Ejercicios: Intervalos, semirectas y entornos

Observa la representación gráfica del siguiente conjunto de números reales y exprésalo utilizando notación de intervalo y en forma de desigualdad.

Expresa mediante un intervalo la siguiente desigualdad y represéntala de forma aproximada en una recta numérica: $-3 < x \le 5$.

Escribe en forma de entorno $E(a, r)$ el intervalo abierto $(2, 10)$.

Expresa el entorno $E(-1, 4)$ como un intervalo y tradúcelo a una desigualdad.

Indica cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo $[-1,5; 3)$:

$-2$, $-1,5$, $0$, $2,99$, $3$, $\pi$

Escribe en forma de semirrecta el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que $7$.

Expresa en forma de desigualdad y mediante un intervalo el conjunto de números reales cuya distancia al cero es estrictamente menor que $5$.

Asocia cada una de las siguientes frases con su correspondiente intervalo matemático:

• "Temperaturas bajo cero."

• "Edades entre 12 y 16 años, ambos inclusive."

• "Precios superiores a 350 bolivianos."

En un examen, Marcos debe expresar como unión de intervalos el conjunto de números reales que cumplen $|x - 2| > 4$. Marcos escribe:

«Como el centro es $2$ y el radio es $4$, calculo $2 - 4 = -2$ y $2 + 4 = 6$. Por tanto, la solución es el intervalo abierto $(-2, 6)$».

1. a) Explica qué error conceptual comete Marcos al interpretar la desigualdad con valor absoluto en términos de distancia.
2. b) Corrige su resolución y escribe el conjunto solución correcto mediante la unión de dos semirrectas en notación de intervalos.

Un conjunto de números reales viene dado por la unión de semirrectas $(-\infty, -1) \cup (7, +\infty)$.

1. a) Calcula el punto medio (centro) y la distancia desde ese centro a los extremos $-1$ y $7$ (radio).
2. b) Escribe una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| > r$ cuya solución coincida exactamente con dicho conjunto.
3. c) ¿Qué signo de desigualdad deberías cambiar, y por cuál, para que el conjunto solución pase a ser el intervalo cerrado $[-1, 7]$? Justifica tu respuesta.

En el ámbito de la nutrición, se considera que el Índice de Masa Corporal (IMC) es saludable si se encuentra en el intervalo $[18,5; 24,9]$. Expresa este rango en forma de entorno cerrado, calculando previamente su centro y su radio.

Una máquina produce ejes de acero cuya longitud ideal es de $120\text{ mm}$. El control de calidad permite un error máximo de $0,5\text{ mm}$. Expresa el rango de longitudes permitidas como un entorno, como una desigualdad con valor absoluto y, finalmente, como un intervalo.

Dados los intervalos $A = [-4, 3)$ y $B = (0, 6]$, determina el intervalo resultante de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.

En un acuario, los peces payaso viven bien a temperaturas comprendidas en el intervalo $(24, 28]$ ºC, mientras que los peces ángel las necesitan en el intervalo $[26, 30)$ ºC. Determina en qué intervalo de temperaturas pueden convivir ambas especies y exprésalo como una desigualdad.

Encuentra todos los números enteros que pertenecen simultáneamente a los intervalos $(-3,2; 4]$ y $[0; 5,1)$.

Expresa mediante valor absoluto el conjunto de números reales cuya distancia al número $-2$ es menor o igual que $6$, y escribe el intervalo resultante.

El precio de un videojuego en una tienda en línea osciló durante la semana dentro del entorno $E(171,50; 12,60)$ bolivianos. Determina el precio máximo y mínimo que alcanzó el videojuego y exprésalo como un intervalo cerrado.

Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 4| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo y de entorno.

Un laboratorio farmacéutico envasa suero fisiológico en viales. El volumen nominal debe ser de $100\text{ ml}$, y el control de calidad interno considera aceptable cualquier frasco cuyo volumen $V$ cumpla $|V - 100| \le 1,5$. Por otra parte, la máquina de calibrado de la línea de distribución rechaza automáticamente cualquier vial que no pertenezca al intervalo $[99; 101,2]$.

1. a) Antes de calcular los extremos numéricos exactos, estima razonadamente si la máquina distribuidora aceptará todos los viales aprobados por el laboratorio o si descartará algunos. Justifica tu predicción a partir de los centros y márgenes de tolerancia de ambos criterios.
2. b) Expresa el criterio del laboratorio como un intervalo y calcula la intersección entre ambos conjuntos, indicando qué representa dicho resultado en el contexto del problema.
3. c) Comprueba si tu estimación inicial era acertada y determina el rango de volúmenes que, aun siendo válidos para el laboratorio, son rechazados por la máquina distribuidora.

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) establece los siguientes niveles de aviso por calor en una comarca según la temperatura máxima prevista $T$ (en $^{\circ}\text{C}$):

• Nivel verde (sin riesgo): $T < 36$

• Nivel amarillo (riesgo bajo): $36 \le T < 39$

• Nivel naranja (riesgo importante): $39 \le T < 42$

• Nivel rojo (riesgo extremo): $T \ge 42$

Para los primeros días de agosto, los modelos meteorológicos indican que la temperatura máxima cumplirá la condición $|T - 38,5| \le 2,5$.

1. a) Traduce la previsión meteorológica a un único intervalo cerrado y exprésala también en forma de desigualdad doble.
2. b) Determina qué niveles de aviso de la AEMET llegarán a activarse según dicha previsión y escribe el subintervalo de temperaturas asociado a cada nivel activado.
3. c) Las ordenanzas municipales prohíben las obras en la vía pública si se activa el nivel naranja o rojo. ¿Para qué intervalo de temperaturas de la previsión estará prohibido realizar obras?

Un puente está diseñado para soportar cargas $C$ (en kg) que cumplan la condición $|C - 4500| \le 1500$. Por otra parte, una normativa local prohíbe el paso de vehículos que superen los $5500\text{ kg}$. Determina el intervalo real de cargas que pueden circular por el puente cumpliendo ambas condiciones.

Sean los conjuntos $I = (-\infty, 2]$, $J = (-1, 5)$ y $K = [3, 8]$. Calcula el intervalo resultante de la operación $(I \cap J) \cup K$.

Expresa el intervalo cerrado $[3,2; 8,8]$ en forma de entorno $E(a, r)$ y, a continuación, tradúcelo a una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$. Explica brevemente qué representan los parámetros $a$ y $r$ geométricamente en la recta real.

Para que el agua de una piscina sea segura, su pH debe estar estrictamente en el intervalo $[7,2; 7,6]$. Si disponemos de un medidor electrónico que tiene un error absoluto máximo de $0,1$, determina en qué intervalo debe dar la lectura el aparato para que tengamos la certeza absoluta de que el pH real es seguro. Exprésalo también como entorno.

Encuentra el intervalo de números reales $x$ que cumplen simultáneamente las inecuaciones $3x - 2 < 7$ y $5 - x < 4$. Una vez hallado, exprésalo como entorno.

Un fabricante de tornillos acepta aquellos cuya longitud $L$ (en mm) cumple la condición $|L - 30| < 0,5$. Se recibe un lote de tornillos cuyas longitudes varían uniformemente en el intervalo $[29,2; 30,8]$. ¿Qué porcentaje del rango de longitudes de este lote será rechazado por el control de calidad?

La "zona de habitabilidad" de una estrella enana roja se define mediante un entorno de centro $0,8\text{ UA}$ y radio $0,2\text{ UA}$. Un exoplaneta tiene una órbita elíptica cuya distancia al astro varía en el intervalo $[0,5; 1,1]\text{ UA}$. Determina qué intervalos de la órbita del planeta caen fuera de la zona de habitabilidad.

Determina el valor del parámetro $k$ para que el intervalo solución de la inecuación $|x - k| \le 5$ tenga como extremo superior el número $12$. Una vez calculado $k$, indica cuál es el extremo inferior del intervalo y exprésalo en forma de entorno.

Para resolver la inecuación con valor absoluto $|x - 4| \le 3$ y expresarla como un intervalo, dos alumnas siguen estrategias distintas:

• Camino 1 (Geométrico): Andrea interpreta $|x - 4| \le 3$ como «los números cuya distancia al $4$ es menor o igual que $3$». Identifica el centro $c = 4$ y el radio $r = 3$, obteniendo $[4 - 3, 4 + 3] = [1, 7]$.

• Camino 2 (Algebraico): Berta plantea la doble inecuación $-3 \le x - 4 \le 3$ y suma $4$ a los tres miembros para aislar $x$, obteniendo $1 \le x \le 7$, es decir, $[1, 7]$.

1. a) Compara ambos caminos aplicándolos a la inecuación $|x + 2| < 5$. Explica cómo actúa cada uno y comprueba que ambos conducen al mismo intervalo.
2. b) Resuelve ahora la inecuación $|2x - 5| \le 3$ utilizando ambos métodos. En el Camino 1, indica qué transformación algebraica previa debes realizar para poder identificar el centro y el radio en la recta real.
3. c) A la vista del apartado anterior, analiza las ventajas e inconvenientes de cada método cuando el coeficiente de la incógnita $x$ no es $1$. Justifica cuál de los dos caminos resulta más conveniente y seguro en ese caso.

Considera el conjunto $A = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 3| < 5\}$ y el intervalo cerrado $B = [p, q]$, donde $p$ y $q$ son números reales con $p < q$.

1. a) Expresa el conjunto $A$ como un intervalo abierto y halla su punto medio (centro) y su longitud.
2. b) Determina razonadamente los valores exactos de $p$ y $q$ para que se cumplan simultáneamente estas dos condiciones:

1. La intersección $A \cap B$ es exactamente el intervalo semiabierto $[1, 8)$.

2. La longitud del intervalo $B$ es igual a $10$.

1. c) Con los valores hallados para $p$ y $q$, calcula la unión $A \cup B$ y justifica por qué el conjunto resultante es un único intervalo conexo y no dos intervalos separados.

Reto del tema. ¿Te has preguntado qué matemáticas sostienen los objetos que usas a diario para estudiar? Investiga la naturaleza numérica de tus pantallas y materiales.

1. Medición: Mide con una regla el largo y el ancho (en cm) de una hoja tamaño carta u oficio, o de una hoja A4 si la tienes, y de la pantalla de tu celular o computadora.

2. Análisis numérico: Abre una hoja de cálculo y calcula la razón largo/ancho de ambos objetos. Investiga los valores teóricos normativos: la proporción ISO 216 del papel ($\sqrt{2}$) y el estándar de tu pantalla (habitualmente $16/9$). Clasifícalos justificadamente en racionales o irracionales según su desarrollo decimal.

3. Control de precisión: Consulta las medidas oficiales del fabricante de tu pantalla y las del estándar A4 ($29,7 \times 21,0\text{ cm}$). Calcula en la hoja de cálculo el error absoluto y el error relativo porcentual cometidos en tus mediciones, acotando y redondeando los resultados a dos cifras decimales con coma ($0,01\%$).

4. Informe final: Presenta una tabla comparativa y una breve reflexión: ¿por qué crees que el papel se diseña con un irracional y los formatos de video con una fracción racional?

Se valorará:

• Clasificación matemática correcta y argumentada de los números racionales e irracionales.

• Precisión en el cálculo de aproximaciones, error absoluto y relativo en la hoja de cálculo.

• Calidad del informe, rigor en el uso de la coma decimal y coherencia en las conclusiones.