Ejercicios: Conceptos básicos

Dada la función polinómica $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$, calcula las imágenes para los valores $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.

Un servicio de alquiler de bicicletas cobra una tarifa fija de $21$ bolivianos por el registro del servicio, más $10,50$ bolivianos por cada hora de uso. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo total con el tiempo de uso, e identifica cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente.

Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4$ en los intervalos $[-1, 2]$ y $[2, 5]$.

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:

1. a) $f(x) = \frac{3}{x - 5}$
2. b) $g(x) = \sqrt{x + 2}$

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ y determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas exactas de sus máximos y mínimos relativos.

Determina algebraicamente si las siguientes funciones son pares, impares o no tienen ningún tipo de simetría:

1. a) $f(x) = x^4 - 2x^2$
2. b) $g(x) = x^3 - 3x + 1$

A partir de la gráfica de la función $h(x)$, sabiendo que la ordenada del punto abierto en $x = -2$ es $1,25$, indica en forma de intervalo su dominio y su recorrido.

Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función $f(x) = x^2 - 6x + 8$.

Al estudiar la función $f(x) = \dfrac{2x - 6}{x + 1}$, Hugo comete un error conceptual muy habitual al hallar los cortes con los ejes. En su cuaderno escribe:\n«Para hallar el corte con el eje $Y$, resuelvo la ecuación $2x - 6 = 0$, de donde obtengo $x = 3$, por lo que la gráfica corta al eje $Y$ en el punto $(3, 0)$. Para hallar el corte con el eje $X$, sustituyo $x = 0$ y calculo $f(0) = \dfrac{-6}{1} = -6$, así que corta al eje $X$ en el punto $(0, -6)$».\na) Explica detalladamente qué confusión ha tenido Hugo sobre el papel de las variables independiente y dependiente al buscar los cortes con los ejes.\nb) Razona, a partir de la definición de función, por qué es matemáticamente imposible que la gráfica de una función corte al eje $Y$ en dos o más puntos distintos.\nc) Corrige el procedimiento de Hugo y determina las coordenadas correctas de los puntos de corte de $f(x)$ con ambos ejes cartesianos.

Diseña la expresión algebraica de una función racional de la forma $f(x) = \dfrac{a \cdot x + b}{x + c}$ que cumpla simultáneamente las tres condiciones siguientes:\n1) Su dominio de definición es $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.\n2) Su gráfica corta al eje de ordenadas (eje $Y$) en el punto $(0, -3)$.\n3) Su gráfica corta al eje de abscisas (eje $X$) en el punto $(3, 0)$.\nExplica paso a paso cómo deduces el valor numérico de cada uno de los parámetros $a$, $b$ y $c$, y escribe la fórmula definitiva de la función comprobando que el numerador no se anula en el valor excluido del dominio.

La distancia $d$ (en metros) que recorre un objeto en caída libre en función del tiempo $t$ (en segundos) se aproxima mediante la función $d(t) = 5t^2$. Calcula la velocidad media del objeto (que se corresponde con la Tasa de Variación Media) entre el primer y el tercer segundo ($t \in [1, 3]$), y entre el tercer y el quinto segundo ($t \in [3, 5]$).

Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$.

Dada la siguiente gráfica de una función definida a trozos, halla los valores de $f(-2)$, $f(1)$ y $f(4)$. A continuación, indica en qué puntos la función es discontinua y de qué tipo es cada discontinuidad.

Determina analíticamente la ecuación de las asíntotas verticales y horizontales de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.

Una empresa de taxis cobra $21$ bolivianos por la bajada de bandera y $8,40$ bolivianos por cada kilómetro recorrido.

1. a) Escribe la función que relaciona el precio total del trayecto con los kilómetros recorridos.
2. b) ¿Cuál es el dominio de esta función teniendo en cuenta el contexto del problema?
3. c) ¿Cuánto costará un trayecto de $15$ km?
4. d) Si un cliente pagó $147$ bolivianos, ¿cuántos kilómetros recorrió?

La gráfica adjunta representa la altura en metros a la que se encuentra una cabina de una noria en función del tiempo en minutos. Observa la gráfica y responde:

1. a) ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, indica su periodo.
2. b) ¿Cuál es la altura máxima y mínima que alcanza la cabina?
3. c) ¿A qué altura se encuentra la cabina a los $10$ minutos exactos de empezar a girar?

Calcula la Tasa de Variación Media de la función $f(x) = \frac{1}{x}$ en los intervalos $[1, 2]$ y $[2, 4]$. ¿Qué indica el signo de los resultados sobre la monotonía de la función en esos intervalos?

La temperatura $T$ (en grados Celsius) en el interior de un horno industrial desde que se enciende hasta que se apaga viene dada por la función $T(t) = -t^2 + 8t + 20$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. ¿En qué instante se alcanza la temperatura máxima? ¿Cuál es el valor de esa temperatura máxima?

La temperatura $T$ (en grados Celsius) registrada por una estación meteorológica de la AEMET en una zona de montaña durante una tarde invernal viene dada por la función $T(t) = -0,5 \cdot t^2 + 2t + 4$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas desde las 12:00 del mediodía ($t = 0$), para $t \in [0, 6]$.\na) Sin realizar cálculos numéricos exactos, estima de forma cualitativa si la Tasa de Variación Media en el intervalo $[1, 5]$ (es decir, $\text{TVM}[1, 5]$) será positiva o negativa. Justifica tu estimación basándote en la forma de la parábola y el signo de su coeficiente principal.\nb) Calcula algebraicamente el valor exacto de la $\text{TVM}[1, 5]$ aplicando su fórmula e indica las unidades físicas que corresponden al resultado.\nc) Comprueba si el valor obtenido coincide con tu estimación previa y explica qué significado físico tiene ese resultado en relación con el enfriamiento o calentamiento medio del ambiente durante esas horas.

El servicio municipal de alquiler de bicicletas eléctricas de una ciudad boliviana cobra el costo $C(t)$ (en bolivianos) en función del tiempo de uso $t$ (en minutos, con $0 \le t \le 90$) mediante una función a trozos. Los primeros 20 minutos combinan una cuota de desbloqueo con una tarifa reducida, y a partir del minuto 20 el costo por minuto aumenta para evitar que se monopolicen las bicicletas:\n$C(t) = \begin{cases} 0,60 + 0,05 \cdot t & \text{si } 0 \le t \le 20 \\ k + 0,15 \cdot (t - 20) & \text{si } 20 < t \le 90 \end{cases}$\na) Calcula el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función sea continua en $t = 20$. Razona qué consecuencia económica o injusticia para el usuario ocurriría si hubiera una discontinuidad de salto en ese instante.\nb) Sabiendo que la tarifa es continua, si una persona usuaria recibe un cobro exacto de $4,60$ bolivianos en su aplicación del celular, plantea y resuelve la ecuación correspondiente para averiguar cuántos minutos duró su trayecto.\nc) Calcula la Tasa de Variación Media del costo en el intervalo $[5, 15]$ y en el intervalo $[30, 50]$. Explica qué representan estos dos valores numéricos respecto al precio por minuto de cada tramo tarifario.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 3x + 5 & \text{si } 1 \le x < 4 \\ bx - 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$

Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando el muro rectilíneo de una nave ya construida, de modo que solo necesita vallar tres de los cuatro lados del rectángulo.

1. a) Encuentra la expresión de la función que da el área del huerto en función de la longitud $x$ de uno de los lados perpendiculares al muro.
2. b) Determina el dominio de definición válido para $x$ en el contexto de este problema.
3. c) ¿Qué dimensiones debe tener el huerto para que su área sea máxima?

Determina analíticamente el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}}$. Expresa el resultado como unión de intervalos.

Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 + kx$, determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la Tasa de Variación Media de la función en el intervalo $[1, 3]$ es igual a $8$.

Analiza la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina:

1. a) Su dominio y recorrido.
2. b) Las ecuaciones de sus asíntotas.
3. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
4. d) Las coordenadas de sus extremos relativos (máximos y mínimos).

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$:

1. a) Demuestra analíticamente si es una función par, impar o si no presenta simetría.
2. b) Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
3. c) Encuentra las ecuaciones de todas sus asíntotas (verticales y horizontales).

Un parqueo público tiene la siguiente tarifa: cobra $14$ bolivianos por la primera hora (o fracción de hora), y $10,50$ bolivianos por cada hora adicional (o fracción). El costo máximo por día es de $84$ bolivianos. Escribe la expresión analítica de la función definida por tramos que relaciona el precio a pagar con el tiempo de estacionamiento $t$ (en horas) para las primeras $5$ horas, indicando claramente los intervalos de definición para cada tramo.

Dada la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + 3}{2x^2 - x}$, determina el valor del parámetro $a$ para que la función tenga una asíntota horizontal en la recta $y = 4$. Con ese valor de $a$ ya calculado, halla también las ecuaciones de las asíntotas verticales de la función.

Para determinar si la función racional $f(x) = \dfrac{4x}{x^2 - 9}$ presenta algún tipo de simetría (par, impar o ninguna), dos estudiantes de 4.º de secundaria defienden métodos diferentes:\n- Estrategia de Álvaro: Evalúa la función en un valor concreto de su dominio, por ejemplo $x = 1$, obteniendo $f(1) = -0,5$ y $f(-1) = 0,5$. Al observar que $f(-1) = -f(1)$, afirma que esto demuestra con certeza que la función es impar en todo su dominio.\n- Estrategia de Marta: Sostiene que comprobar un caso particular no demuestra una propiedad general. Propone sustituir la variable $x$ por $-x$ de forma genérica, simplificar la expresión algebraica de $f(-x)$ y compararla formalmente con $-f(x)$ y con $f(x)$.\na) Analiza la estrategia de Álvaro: razona por qué un ejemplo numérico no constituye una demostración matemática válida y proporciona la fórmula de una función $g(x)$ que cumpla $g(-1) = -g(1)$ pero que no sea impar en el resto de su dominio.\nb) Aplica la estrategia de Marta desarrollando algebraicamente $f(-x)$ y concluye con rigor qué tipo de simetría tiene $f(x)$.\nc) Justifica en qué situación de un examen puede ser útil el método de Álvaro (a modo de descarte o conjetura) y por qué el método de Marta es el único matemáticamente concluyente.

Un equipo de ingeniería electrónica diseña la respuesta de un filtro de señal cuya ganancia de voltaje $f(x)$ (en voltios) depende de la frecuencia de entrada $x$ (en kHz). La respuesta responde al modelo de función racional:\n$f(x) = \dfrac{a \cdot x^2 + b}{c \cdot x^2 - 18}$\nPara que el circuito funcione de manera óptima, debe cumplir rigurosamente cuatro especificaciones técnicas:\n1) La gráfica es simétrica respecto al eje $Y$ (función par).\n2) El circuito entra en resonancia crítica (presenta asíntotas verticales) exactamente en las frecuencias $x = 3$ kHz y $x = -3$ kHz.\n3) A frecuencias extremadamente altas ($x \to \infty$), la ganancia se estabiliza en una asíntota horizontal de valor $y = 2$ V.\n4) Cuando no hay señal de entrada ($x = 0$ kHz), la ganancia inicial es de $-1$ V.\na) Deduce de forma razonada el valor de los coeficientes $a$, $b$ y $c$. Justifica cada deducción a partir de las condiciones dadas.\nb) Demuestra formalmente que la función obtenida con dichos coeficientes cumple la condición algebraica de función par para todo $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$.\nc) Determina si la señal de salida puede anularse en algún momento (es decir, si la gráfica corta al eje $X$). Justifica tu respuesta resolviendo la ecuación $f(x) = 0$ y explica por qué tener una asíntota horizontal en $y = 2$ no impide, en principio, que una función pueda cortar o no al eje horizontal.