Ejercicios: Simetría

Observa las gráficas de las funciones representadas en los paneles A y B. Indica qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) presenta cada una de ellas, justificando tu respuesta en función de su forma visual.

Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcula el valor de $f(-x)$. A partir del resultado, indica si la función presenta simetría par, impar o ninguna.

Dada la función $g(x) = -2x^3$, calcula la expresión de $g(-x)$. ¿Qué tipo de simetría tiene esta función?

Considera la función afín $f(x) = 2x + 1$. Comprueba algebraicamente si cumple la condición de simetría par ($f(-x) = f(x)$) o la de simetría impar ($f(-x) = -f(x)$).

En una clase de 4° de secundaria, Mateo debe determinar si la función $f(x) = x^3 - 5x + 3$ es par, impar o no tiene simetría. Mateo escribe en su cuaderno lo siguiente:

«Como el grado principal es 3 y los exponentes de la variable $x$ son impares ($3$ y $1$), la función es impar. Para comprobarlo, calculo $f(-x) = (-x)^3 - 5(-x) + 3 = -x^3 + 5x + 3$, que al tener signos distintos respecto a la fórmula original demuestra que es impar».

1. a) Identifica y explica los dos errores conceptuales que ha cometido Mateo (uno al juzgar la función solo por los exponentes de $x$ olvidando el término independiente, y otro al interpretar qué significa cambiar de signo una función).
2. b) Apóyate en el valor de la función en el origen, $f(0)$, para justificar de manera inmediata por qué esta función no puede ser impar.
3. c) Corrige el ejercicio realizando la comprobación algebraica adecuada para determinar la simetría real de $f(x)$.

Una función $g$, cuyo dominio es todo $\mathbb{R}$, posee simetría impar y de ella conocemos únicamente tres datos: $g(3) = -12$, $g(-1) = 4$ y que su gráfica corta al eje vertical en el punto $(0, k)$.

1. a) Deduce razonadamente el valor numérico de la constante $k$ y calcula los valores de $g(-3)$ y $g(1)$ aplicando la definición algebraica de función impar.
2. b) Escribe la expresión analítica de un polinomio de tercer grado con simetría impar, de la forma $p(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x$, que cumpla simultáneamente que $p(1) = -4$ y cuyo coeficiente principal sea $a = 2$.
3. c) Comprueba de forma algebraica que la fórmula que has obtenido en el apartado b cumple rigurosamente la condición $p(-x) = -p(x)$ para cualquier valor de $x$.

Comprueba de forma algebraica el tipo de simetría que presenta la función racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.

El cable de un puente colgante adopta la forma de una parábola descrita por la ecuación $y = 0,05x^2 + 10$. Verifica algebraicamente si esta función presenta simetría par, impar o ninguna, e interpreta el resultado geométricamente.

La siguiente gráfica muestra la variación de temperatura $T$ en un experimento químico en función del tiempo $t$, registrada a partir del instante $t = 0$. Si el modelo matemático $T(t)$ que rige este experimento es una función par en todo su dominio real, ¿cuál será la temperatura en el instante $t = -3$? Justifica tu respuesta.

Sabiendo que $f(x)$ es una función impar y que está definida en el punto $x = 0$, ¿cuál debe ser obligatoriamente el valor de $f(0)$? Demuéstralo utilizando la definición de función impar.

Para averiguar si la función racional $f(x) = \frac{3x^2 - 6}{x^4 + 2}$ es par, impar o carece de simetría, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Candela propone el método numérico: «Calculo $f(2)$ y $f(-2)$. Si ambos resultados coinciden exactamente, queda demostrado al $100\,\%$ que la función es par».

• Hugo propone el método analítico: «Calculo la expresión general de $f(-x)$ sustituyendo formalmente $(-x)$ en la variable, opero y la comparo con $f(x)$ y $-f(x)$».

1. a) Evalúa la fiabilidad del método de Candela: calcula $f(2)$ y $f(-2)$ y explica por qué verificar una igualdad en una sola pareja de números opuestos no constituye una demostración matemática válida para todo el dominio.
2. b) Aplica el método de Hugo desarrollando con claridad cada paso algebraico y concluye con certeza qué tipo de simetría presenta $f(x)$.
3. c) ¿En qué circunstancia concreta un método numérico como el de Candela sí resultaría concluyente para resolver el problema de la simetría? Justifica tu respuesta.

Una estación de la AEMET en la provincia de Guadalajara registra la temperatura en una jornada invernal anticiclónica y sin viento. Tomando como instante de referencia ($t = 0$) las $14{:}00\text{ h}$ (momento de radiación solar máxima), los meteorólogos modelizan la temperatura $T$ (en grados Celsius) durante las horas diurnas centrales mediante la función:

$T(t) = -0,5 \cdot t^2 + 8$, para $t \in [-4, 4]$

(donde $t$ indica las horas transcurridas respecto a las $14{:}00\text{ h}$; por ejemplo, $t = -3$ corresponde a las $11{:}00\text{ h}$ y $t = 3$ corresponde a las $17{:}00\text{ h}$).

1. a) Demuestra algebraicamente qué simetría presenta la función $T(t)$ en el intervalo dado calculando $T(-t)$.
2. b) Interpreta qué significado físico tiene dicha simetría en el contexto meteorológico real: ¿qué relación guardan las temperaturas a las $11{:}00\text{ h}$ y a las $17{:}00\text{ h}$? ¿Y a las $12{:}00\text{ h}$ respecto a las $16{:}00\text{ h}$?
3. c) Si un informe complementario propone modelizar la rapidez de cambio de la temperatura mediante la función $v(t) = -1,0 \cdot t$, analiza su simetría e interpreta qué representa físicamente el signo de $v(t)$ antes de las $14{:}00\text{ h}$ ($t < 0$) en comparación con después de las $14{:}00\text{ h}$ ($t > 0$).

Encuentra el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^2 + kx + 5$ sea una función par. Justifica tu respuesta algebraicamente.

La potencia generada por un aerogenerador se modeliza mediante la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, donde $v$ representa la velocidad del viento. Estudia analíticamente la simetría de $P(v)$. Si consideramos velocidades de viento negativas como viento soplando en dirección contraria, ¿qué significado físico tiene la simetría obtenida respecto a la potencia generada?

Un estudiante afirma que la función $f(x) = \frac{1}{x-2}$ es impar porque la $x$ del denominador está elevada a un exponente impar (1). ¿Es correcta esta afirmación? Demuéstralo o refútalo mediante un análisis algebraico.

Supón que existe una función $f(x)$ que es simultáneamente par e impar en todo su dominio. Plantea el sistema de ecuaciones que se deriva de las definiciones de ambas simetrías y resuelve para encontrar cuál es la única función que cumple esta condición.

Dadas dos funciones con dominio en todo $\mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 4x$ (función impar) y $g(x) = x^2 + 3$ (función par), se definen dos nuevas funciones a partir de ellas: su producto $P(x) = f(x) \cdot g(x)$ y su suma $S(x) = f(x) + g(x)$.

1. a) Estima razonadamente, antes de efectuar cálculos de desarrollo algebraico, qué tipo de simetría esperarías que tenga el producto $P(x)$ (pensando en la regla de los signos de factores pares e impares) y qué simetría esperarías que tenga la suma $S(x)$ al combinar términos de distinto comportamiento frente al signo opuesto.
2. b) Comprueba tus estimaciones calculando algebraicamente las expresiones desarrolladas de $P(-x)$ y $S(-x)$, y clasifica de forma rigurosa cada una de las dos funciones en par, impar o sin simetría.
3. c) Razona la siguiente cuestión teórica: si sumamos cualquier función par no nula con cualquier función impar no nula, ¿podría el resultado ser alguna vez una función par? Justifica tu respuesta utilizando la igualdad matemática que define a las funciones pares.

Un equipo de diseño industrial modeliza el perfil curvado de una pieza mediante una función polinómica de tercer grado: $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$.

Para integrarse en el mecanismo, la pieza debe cumplir tres condiciones técnicas:

1. Su gráfica debe ser estrictamente simétrica respecto al origen de coordenadas $(0,0)$.

2. La curva debe cortar al eje horizontal en el punto $(3, 0)$.

3. En el punto de abscisa $x = 1$, la función debe tomar el valor $y = -8$.

1. a) Deduce razonadamente los valores obligados de los coeficientes $b$ y $d$ sin plantear sistemas de ecuaciones, basándote exclusivamente en la definición analítica y geométrica de simetría impar.
2. b) Plantea el sistema de ecuaciones lineales correspondiente a las condiciones 2 y 3, resuélvelo y escribe la fórmula analítica definitiva de la función $f(x)$.
3. c) Demuestra que, para cualquier función impar $f$ y para cualquier punto $x_0 \neq 0$ de su dominio, la recta secante que une el punto $A(x_0, f(x_0))$ con su simétrico $B(-x_0, f(-x_0))$ pasa de manera necesaria por el origen de coordenadas $(0,0)$.