Ejercicios: Patrones y regularidades

Observa las siguientes secuencias numéricas y escribe los dos términos siguientes de cada una, explicando la regla que siguen:

• $5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots$

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$

• $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

Una manualidad consiste en construir triángulos en cadena con palillos, como se muestra en la figura.

• ¿Cuántos palillos se necesitan para construir la figura 4?

• ¿Y para la figura 5?

La sucesión $a_n$ tiene por término general $a_n = 4n - 1$. Calcula los términos $a_1$, $a_5$ y $a_{20}$.

Una sucesión empieza en $7$ y cada término se obtiene sumando $6$ al anterior. Escribe sus cinco primeros términos y calcula el término que ocupa el lugar $10$.

Observa la secuencia de figuras formadas por puntos de la imagen.

• ¿Cuántos puntos tendrá la figura 4? ¿Y la figura 5?

• ¿Qué relación hay entre el número de la figura y la cantidad de puntos?

La sucesión de Fibonacci empieza así: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots$; cada término se obtiene sumando los dos anteriores. Escribe los cuatro términos siguientes.

Martina empieza el año escolar con $\text{Bs}\ 70$ en su alcancía y, a partir de entonces, guarda $\text{Bs}\ 21$ cada semana.

• Escribe la secuencia del dinero acumulado al final de cada una de las cinco primeras semanas.

• ¿Cuánto dinero tendrá al final de la semana $12$?

Observa la secuencia $1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -6,\ \ldots$

• Escribe los tres términos siguientes.

• ¿Cuál es el término que ocupa el lugar $25$? ¿Es positivo o negativo?

Lucía observa un patrón de torres construidas con bloques cuadrados: la torre 1 tiene 5 bloques, la torre 2 tiene 8 bloques y la torre 3 tiene 11 bloques. Al darse cuenta de que en cada paso se añaden 3 bloques, afirma: «Como se suman 3 bloques en cada etapa y la primera tiene 5, el término general que da el total de bloques de la torre $n$ es $a_n = 3 \cdot n + 5$».

1. a) Calcula los valores que proporciona la fórmula de Lucía para $n = 1$, $n = 2$ y $n = 3$, y compruébalos con los bloques reales de cada torre.
2. b) Localiza el error de razonamiento que comete Lucía al relacionar la parte fija del patrón con la parte que va aumentando en cada paso.
3. c) Deduce la expresión correcta del término general $a_n$ a partir de la descomposición estructural de la figura (identificando cuántos bloques fijos hay y cuántos se añaden según el número de paso) y comprueba que coincide con los tres casos conocidos.

Un principio clave al estudiar regularidades es que unos pocos términos iniciales no determinan una única sucesión.

1. a) Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión cuyo término general es $a_n = 2^n$.
2. b) Diseña el término general o el criterio de formación de otra sucesión diferente, $b_n$, que cumpla exactamente las dos condiciones siguientes: que comparta con $a_n$ los tres primeros valores ($b_1 = 2$, $b_2 = 4$ y $b_3 = 8$), pero que su cuarto término sea estrictamente distinto ($b_4 \neq 16$).
3. c) Apoyándote en este ejemplo, razona por qué comprobar que una fórmula funciona en $n = 1$, $n = 2$ y $n = 3$ no sirve como demostración matemática de que sea válida para todo $n \in \mathbb{N}$.

Una empresa de construcción apila bloques formando escaleras, como se muestra en la figura.

• Cuenta los bloques de las figuras 1, 2 y 3 y calcula cuántos bloques tendrá la figura 4.

• ¿Cuántos bloques tendrá la figura 10?

• Escribe una expresión general para el número de bloques de la figura $n$. (Pista: une cada escalera con su simétrica para formar un rectángulo.)

Considera la sucesión $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \ldots$

• Halla su término general $a_n$.

• Comprueba si $157$ es un término de la sucesión y, en caso afirmativo, indica qué lugar ocupa.

• ¿Pertenece $200$ a la sucesión? Razona la respuesta.

La figura muestra cómo un cuadrado de $4 \times 4$ puntos puede construirse añadiendo capas en forma de «L».

1. a) Escribe la suma que representa la figura a partir del número de puntos de cada capa y comprueba el resultado.
2. b) Formula una conjetura: ¿a cuánto suman los $n$ primeros números impares?
3. c) Comprueba tu conjetura para $n = 6$.

El anfiteatro de un colegio tiene $12$ asientos en la primera fila, y cada fila posterior tiene $3$ asientos más que la anterior.

• Escribe el número de asientos de las cuatro primeras filas.

• Halla el término general $a_n$ que da los asientos de la fila $n$.

• Si el anfiteatro tiene $15$ filas, ¿cuántos asientos tiene la última fila?

Una sucesión se define por recurrencia así: $a_1 = 2$ y $a_n = 2\cdot a_{n-1} + 1$.

• Calcula los cinco primeros términos.

• Compara cada término con las potencias de $2$ ($2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$) y describe el patrón que observas.

• A la vista del patrón, ¿cuál será el valor de $a_{10}$?

Observa la sucesión $3,\ 6,\ 11,\ 18,\ 27,\ \ldots$

• Calcula las diferencias entre términos consecutivos. ¿Qué patrón siguen esas diferencias?

• Compara los términos con los cuadrados perfectos y halla el término general $a_n$.

• Calcula $a_{15}$.

En un torneo de pádel del barrio, cada pareja juega una vez contra cada una de las demás.

• Completa una tabla con el número de partidos del torneo si participan $2,\ 3,\ 4$ y $5$ parejas.

• Halla una expresión general para el número de partidos con $n$ parejas. (Pista: cada pareja juega contra $n - 1$ rivales, pero así cada partido se cuenta dos veces.)

• ¿Cuántos partidos se juegan si participan $12$ parejas?

Un alumno afirma que el término general de la sucesión $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ es $a_n = 2n$. Indica si la afirmación es verdadera o falsa, razona tu respuesta y escribe el término general correcto.

En un paseo marítimo se instalan bancos continuos ensamblando módulos hexagonales regulares de hormigón en línea recta. Si se coloca un único módulo hexagonal aislado, sus 6 lados exteriores quedan libres para sentarse. Si se unen dos módulos en hilera, comparten un lado común interior (que queda inutilizado), dejando 10 lados libres en total. Si se unen tres módulos en fila, quedan 14 lados libres para sentarse.

1. a) Sin utilizar fórmulas todavía, haz una estimación intuitiva y justificada: si se unen 25 módulos hexagonales seguidos, ¿el número total de lados libres estará más próximo a 80, a 100 o a 150? Explica en qué te basas para descartar los otros valores.
2. b) Modela la situación deduciendo el término general $L_n$ que determina el número de lados libres en función del número $n$ de módulos unidos, separando algebraicamente los lados que aportan los extremos de los que aporta cada módulo intermedio.
3. c) Calcula el valor exacto de $L_{25}$, compáralo con tu estimación previa y valora si el resultado numérico confirma que tu razonamiento inicial era acertado.

El servicio municipal de préstamo de bicicletas eléctricas de una ciudad amplía sus instalaciones a lo largo de una avenida. La primera estación que se coloca cuenta con 14 anclajes de recarga. Para responder al incremento previsto de usuarios hacia la periferia, el plan de movilidad dicta que cada nueva estación tenga 4 anclajes más que la estación anterior inmediata (es decir, la estación 2 tiene 18 anclajes, la 3 tiene 22, etc.).

1. a) Define mediante una fórmula por recurrencia el número de anclajes $a_n$ de la estación $n$, indicando explícitamente el término inicial $a_1$ y la relación que permite obtener $a_n$ a partir de $a_{n-1}$.
2. b) Deduce el término general explícito $a_n$ que permite calcular directamente cuántos anclajes tendrá cualquier estación $n$ sin necesidad de calcular todas las estaciones intermedias.
3. c) El gobierno municipal recibe una partida presupuestaria cerrada con exactamente 70 anclajes para dotar una única estación de la avenida. Plantea la ecuación correspondiente con el término general y resuelve para comprobar si existirá alguna estación que use exactamente esos 70 anclajes o si sobrará material; interpreta el resultado en el contexto del problema.

El comedor de un campamento une mesas cuadradas en fila para sentar a los participantes, como se muestra en la figura.

• ¿Cuántas personas pueden sentarse si se unen $4$ mesas?

• Halla el término general que da el número de comensales con $n$ mesas.

• Para la cena de clausura asisten $42$ personas. ¿Cuántas mesas hay que unir, como mínimo, para que quepan todos?

Dos compañeros discuten sobre el término general de la sucesión que empieza $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$

• Aitana dice que es $a_n = 2^n$.

• Bruno dice que puede ser $b_n = n^2 - n + 2$.

• Comprueba que ambas expresiones generan los tres primeros términos.

• Calcula el cuarto término según cada una de las dos expresiones. ¿Coinciden?

• Saca conclusiones: ¿los tres primeros términos de una sucesión determinan su término general de forma única?

Observa la sucesión de fracciones $\frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{5},\ \ldots$

• Halla su término general $a_n$.

• Calcula $a_{10}$ y $a_{100}$ con tres cifras decimales.

• Los términos crecen cada vez más, pero ¿puede algún término llegar a ser mayor que $1$? Razona la respuesta observando la expresión del término general.

Zenón de Elea (siglo V a. C.) se preguntaba por las sumas infinitas. Imagina un cuadrado de lado $1$ del que se sombrea la mitad; después, la mitad de la parte que queda; después, la mitad de lo que queda, y así sucesivamente.

• Escribe la fracción del cuadrado que se ha sombreado tras cada uno de los cuatro primeros pasos.

• Halla el término general $s_n$ de la fracción sombreada tras $n$ pasos. (Pista: observa que en cada paso falta por sombrear $\frac{1}{2^n}$ del cuadrado.)

• Si el proceso continuara indefinidamente, ¿a qué valor se acercaría la superficie sombreada?

En su libro Liber Abaci (1202), Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, planteó este problema: una pareja de conejos recién nacida tarda un mes en hacerse adulta; a partir de entonces, cada mes tiene una nueva pareja de crías, que a su vez siguen la misma regla. Ningún conejo muere.

• Partiendo de una única pareja recién nacida, completa una tabla con el número de parejas al final de cada uno de los seis primeros meses.

• Escribe la ley de recurrencia que sigue la sucesión.

• ¿Cuántas parejas habrá al cabo de $10$ meses?

El triángulo de Tartaglia (o de Pascal) se construye colocando unos en los bordes y rellenando cada casilla interior con la suma de las dos que tiene encima:

• Suma los números de cada una de las cinco filas y escribe la secuencia de esas sumas.

• Halla el término general de esa secuencia.

• ¿Cuánto suman los números de la fila $12$?

Los números triangulares son $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \ldots$ (puntos que forman un triángulo) y los cuadrados son $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

• Comprueba con los cuatro primeros casos que cada número cuadrado (a partir del $4$) es la suma de dos números triangulares consecutivos.

• Escribe esa propiedad con una igualdad algebraica usando los términos generales $T_n = \frac{n\cdot(n + 1)}{2}$ y $C_n = n^2$, y demuéstrala.

• Ilustra con un dibujo de puntos por qué es cierta la propiedad para $C_4 = 16$.

La conjetura de Collatz, propuesta en 1937 y aún sin demostrar, parte de cualquier número natural y aplica esta regla: si el número es par, se divide entre $2$; si es impar, se multiplica por $3$ y se suma $1$. La conjetura afirma que siempre se acaba llegando a $1$.

• Aplica la regla partiendo de $7$ y escribe la secuencia completa hasta llegar a $1$.

• Haz lo mismo partiendo de $11$.

• Comprueba la conjetura para tres números elegidos por ti, uno de ellos mayor que $50$. ¿Crees que comprobar muchos casos demuestra que la conjetura es cierta? Comenta tu respuesta.

Para el alumbrado decorativo de un auditorio se diseña un panel triangular de focos: la primera fila tiene 1 foco, la segunda fila tiene 2 focos, la tercera tiene 3 focos, y así sucesivamente hasta la fila $n$, que contiene $n$ focos. Se desea calcular la cantidad total de focos, $T_n$, que componen una estructura triangular de $n$ filas.

Dos técnicos proponen métodos distintos para resolver el encargo:

• Marcos sugiere una relación por recurrencia: tomar $T_1 = 1$ y $T_n = T_{n-1} + n$, calculando fila por fila de forma acumulativa.

• Elena propone un método geométrico: duplicar mentalmente la figura con otro triángulo idéntico e invertido para formar entre ambos un rectángulo de dimensiones $n \times (n+1)$ focos, calculando $T_n$ como la mitad del total de ese rectángulo.

1. a) Desarrolla algebraicamente la propuesta de Elena para obtener la expresión explícita de $T_n$ en función de $n$.
2. b) Aplica ambos métodos para calcular cuántos focos se necesitan en un panel de $n = 60$ filas y comprueba si ambos conducen al mismo resultado.
3. c) Compara críticamente las dos alternativas: si la alcaldía dispone de un lote de 1830 focos y te pide averiguar cuántas filas exactas tendrá el panel que se puede construir, ¿cuál de los dos métodos es más eficaz y directo para responder? Justifica también en qué escenario de diseño o programación paso a paso el planteamiento de Marcos resultaría más práctico que el de Elena.

Una empresa de telecomunicaciones despliega una red de repetidores en un parque tecnológico. Para garantizar la seguridad del enlace ante posibles averías, cada repetidor debe conectarse con todos los demás mediante un canal directo de fibra óptica independiente.

• Con 2 repetidores se necesita 1 canal directo.

• Con 3 repetidores se necesitan 3 canales directos.

• Con 4 repetidores se necesitan 6 canales directos.

• Con 5 repetidores se necesitan 10 canales directos.

Un instalador observa estos cuatro datos y afirma: «Como la pauta funciona para 2, 3, 4 y 5 repetidores, conjeturo que la fórmula para $n$ repetidores es $C_n = \dfrac{n^2 - n}{2}$, pero no puedo estar seguro de si fallará cuando tengamos 30 repetidores».

1. a) Demuestra algebraicamente que la conjetura es cierta para cualquier número natural $n \ge 2$: razona cuántos canales parten de cada uno de los $n$ repetidores y justifica con claridad por qué es imprescindible dividir entre 2 la multiplicación obtenida.
2. b) A partir de tu demostración, explica la diferencia entre una comprobación numérica de casos particulares y una demostración algebraica rigurosa de un patrón para todo $n$.
3. c) Si el presupuesto técnico asignado solo permite financiar como máximo 136 canales de fibra óptica, plantea una ecuación de segundo grado y calcula el número máximo de repetidores que pueden quedar completamente interconectados entre sí sin rebasar el límite económico.