Ejercicios: Estudiar una función

A partir de una función cuya gráfica está formada por dos tramos continuos:

• El primer tramo va desde el punto $(-3, 2)$ (incluido) hasta el punto $(1, 4)$ (no incluido), y tiene un máximo relativo en $(-1, 5)$.

• El segundo tramo va desde el punto $(1, -1)$ (incluido) hasta el punto $(8, 3)$ (incluido), y tiene un mínimo relativo en $(4, -2)$.

Determina su dominio y su recorrido.

Calcula la tasa de variación media (TVM) de la función $f(x) = 2x^2 - 3x$ en el intervalo $[-1, 2]$.

Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$.

Determina analíticamente si la función $f(x) = x^4 - 5x^2 + 3$ es simétrica par, simétrica impar o no tiene simetría.

A partir de la siguiente gráfica, indica los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) y las coordenadas de sus extremos relativos.

Calcula el dominio de definición de la función irracional $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos en el punto $x = 1$:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ 4 - x & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Identifica las ecuaciones de la asíntota vertical y la asíntota horizontal de la función $f(x) = \frac{5}{x - 3} + 2$.

Marcos tiene que estudiar los puntos de corte con los ejes de la función racional $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. En su examen escribe el siguiente procedimiento:

«1. Corte con el eje $Y$: calculo $f(0) = \frac{0^2 - 4}{0 - 2} = \frac{-4}{-2} = 2$, luego la gráfica corta en el punto $(0, 2)$.

1. Cortes con el eje $X$: resuelvo $f(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$ y $x = -2$. Por tanto, la gráfica corta al eje $X$ en dos puntos: $(2, 0)$ y $(-2, 0)$».

1. a) Localiza el error conceptual cometido por Marcos: ¿qué paso fundamental del guion de estudio de una función ha omitido antes de buscar los cortes y por qué ese olvido invalida una de sus conclusiones?
2. b) Determina el dominio real de la función $f(x)$ y escribe la lista corregida de los puntos de corte que verdaderamente existen.
3. c) A partir de lo anterior, razona si en el punto $x = 2$ existe una asíntota vertical o si la función presenta otro comportamiento, simplificando la fórmula para $x \neq 2$.

Considera la función racional $f(x) = \frac{6x - 2}{2x + 1}$.

1. a) Antes de realizar ningún cálculo preciso, realiza una estimación: cuando los valores de $x$ se hacen extremadamente grandes (por ejemplo, $x$ cercano a un millón), los términos independientes ($-2$ y $+1$) apenas influyen en el resultado. Teniendo esto en cuenta, ¿a qué valor numérico simple crees que se aproximarán las imágenes $f(x)$? ¿Qué recta sospechas que será la asíntota horizontal?
2. b) Comprueba numéricamente si tu estimación era acertada calculando con exactitud los valores de $f(10)$, $f(100)$ y $f(1\,000)$ (redondea con tres cifras decimales si es necesario).
3. c) A partir de tus comprobaciones, deduce la ecuación de la asíntota horizontal tanto cuando $x \to +\infty$ como cuando $x \to -\infty$, y explica qué información visual aporta esta asíntota sobre el trazado de la curva en los extremos del papel.

La gráfica que muestra la evolución del número de espectadores semanales (en miles) de una película de estreno a lo largo del tiempo (en semanas) parte del punto $(0, 10)$, crece hasta $(5, 80)$, se mantiene constante entre la semana $5$ y la $7$, decrece hasta $(10, 30)$ y se mantiene constante entre la semana $10$ y la $12$, donde finaliza en $(12, 30)$. Estudia el dominio y el recorrido en el contexto del problema, e indica en qué intervalos la audiencia crece, decrece o se mantiene constante.

Halla el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 4x - 5}$.

Estudia la simetría de la función $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ y calcula sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.

La posición de un objeto en movimiento rectilíneo viene dada por la función $e(t) = 5t^2 + 2t$, donde $e$ es el espacio en metros y $t$ el tiempo en segundos. Calcula la velocidad media (tasa de variación media) en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$, e indica en qué intervalo el objeto se movió más rápido.

Expresa la función con valor absoluto $f(x) = |2x - 4|$ como una función definida a trozos y determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

La variación del nivel de un embalse $v$ (en metros respecto a su nivel medio) en función del mes $x$ del año viene dada por la función $v(x) = -0,5x^2 + 10x - 18$. Determina en qué mes el nivel del embalse está más alto, a cuánto asciende esa diferencia máxima respecto al nivel medio y en qué meses el embalse está exactamente al nivel medio ($v = 0$).

Determina las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$.

Describe el comportamiento de la función $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 1}$ analizando su dominio, sus puntos de corte con los ejes, su simetría y sus asíntotas horizontales y verticales.

A partir de los registros de una estación de la AEMET situada en la meseta castellana durante un día despejado de otoño, la temperatura $T$ (en grados Celsius, ºC) a lo largo de las $24$ horas del día viene modelizada por la función cuadrática:

$T(t) = -0,05 \cdot (t - 15)^2 + 14$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas desde la medianoche ($0 \leq t \leq 24$).

1. a) Justifica cuál es el dominio de definición de esta función atendiendo al contexto físico del problema.
2. b) Sin necesidad de derivar, a partir de la estructura del vértice de la parábola, identifica razonadamente el intervalo de horas en el que la temperatura asciende, el intervalo en el que desciende y las coordenadas completas $(t, T)$ del extremo relativo (máximo diario).
3. c) Calcula la tasa de variación media (TVM) de la temperatura en el tramo de la mañana comprendido entre las $t = 7$ horas y las $t = 11$ horas. Interpreta el significado real del signo y de las unidades de la magnitud obtenida.
4. d) Plantea y resuelve la ecuación necesaria para averiguar si en algún momento de la jornada se alcanzaron los $0$ ºC (puntos de corte con el eje horizontal de las horas).

Para estudiar si la función racional $g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 9}$ presenta algún tipo de simetría (par, impar o ninguna), tres estudiantes proponen caminos diferentes:

• Alba propone comprobarlo mediante valores numéricos: calcular pares de imágenes opuestas como $g(1)$ y $g(-1)$, $g(2)$ y $g(-2)$, $g(4)$ y $g(-4)$, y comprobar si coinciden o cambian de signo.

• Bruno propone aplicar la definición algebraica formal: sustituir $x$ por $-x$, calcular la expresión de $g(-x)$, simplificarla y compararla directamente con $g(x)$ y con $-g(x)$.

• Carlos propone descomponer la función: analizar por separado que el numerador es una función impar y el denominador es una función par, y deducir la simetría global aplicando una regla de signos análoga a la multiplicación y división de números.

1. a) Analiza con sentido crítico los tres métodos: ¿cuál o cuáles constituyen una demostración matemática válida para todos los números del dominio y cuál solo sirve como indicio o comprobación experimental?
2. b) Aplica el método algebraico de Bruno para demostrar con rigor qué simetría posee $g(x)$.
3. c) Explica detalladamente de qué forma el resultado de la simetría te permite ahorrar la mitad del trabajo al estudiar las asíntotas verticales y el signo de la función en su dominio.

Dada la siguiente función definida a trozos, estudia su dominio, su continuidad, sus puntos de corte con los ejes y sus intervalos de monotonía:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ 2x - 4 & \text{si } 0 \leq x < 4 \\ 4 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}$

En un triángulo isósceles de base $12$ cm y altura $10$ cm, se inscribe un rectángulo cuya base $x$ descansa sobre la base del triángulo, como muestra la figura. Expresa el área del rectángulo en función de su base $x$ y determina el dominio de esta función en el contexto geométrico del problema.

La función racional $f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ pasa por el punto $(0, 1)$, tiene una asíntota vertical en la recta $x = 2$ y una asíntota horizontal en la recta $y = 3$. Plantea un sistema de ecuaciones y halla los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

La concentración de un determinado fármaco en la sangre de un paciente, en mg/L, tras $t$ horas desde su administración viene dada por el modelo $C(t) = \frac{10t}{t^2 + 1}$. Calcula la tasa de variación media en la primera hora (intervalo $[0, 1]$) e interpreta el resultado. Además, razona matemáticamente cuál es la tendencia de la concentración del fármaco a largo plazo (cuando $t \to \infty$).

Esboza en tu cuaderno la gráfica de una función $f(x)$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:

• Su dominio es $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

• Es una función con simetría impar.

• Tiene asíntotas verticales en $x = -2$ y $x = 2$, y una asíntota horizontal en $y = 0$.

• Presenta un máximo relativo en el punto $(-4, 1)$ y un mínimo relativo en $(4, -1)$.

• Pasa por el origen de coordenadas.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

A partir de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4x$, obtén la expresión analítica como función a trozos de $g(x) = |x^2 - 4x|$. Representa mentalmente la situación y determina los intervalos de concavidad y convexidad de $g(x)$.

Un proyectil es lanzado hacia arriba y sigue una trayectoria descrita por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$, donde $h$ es la altura en metros y $t$ el tiempo en segundos desde el lanzamiento. Determina el dominio de la función restringido a la duración real del vuelo (hasta que impacta contra el suelo), la altura desde la que fue lanzado, la altura máxima que alcanza y el tiempo total de vuelo.

Demuestra analíticamente si la función $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ es simétrica par, impar o ninguna de las dos. A continuación, calcula sus puntos de corte con los ejes y determina las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.

Encuentra la expresión analítica de una función racional de la forma $f(x) = \frac{a \cdot x + b}{x - c}$, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales que debes determinar, sabiendo que cumple simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. Su gráfica presenta una asíntota vertical en la recta $x = 3$.

2. Corta al eje de abscisas ($X$) en el punto $(-2, 0)$.

3. Cuando los valores de la variable independiente crecen sin límite ($x \to +\infty$), las imágenes se aproximan a la recta horizontal de ecuación $y = 4$.

1. a) Deduce paso a paso y de manera justificada el valor de los coeficientes $a$, $b$ y $c$. Comprueba que el numerador de la función resultante no se anula en $x = 3$.
2. b) Halla el punto de corte de la gráfica con el eje de ordenadas ($Y$).
3. c) Calcula la tasa de variación media (TVM) de la función en los intervalos $[4, 5]$ y $[5, 8]$. A la vista de estos resultados y de la asíntota vertical hallada, razona si es posible que la función posea algún máximo o mínimo relativo en el intervalo $(3, +\infty)$ o si su monotonía es constante en él.

Una cooperativa agraria en Bolivia adquiere una nueva envasadora mediante alquiler comercial. La máquina genera unos costos fijos mensuales de $1\,200$ bolivianos (seguro y cuota) y un costo variable de $25$ bolivianos por cada tonelada de fruta procesada. La función que expresa el costo medio unitario por tonelada (en bolivianos por tonelada) al procesar $x$ toneladas en un mes es:

$\bar{C}(x) = \frac{1\,200 + 25x}{x}$

1. a) Determina el dominio de definición de $\bar{C}(x)$ en el marco real del problema y explica por qué carecen de sentido operativo los valores $x \leq 0$.
2. b) Analiza la tendencia y la asíntota vertical de la función cuando la producción se hace muy cercana a cero por la derecha ($x \to 0^+$). ¿Qué interpretación económica tiene que el valor de $\bar{C}(x)$ crezca hacia $+\infty$ cuando se procesa una cantidad minúscula de fruta?
3. c) Calcula analíticamente la asíntota horizontal de la función cuando $x \to +\infty$. Razona si la cooperativa podrá alguna vez reducir su costo medio por debajo de $25$ bolivianos por tonelada aumentando indefinidamente el volumen de producción.
4. d) Demuestra que la función es estrictamente decreciente en todo su dominio probando que $TVM[a, b] = -\frac{1\,200}{ab} < 0$ para cualesquiera $0 < a < b$; después, evalúa la TVM en dos intervalos de igual longitud pero distinta escala de producción (por ejemplo, $[10, 30]$ y $[100, 120]$) e interpreta qué conclusión práctica debe extraer la gerencia de la cooperativa sobre la amortización de costos fijos.