Ejercicios: Medidas de posición

El número de goles marcados por un equipo de balonmano en sus últimos 9 partidos ha sido: $24, 28, 21, 30, 25, 28, 22, 27, 26$. Calcula el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$) y el tercer cuartil ($Q_3$) de estos datos.

La duración de la batería, en horas, de 10 teléfonos celulares tras una carga completa es: $14, 18, 12, 15, 19, 11, 16, 15, 13, 17$. Determina la mediana y los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$ de la duración de las baterías.

El siguiente diagrama de caja y bigotes representa los precios, en bolivianos, de las entradas para distintos conciertos en una ciudad durante el verano. Identifica el precio mínimo, el precio máximo, la mediana y los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$.

El número de páginas leídas en un día por un grupo de 15 estudiantes es: $12, 20, 8, 15, 30, 25, 10, 18, 22, 14, 35, 28, 16, 24, 19$. Halla el percentil $60$ ($P_{60}$) e interpreta su significado en el contexto del problema.

En una encuesta realizada a 20 familias sobre el número de mascotas que tienen en casa, se han obtenido los siguientes resultados:

• 0 mascotas: 6 familias

• 1 mascota: 8 familias

• 2 mascotas: 4 familias

• 3 mascotas: 2 familias

Calcula la mediana del número de mascotas.

Se ha preguntado a los 25 alumnos de una clase cuántos días a la semana practican deporte. Los resultados se muestran en la tabla:

Determina el primer y el tercer cuartil de esta distribución.

En la revisión médica anual, el pediatra le dice a los padres de un niño que su altura se encuentra en el percentil $85$ ($P_{85}$) para su edad. Explica detalladamente qué significa este dato estadístico en relación con el resto de niños de su misma edad.

Las temperaturas máximas registradas en una ciudad durante 12 días consecutivos de primavera han sido, en grados Celsius: $18, 20, 22, 19, 21, 24, 25, 23, 20, 19, 26, 22$. Calcula el rango intercuartílico (diferencia entre el tercer y el primer cuartil) de las temperaturas.

Marcos ha registrado las notas obtenidas por 8 alumnos en un examen: $4, 8, 3, 9, 6, 5, 7, 2$. Para hallar los cuartiles, realiza el siguiente razonamiento: «Como son 8 datos, para el primer cuartil calculo la posición $\dfrac{1 \cdot 8}{4} = 2$, así que $Q_1$ es el dato que está en segundo lugar, es decir, $Q_1 = 8$. Para el tercer cuartil calculo la posición $\dfrac{3 \cdot 8}{4} = 6$, y como el sexto dato de la lista es un 5, entonces $Q_3 = 5$».

1. a) Señala el error de concepto fundamental que ha cometido Marcos al manejar los datos. Explica por qué su conclusión final ($Q_1 = 8$ y $Q_3 = 5$) es matemáticamente absurda atendiendo a la definición de cuartil.
2. b) Corrige el procedimiento: ordena la serie y calcula de forma justificada los valores reales de $Q_1$, la mediana ($Me$) y $Q_3$.

Se desea diseñar una muestra hipotética de $N = 7$ calificaciones enteras (de 1 a 10) de un grupo reducido de estudiantes que cumpla simultáneamente estas cuatro condiciones:

• La nota mínima es 2 y la nota máxima es 9.

• La mediana de la muestra es exactamente 6.

• El primer cuartil es $Q_1 = 4$.

• El tercer cuartil es $Q_3 = 8$.

1. a) Propón una lista ordenada de 7 notas que satisfaga todas las condiciones, justificando la posición que ocupa cada medida.
2. b) ¿Es única la muestra posible o pueden existir varias combinaciones válidas? Razona tu respuesta indicando qué elementos tienen libertad de variación y entre qué límites pueden oscilar.

El tiempo, en minutos, que un grupo de 40 adolescentes pasa al día en redes sociales se ha agrupado en la siguiente tabla:

Identifica la clase mediana y calcula el valor exacto de la mediana utilizando la fórmula de interpolación lineal.

El siguiente polígono de frecuencias acumuladas muestra la distribución de los salarios mensuales, en bolivianos, de los 50 empleados de una empresa tecnológica. A partir del gráfico, estima de forma aproximada el valor de la mediana ($Me$), el primer cuartil ($Q_1$) y el tercer cuartil ($Q_3$).

Las tallas de calzado de los 30 jugadores de un club de básquetbol se distribuyen según la siguiente tabla:

Calcula los percentiles $P_{20}$ y $P_{80}$ de la distribución e interpreta los resultados obtenidos en el contexto del problema.

El diagrama de caja y bigotes adjunto representa la vida útil, en horas, de una muestra de 200 bombillas LED de una determinada marca. Responde a las siguientes preguntas justificando tus respuestas:

1. a) ¿Qué porcentaje de bombillas dura más de $1500$ horas?
2. b) ¿Entre qué valores se encuentra el $50\%$ central de la distribución?
3. c) ¿Cuántas bombillas exactamente duraron menos de $1200$ horas?

Los siguientes diagramas de caja y bigotes muestran las calificaciones obtenidas en un examen de Ciencias por dos clases diferentes, A y B.

1. a) ¿Qué clase tiene una mayor dispersión en el $50\%$ central de sus notas?
2. b) ¿En qué clase es mayor la nota que delimita el $75\%$ de las calificaciones más bajas?
3. c) ¿Cuál de las dos clases consideras que ha tenido un rendimiento más homogéneo en general? Justifica tu respuesta.

La distancia, en kilómetros, que recorren diariamente 50 empleados para llegar a su lugar de trabajo se distribuye de la siguiente manera:

Calcula el percentil $90$ ($P_{90}$) utilizando la fórmula de interpolación lineal y explica qué información proporciona este valor a la empresa para planificar los espacios de parqueo o ayudas de transporte.

El peso, en gramos, de 60 manzanas recolectadas en un huerto se ha tabulado en intervalos:

Calcula el rango intercuartílico de los pesos de las manzanas utilizando la interpolación lineal para hallar previamente $Q_1$ y $Q_3$.

Las edades de un grupo de 6 amigos son: $14, 15, 15, 16, 17, 18$. Un nuevo amigo se une al grupo. Determina qué edad debe tener este nuevo integrante para que la mediana de las edades de todo el grupo pase a ser exactamente de $16$ años.

El tiempo diario (en minutos) que tarda una muestra de 50 estudiantes de 4.º de secundaria en desplazarse hasta su colegio se ha tabulado de la siguiente forma:

1. a) Estima: Determina en qué intervalo se encuentra el percentil 60 ($P_{60}$). Sin hacer todavía ningún cálculo algebraico complejo, razona si el valor de $P_{60}$ debería estar más cerca de 30, del punto medio (37,5) o de 45. Da una estimación intuitiva de su valor.
2. b) Comprueba: Calcula con precisión el valor de $P_{60}$ mediante la fórmula de interpolación lineal. Compara el valor obtenido con tu estimación previa y explica el significado del resultado en el contexto del desplazamiento de los alumnos.

En una encuesta de calidad realizada a 200 usuarios sobre una aplicación del celular, la valoración se mide con estrellas discretas del 1 al 5. Los resultados han sido: 20 personas dieron 1 estrella; 45 dieron 2; 75 dieron 3; 40 dieron 4; y 20 dieron 5.

Tres estudiantes debaten cómo calcular los cuartiles de este conjunto:

• Sergio propone listar los 200 datos de forma individual en una hoja e ir tachando de los extremos hacia el centro.

• Lucía propone tratar los datos como si fueran continuos creando intervalos $[0,5; 1,5), [1,5; 2,5), \dots$ y aplicar la fórmula de interpolación lineal continua.

• Alba propone calcular las frecuencias acumuladas ($F_i$) directamente sobre la tabla discreta y buscar el primer valor donde $F_i \ge \dfrac{k \cdot N}{4}$.

1. a) Compara las tres alternativas: explica qué problema práctico evidente presenta el camino de Sergio y qué error conceptual comete Lucía al aplicar interpolación continua a una variable discreta de valores enteros aislados.
2. b) Aplica el método de Alba para calcular justificadamente $Q_1$, la mediana ($Me$) y $Q_3$. Interpreta el nivel de satisfacción de los usuarios a partir de la mediana obtenida.

En una aplicación de música, las valoraciones (de 1 a 5 estrellas) dadas por un grupo de usuarios tienen la siguiente distribución:

Se sabe que la mediana de las valoraciones es $3,5$ estrellas. Determina el valor de la frecuencia desconocida $x$ razonando tu respuesta, y a continuación calcula el primer cuartil ($Q_1$) de la distribución.

La cantidad de lluvia mensual, en mm, registrada en una región durante varios años se agrupa en la siguiente tabla:

Halla el valor de $k$ tal que el percentil $P_k$ sea exactamente $65$ mm. ¿Qué porcentaje de meses llovió menos de esa cantidad?

El siguiente gráfico representa el polígono de frecuencias acumuladas del tiempo de carga, en minutos, de la batería de 40 vehículos eléctricos. A partir del gráfico, reconstruye la tabla de frecuencias absolutas por intervalos y calcula de forma analítica el tercer cuartil ($Q_3$). Compara el resultado analítico con el valor que se observa directamente en el gráfico.

Una tienda de electrónica tiene una lista de precios para 20 modelos de auriculares. Se sabe que el primer cuartil de los precios es $210$ bolivianos, la mediana es $315$ bolivianos y el tercer cuartil es $420$ bolivianos. Por la semana del "Black Friday", la tienda aplica un descuento del $20\%$ a todos los auriculares y, además, descuenta $35$ bolivianos extra en caja. Determina cuáles serán los nuevos valores de $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ tras aplicar la promoción, justificando matemáticamente tu respuesta.

Los tiempos de reacción, en milisegundos, de 15 jugadores profesionales en un videojuego son: $210, 245, 215, 230, 220, 250, 215, 225, 240, 235, 218, 222, 260, 228, 232$.

Calcula los cinco valores resumen (mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo) de este grupo. Si un jugador amateur tiene un diagrama de caja cuyos cuartiles son $Q_1 = 240$ y $Q_3 = 280$, razona estadísticamente si es posible afirmar que más del $25\%$ de los jugadores profesionales tienen tiempos de reacción peores (mayores) que el $25\%$ de los jugadores amateur más rápidos.

Las calificaciones de un examen de 6 estudiantes son números enteros del 1 al 10. Se sabe que la media aritmética es $6,5$, la mediana es $6,5$, la moda es $7$ (y es única), y el primer cuartil ($Q_1$) es $5$. Reconstruye las calificaciones exactas de los 6 estudiantes explicando paso a paso el razonamiento seguido.

Se ha estudiado la vida útil, en miles de kilómetros, de dos marcas de neumáticos, X e Y.

Para la marca X:

Para la marca Y:

Calcula el rango intercuartílico de ambas marcas y determina cuál de las dos ofrece una vida útil más consistente (menos dispersa en el $50\%$ central).

La distribución de los ingresos mensuales, en cientos de bolivianos, de un barrio residencial se agrupa en la siguiente tabla:

Calcula el primer decil ($D_1$) y el noveno decil ($D_9$). Posteriormente, halla la razón $\frac{D_9}{D_1}$ y explica qué indica este cociente sobre la desigualdad económica en el barrio.

A partir de una muestra de 120 trabajadores de un sector industrial en Bolivia (con datos inspirados en las encuestas de empleo e ingresos del INE), se ha registrado el salario mensual bruto (en bolivianos) en la siguiente tabla:

1. a) Calcula mediante interpolación lineal la mediana ($Me$) y el percentil 80 ($P_{80}$) de la distribución salarial.
2. b) El gobierno autónomo municipal afirma: «Puesto que el salario medio aritmético de este grupo ronda los 1850 bolivianos, la gran mayoría de la plantilla cobra más de 1800 bolivianos». Utiliza las medidas de posición calculadas y el análisis de la tabla para refutar rigurosamente dicha afirmación, explicando por qué en variables económicas asimétricas la mediana representa la realidad mejor que la media.
3. c) Se plantea un subsidio de transporte para el $20\,\%$ de trabajadores con sueldos más bajos. Deduce el umbral salarial máximo para recibir la ayuda e indica a qué medida de posición corresponde exactamente.

En una comunidad de 80 viviendas se analiza el consumo eléctrico mensual en kilovatios hora (kWh). Los consumos se agruparon en 4 intervalos de idéntica amplitud ($c = 50$): $[100, 150)$, $[150, 200)$, $[200, 250)$ y $[250, 300)$.

Por un fallo informático se borraron los datos de la tabla, pero el administrador recuerda con certeza tres informaciones clave:

1. En el primer intervalo, $[100, 150)$, hay exactamente 12 viviendas registradas.

2. El primer cuartil, obtenido por la fórmula de interpolación lineal, dio exactamente $Q_1 = 170$ kWh.

3. El percentil 90 de la comunidad fue de $P_{90} = 275$ kWh.

1. a) Plantea las ecuaciones correspondientes a partir de las fórmulas de interpolación y determina razonadamente las frecuencias absolutas ($f_1, f_2, f_3, f_4$) de los cuatro intervalos de la tabla.
2. b) Con la tabla ya reconstruida, calcula el consumo mediano ($Me$) de la comunidad.
3. c) ¿Qué porcentaje exacto de las viviendas de esta comunidad tiene un consumo situado entre $Q_1$ y la mediana? Razona si tu respuesta depende de los datos numéricos concretos de este problema o si es una propiedad general para cualquier distribución estadística continua.