Ejercicios: Aproximaciones y errores

Aproxima el número decimal $4,8275$ a las centésimas utilizando el método de truncamiento y el método de redondeo.

Calcula el error absoluto que se comete al utilizar la aproximación $0,33$ para el valor exacto de la fracción $\frac{1}{3}$. Expresa el resultado en forma de fracción.

Calcula el error relativo cometido al aproximar $\frac{1}{3}$ por $0,33$. Expresa el resultado en forma de porcentaje.

Indica la cota de error absoluto que se asume al afirmar que el peso de un objeto, redondeado a las milésimas, es de $12,458$ kg.

Un termómetro digital marca una temperatura de $38,2^\circ \text{C}$. Si mediante un instrumento de alta precisión se sabe que la temperatura real es de $38,45^\circ \text{C}$, determina el error absoluto y el error relativo de la medida del termómetro digital.

Aproxima el número irracional $\sqrt{7}$ a las milésimas, indicando claramente cuál es la aproximación por defecto y cuál es la aproximación por exceso.

Se han realizado dos mediciones distintas. En la primera, se ha cometido un error relativo del $0,015$. En la segunda, el error relativo ha sido del $1,2\%$. Determina cuál de las dos mediciones es más precisa y justifica tu respuesta.

Una báscula de cocina da una lectura de $250$ g con una cota de error absoluto de $5$ g. Escribe en forma de intervalo matemático el rango de valores en el que se encuentra el peso real del objeto.

En una clase de 4.º de secundaria, Mateo y su compañera Alba están comparando la calidad de dos mediciones realizadas en el laboratorio de Ciencias:

• Medida 1: El grosor de una moneda de 1 boliviano, cuyo valor real es de $2,33$ mm, se mide obteniendo $2,5$ mm.

• Medida 2: La longitud de la mesa de laboratorio, cuyo valor real es de $180,0$ cm, se mide obteniendo $181,0$ cm.

Mateo afirma: «La medida de la mesa es claramente peor porque hemos fallado por $1$ cm ($10$ mm), mientras que en la moneda solo nos hemos desviado $0,17$ mm; por tanto, la medida de la moneda tiene mucha más precisión y menor error».

Identifica el error conceptual de Mateo, calcula el error absoluto y el error relativo porcentual de cada medición, y redacta una explicación razonada rebatiendo su conclusión e indicando cuál de las dos medidas es realmente de mayor calidad.

Para preparar una merienda de fin de curso, vas al supermercado con un presupuesto máximo de $25$ bolivianos y anotas los precios exactos de cuatro artículos: refrescos ($7,89$ bolivianos), aperitivos ($6,45$ bolivianos), empanadas ($5,90$ bolivianos) y una tarta ($4,85$ bolivianos).

1. a) Antes de sumar con decimales, realiza una estimación rápida del costo total redondeando el precio de cada artículo a las unidades de bolivianos. Según tu estimación previa, ¿te alcanza el presupuesto de $25$ bolivianos?
2. b) Calcula el costo real exacto y determina el error absoluto y el error relativo porcentual cometidos con tu estimación.
3. c) A la vista del resultado real, valora si tu estimación fue una estrategia adecuada para saber si podías pagar en caja. Justifica por qué se produjo esa situación analizando el sentido de los redondeos que realizaste.

Durante una competición de atletismo, el juez principal mide la longitud de la pista y anota $399,5$ m. Si la longitud oficial y exacta de la pista debe ser de $400$ m, calcula el error absoluto y el error relativo porcentual de la medición del juez. ¿Consideras que es una medición aceptable si el reglamento permite un error relativo máximo del $0,2\%$?

En un laboratorio de química, un estudiante utiliza el valor $6,02 \cdot 10^{23}$ para el número de Avogadro en sus cálculos. Si el valor más preciso aceptado actualmente es $6,02214 \cdot 10^{23}$, determina el error absoluto en notación científica y el error relativo porcentual que comete el estudiante.

Un arquitecto mide las dimensiones de una habitación rectangular obteniendo $4,5$ m de largo y $3,2$ m de ancho. Sabe que su cinta métrica tiene una cota de error absoluto de $0,1$ m en cada medida. Calcula el área medida y determina entre qué valores máximo y mínimo se encuentra el área real de la habitación.

Al realizar el presupuesto para una obra, se estima que el costo de los materiales será de $107\,800$ bolivianos. Al finalizar la obra, las facturas suman un total real de $110\,775$ bolivianos. Calcula el error absoluto y relativo de la estimación inicial. Si la empresa constructora asume las pérdidas si el error relativo supera el $3\%$, ¿quién pagará la diferencia?

El tamaño de un archivo informático es de $4567,89$ Megabytes (MB). Al copiarlo a un disco duro, el sistema operativo trunca el valor a las décimas, mientras que un programa de compresión lo redondea a las décimas. Calcula la diferencia entre el error absoluto cometido por el sistema operativo y el cometido por el programa de compresión.

Para calcular la densidad de un bloque de metal, se mide su masa obteniendo $m = 12,4$ kg y su volumen obteniendo $V = 0,004$ m$^3$. Si ambas medidas se han redondeado a la última cifra decimal mostrada, determina la cota de error absoluto de la masa y del volumen.

La distancia media de la Tierra al Sol es de aproximadamente $149\,597\,870$ km. Un libro de texto de secundaria afirma que la distancia es de $1,5 \cdot 10^8$ km. Calcula el error relativo porcentual que introduce el libro de texto al usar esta aproximación en notación científica.

Dos carpinteros cortan listones de madera que deben medir exactamente $\frac{5}{7}$ de metro. El primer carpintero corta el listón a $0,71$ m y el segundo lo corta a $0,72$ m. Sin usar decimales, operando con fracciones, determina cuál de los dos ha cometido un menor error absoluto.

El sistema de pesaje automatizado de una empresa de paquetería registra el peso de un bulto como $4,6$ kg tras aplicar un redondeo a las décimas de kilogramo.

1. a) Escribe el intervalo continuo $[a;\ b)$ en el que se encuentra el peso real $P$ del paquete y determina la cota máxima del error absoluto garantizada por este redondeo.
2. b) Construye y justifica un ejemplo de valor real para $P$ que cumpla simultáneamente dos condiciones: que al redondearse a las décimas resulte $4,6$ kg, pero que si se hubiera truncado a las décimas hubiera resultado $4,5$ kg.
3. c) Para el valor que has propuesto en el apartado anterior, calcula el error absoluto y el error relativo porcentual de ambas aproximaciones (redondeo y truncamiento) y explica de forma razonada cuál de los dos métodos ofrece una mejor aproximación en este caso.

Una cooperativa agrícola de Santa Cruz debe facturar un pedido de $1200$ botellas de aceite de oliva virgen extra. Los datos técnicos y comerciales son:

• Capacidad de cada botella: $0,75$ litros.

• Costo de producción: $6,837$ bolivianos por litro.

• Descuento comercial aplicable sobre el costo total: $8,5\%$ (es decir, se abona el $91,5\%$).

Dos administrativos proponen dos métodos de cálculo distintos:

• Método 1 (Mario): Calcula el costo de una botella ($0,75 \cdot 6,837$) y redondea el resultado a los centavos de bolivianos; a esa cantidad le aplica el descuento del $8,5\%$ y vuelve a redondear a los centavos; finalmente, multiplica este precio unitario por las $1200$ botellas.

• Método 2 (Sonia): Realiza una única operación combinada sin redondeos intermedios y redondea a los centavos de bolivianos únicamente la cifra final de la factura.

1. a) Realiza los cálculos paso a paso con ambos métodos y obtén el importe final en bolivianos de cada uno.
2. b) Tomando como valor exacto el resultado no redondeado del Método 2, calcula el error absoluto y el error relativo porcentual que introduce el método de Mario en el total de la factura.
3. c) Justifica críticamente cuál de los dos métodos se debe elegir en la gestión económica y científica, explicando el efecto del redondeo en pasos intermedios.

En la fabricación de una pieza cilíndrica para un motor de alta precisión, se requiere que el radio sea $r = 2,50$ cm y la altura $h = 8,00$ cm. Si la maquinaria tiene una cota de error relativo del $1\%$ en cualquier medida lineal, demuestra algebraicamente si el error relativo máximo en el cálculo del volumen del cilindro ($V = \pi r^2 h$) será del $1\%$, $2\%$ o $3\%$. Asume que los errores relativos son lo suficientemente pequeños para sumar sus aproximaciones lineales.

Una app de seguimiento deportivo estima la distancia de una ruta en bicicleta. Sabemos que el error relativo de su estimación ha sido exactamente del $4\%$. Si el valor estimado que muestra la app es de $26,00$ km, plantea y resuelve las ecuaciones necesarias para encontrar los dos posibles valores reales exactos que podría tener la distancia.

Se sabe que al aproximar un número $x$ por $3,14$, el error absoluto cometido es menor que $0,005$. Por otro lado, al aproximar el mismo número $x$ por $3,146$, el error absoluto es menor que $0,002$. Expresa ambas condiciones como intervalos, calcula su intersección y determina el rango de valores posibles para el número exacto $x$.

Demuestra matemáticamente que si un número positivo $x$ se redondea a las unidades obteniendo una aproximación $A$, el error relativo $E_r$ siempre cumple la desigualdad $E_r \le \frac{0,5}{A - 0,5}$. Aplica esta fórmula para encontrar la cota máxima de error relativo al redondear a $A = 5$.

La velocidad de propagación de una señal en una red de fibra óptica se calcula mediante la fórmula $v = \frac{d}{t}$. Se mide una distancia $d = 1200 \pm 5$ m y un tiempo $t = 0,006 \pm 0,0001$ s. Calcula los valores máximo y mínimo posibles para la velocidad $v$, y deduce a partir de ellos la cota de error absoluto general de la medición de la velocidad.

Un estudiante debe calcular el valor de $y = \sqrt{x}$. Sabe que el valor exacto de $x$ pertenece al intervalo $[15,8; 16,2]$. Si decide utilizar $x = 16$ para simplificar, obteniendo $y = 4$, determina la cota superior del error absoluto que está cometiendo en la variable $y$.

El siguiente diagrama muestra el intervalo de confianza de una medición en un experimento de física, donde el punto central representa el valor aproximado $V_a$ y los extremos representan los límites dados por la cota de error absoluto $E_a$. Si los extremos del intervalo son $14,35$ y $14,65$, determina el valor aproximado $V_a$, la cota de error absoluto $E_a$ y el error relativo máximo posible.

Al calcular el interés compuesto de un capital inicial de $70\,000$ bolivianos al $5\%$ anual durante $10$ años, un contable decide truncar la tasa de crecimiento anual de $1,05$ a $1,0$ en sus cálculos preliminares. Calcula el error absoluto y el error relativo que comete en el cálculo del capital final. ¿Qué conclusión puedes extraer sobre la propagación de errores en operaciones con exponentes elevados?

El Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI) y el Ministerio de Medio Ambiente y Agua estudian el volumen de agua recogido en una represa tras una tormenta. La superficie de la represa se modeliza de forma simplificada como un rectángulo cuyas dimensiones satelitales son $L = 3,4$ km de largo y $A = 1,2$ km de ancho, ambas medidas redondeadas a las décimas de kilómetro. La estación pluviométrica registró una precipitación de $h = 45$ mm de lluvia, redondeada a las unidades de milímetro.

1. a) Determina la cota del error absoluto de cada una de las tres mediciones ($L$, $A$ y $h$) y calcula la cota superior del error relativo porcentual de cada una de ellas.
2. b) El volumen total de agua caída viene dado por $V = L \cdot A \cdot h$. Aplicando la propiedad de propagación de errores relativos para productos, deduce la cota del error relativo porcentual total que afecta al cálculo de $V$.
3. c) Calcula el volumen estimado $V$ en metros cúbicos ($m^3$) y, utilizando la cota de error relativo del apartado anterior, calcula el margen de incertidumbre en metros cúbicos (cota de error absoluto de $V$) y el intervalo entre cuyos valores extremos se encuentra con seguridad el volumen real de agua precipitada.

Una empresa aeronáutica ubicada en Santa Cruz de la Sierra fabrica sensores cilíndricos de titanio. La masa de cada sensor se calcula con la fórmula $M = d \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$, donde la densidad $d$ es conocida de forma exacta. Por estrictos requisitos de seguridad aérea, el error relativo cometido en la determinación de la masa $M$ no debe superar el $1,2\%$.

El proceso de mecanizado ya garantiza que la altura $h$ se mide con un error relativo del $0,4\%$.

1. a) Aplicando las propiedades de propagación del error relativo en productos y potencias, plantea una inecuación y deduce el error relativo porcentual máximo que se puede tolerar en la medición del radio $r$.
2. b) Si el radio nominal de la pieza es $r = 15,0$ mm, determina la cota máxima del error absoluto permitida para la medida de $r$.
3. c) En el taller disponen de dos calibres digitales para medir el radio: el calibre A redondea a las décimas de milímetro y el calibre B redondea a las centésimas de milímetro. Analiza razonadamente cuál es la cota de error absoluto que introduce cada instrumento y justifica si el calibre A es suficiente para cumplir la normativa o si es indispensable utilizar el calibre B.