torneo de e-sports en su ciudad. El primero aporta $\frac{1}{4}$ del presupuesto total, el segundo aporta $\frac{2}{5}$ y el tercero aporta los $9\,800$ bolivianos restantes. Al final, el torneo genera $5\,950$ bolivianos de ingresos por la venta de entradas. Sabiendo que los ingresos se reparten de forma proporcional al dinero aportado, ¿qué fracción de los ingresos le corresponde al segundo amigo y qué cantidad exacta de dinero recibirá?

Determina todos los valores enteros de $n$ para los cuales la fracción algebraica $\frac{3n + 15}{n + 2}$ representa un número entero.

Te piden intercalar exactamente tres números racionales distintos comprendidos estrictamente entre $\frac{5}{11}$ y $\frac{6}{11}$. Se plantean dos estrategias de resolución:

• Método A (Puntos medios sucesivos): Calcular el punto medio $m_1 = \frac{a+b}{2}$ entre los extremos dados y, a continuación, los puntos medios entre cada extremo y $m_1$.

• Método B (Amplificación directa): Multiplicar numerador y denominador de ambas fracciones por un número entero conveniente para abrir un intervalo suficiente entre numeradores enteros consecutivos.

1. a) Aplica ambos métodos para encontrar, mediante cada uno de ellos, tres números racionales intercalados.
2. b) Compara el costo de cálculo de ambos procedimientos y argumenta razonadamente cuál de los dos métodos elegirías si en lugar de tres números te pidieran intercalar $50$ números racionales entre $\frac{5}{11}$ y $\frac{6}{11}$.
3. c) Apoyándote en la propiedad matemática que justifica el Método A, demuestra por qué en el conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ carece de rigor matemático hablar del «número racional inmediatamente posterior a $\frac{5}{11}$».

Un número decimal periódico mixto con anteperíodo no nulo tiene la forma $0,a\widehat{b}$, donde $a$ y $b$ representan cifras distintas del sistema decimal ($a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ y $b \in \{0, 1, \ldots, 9\}$). Al simplificar al máximo su fracción generatriz se obtiene una fracción irreducible $\frac{p}{30}$. Sabiendo que la diferencia entre el período y el anteperíodo es $b - a = 3$:

1. a) Plantea la expresión algebraica de la fracción generatriz en función de $a$ y $b$, y sustituye la condición $b = a + 3$ para simplificarla en términos de la cifra $a$.
2. b) Analiza todos los posibles valores de la cifra $a$ que hacen que el denominador irreducible sea exactamente $30$, determinando de forma única las cifras $a$ y $b$ y la fracción irreducible $\frac{p}{30}$.
3. c) Justifica a partir de los factores primos de $30$ por qué el resultado es un decimal periódico mixto. ¿Qué tipo de número decimal se habría obtenido si se hubiese elegido el par de cifras $(a, b) = (6, 9)$? Justifica tu respuesta relacionándola con la propiedad del período $9$.