Ejercicios: Diagramas de caja

Se han registrado las edades de 7 estudiantes de un taller de teatro: $12, 14, 15, 18, 20, 22, 25$.

Calcula el mínimo, el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$), el tercer cuartil ($Q_3$) y el máximo. Determina también el rango intercuartílico ($IQR$).

Observa el siguiente diagrama de caja que representa los puntos anotados por un jugador de básquetbol en varios partidos.

Identifica los valores del resumen de los cinco números (mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo) y calcula la amplitud de la caja (rango intercuartílico).

En un estudio sobre el peso de las mochilas escolares, se ha obtenido que el primer cuartil es $Q_1 = 4,5$ kg y el tercer cuartil es $Q_3 = 7,2$ kg.

Calcula el rango intercuartílico ($IQR$). Si el peso mínimo registrado es de $2$ kg, ¿cuál es la longitud del bigote izquierdo en el diagrama de caja?

Dada la siguiente lista de temperaturas en grados Celsius registradas durante 8 días, desordenadas: $15, 12, 19, 14, 18, 10, 21, 16$.

Ordena los datos de menor a mayor y calcula el resumen de los cinco números necesario para dibujar un diagrama de caja.

Responde a las siguientes preguntas conceptuales sobre un diagrama de caja:

• ¿Qué porcentaje aproximado de los datos se encuentra dentro de la caja (entre $Q_1$ y $Q_3$)?

• ¿Qué porcentaje de los datos se encuentra en cada uno de los bigotes (asumiendo que no hay valores atípicos)?

• Si la caja es muy estrecha, ¿qué indica sobre la dispersión de los datos centrales?

Un grupo de investigadores ha resumido la altura (en cm) de una población de plantas con los siguientes cinco números: Mínimo = $110$, $Q_1 = 125$, $Me = 135$, $Q_3 = 142$, Máximo = $160$.

Dibuja el diagrama de caja correspondiente en tu cuaderno indicando claramente la escala utilizada en el eje horizontal.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Se ha medido el tiempo (en minutos) que tardan 9 personas en resolver un rompecabezas: $10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 25, 30$.

Calcula la mediana y los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$. ¿El valor $30$ se considera un valor atípico según la regla de $1,5 \cdot IQR$?

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta en cada caso:

• La línea que marca la mediana siempre se encuentra exactamente en el centro geométrico de la caja.

• Los dos bigotes de un diagrama de caja siempre tienen la misma longitud.

• El rango intercuartílico no se ve afectado por los valores extremos (máximo y mínimo).

Marcos analiza las edades de los socios de un club de ajedrez juvenil. Tras ordenar los datos, obtiene el siguiente resumen de cinco números: $\text{Mínimo} = 8$ años, $Q_1 = 12$ años, $\text{Mediana} = 15$ años, $Q_3 = 18$ años y $\text{Máximo} = 30$ años.

Para comprobar si la persona de $30$ años se debe considerar un valor atípico (outlier), Marcos escribe en su cuaderno:

«$RIC = 18 - 12 = 6$. Como la mediana es $15$, el límite a partir del cual un dato es atípico es $\text{Mediana} + 1{,}5 \cdot RIC = 15 + 1{,}5 \cdot 6 = 15 + 9 = 24$. Como $30 > 24$, la edad de $30$ años es un atípico.»

1. a) Localiza y explica el error conceptual que ha cometido Marcos en la fórmula del límite superior.
2. b) Corrige el cálculo aplicando el criterio adecuado y determina cuál es el límite superior real a partir del cual una edad se considera atípica en este grupo. ¿Sigue considerándose $30$ un valor atípico tras la corrección?

En un control de velocidad en una travesía urbana limitada a $50\text{ km/h}$, la Policía Local anota las velocidades (en $\text{km/h}$) de $9$ vehículos infractores:

$$52,\; 53,\; 54,\; 55,\; 56,\; 58,\; 60,\; 85,\; 95$$

1. a) Estima sin calcular la media: Observa la posición del dato central y la distancia a la que quedan los extremos respecto a él. ¿Esperas que el diagrama de caja sea simétrico o que presente sesgo? A partir de esa forma, razona si estimas que la media aritmética resultará apreciablemente mayor, menor o igual que la mediana.
2. b) Comprueba con cálculos: Halla los cinco números del resumen (mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo) y el rango intercuartílico ($RIC$). A continuación, calcula la media aritmética exacta y comprueba si confirma tu estimación previa sobre el sesgo.

El siguiente gráfico muestra los diagramas de caja de las pulsaciones por minuto en reposo de dos grupos de atletas, A (corredores de fondo) y B (levantadores de pesas).

A partir de la observación de los gráficos, responde:

• ¿Qué grupo tiene una mediana menor?

• ¿Qué grupo presenta una mayor dispersión en el $50\%$ central de sus datos?

• Calcula el rango intercuartílico de ambos grupos y compáralos.

Se ha preguntado a un grupo de familias por el número de mascotas que tienen, obteniendo la siguiente tabla de frecuencias:

• $0$ mascotas: $8$ familias

• $1$ mascota: $12$ familias

• $2$ mascotas: $10$ familias

• $3$ mascotas: $6$ familias

• $4$ mascotas: $4$ familias

Calcula los cuartiles $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ a partir de las frecuencias acumuladas y describe detalladamente cómo sería el diagrama de caja correspondiente.

En una distribución estadística, el primer cuartil es $Q_1 = 40$ y el tercer cuartil es $Q_3 = 64$.

Calcula el rango intercuartílico ($IQR$). A continuación, determina los límites inferior y superior para identificar valores atípicos (utilizando la regla de $1,5 \cdot IQR$). ¿Sería el valor $105$ considerado un valor atípico? ¿Y el valor $3$?

En una clase de 32 alumnos, el diagrama de caja de las notas del examen final muestra que $Q_1 = 4$, $Me = 6$ y $Q_3 = 7,5$.

Sabiendo que no hay notas repetidas que coincidan exactamente con los cuartiles, ¿cuántos alumnos aproximadamente han sacado una nota igual o inferior a $4$? ¿Cuántos alumnos han sacado una nota entre $4$ y $7,5$?

La siguiente tabla muestra el tiempo (en horas) que un grupo de jóvenes dedica a la semana a jugar a videojuegos, agrupado en intervalos:

• $[0, 5)$: $10$ jóvenes

• $[5, 10)$: $25$ jóvenes

• $[10, 15)$: $30$ jóvenes

• $[15, 20)$: $15$ jóvenes

Calcula la posición de los cuartiles $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ interpolando en las clases correspondientes.

Los salarios (en bolivianos) de 5 empleados de una pequeña empresa son: $7\,700, 8\,400, 9\,100, 10\,500, 17\,500$.

Calcula el resumen de los cinco números. Si el empleado que cobra $17\,500$ bolivianos recibe un aumento de $3\,500$ bolivianos (pasando a cobrar $21\,000$ bolivianos), ¿cómo afecta esto a la mediana y al rango intercuartílico? ¿Qué ventaja tiene el diagrama de caja frente a la media aritmética en este caso?

Un diagrama de caja tiene los siguientes valores: Mínimo = $10$, $Q_1 = 15$, $Me = 18$, $Q_3 = 35$, Máximo = $40$.

Analiza la asimetría de la distribución. ¿Está sesgada hacia la derecha o hacia la izquierda? Justifica tu respuesta comparando las distancias entre los cuartiles y la mediana.

Las notas de un examen sobre 10 puntos tienen el siguiente resumen: Mínimo = $3$, $Q_1 = 5$, $Me = 6$, $Q_3 = 8$, Máximo = $10$.

El profesor decide transformar las notas multiplicándolas por $0,8$ y sumándoles $2$ puntos. Calcula el nuevo resumen de los cinco números y el nuevo rango intercuartílico.

El servicio de atención al cliente de una compañía de telecomunicaciones registra el tiempo de espera (en minutos) de $100$ usuarios en dos canales distintos:

• Canal telefónico: $\text{Mínimo} = 1$, $Q_1 = 3$, $\text{Mediana} = 4$, $Q_3 = 5$, $\text{Máximo} = 45$. Media $= 5{,}8\text{ min}$; Rango $= 44\text{ min}$; $RIC = 2\text{ min}$. (El máximo de $45$ se debió a una caída puntual del sistema informático un día concreto).

• Canal chat web: $\text{Mínimo} = 3$, $Q_1 = 6$, $\text{Mediana} = 8$, $Q_3 = 10$, $\text{Máximo} = 12$. Media $= 7{,}9\text{ min}$; Rango $= 9\text{ min}$; $RIC = 4\text{ min}$.

La dirección debate qué método emplear para comparar la regularidad y calidad del servicio:

• Método 1: Comparar la dispersión utilizando el rango total ($\text{Máximo} - \text{Mínimo}$).

• Método 2: Comparar la dispersión utilizando el rango intercuartílico ($RIC$) y la mediana.

1. a) Si la empresa utilizase el Método 1, ¿qué canal parecería mucho más disperso e impredecible? ¿Refleja esa conclusión la experiencia habitual del $50\,\%$ central de los usuarios?
2. b) Elige razonadamente cuál de los dos métodos estadísticos es más representativo para valorar la calidad cotidiana del servicio y explica por qué el $RIC$ resulta más robusto frente a incidencias técnicas aisladas.

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) registra durante $15$ días de enero las siguientes temperaturas mínimas (en grados Celsius) en una estación de alta montaña:

$$-12,\; -10,\; -9,\; -8,\; -6,\; -5,\; -4,\; -3,\; -2,\; -1,\; 0,\; 2,\; 3,\; 4,\; 18$$

1. a) Modela la distribución de estas temperaturas calculando el resumen de cinco números (mínimo, $Q_1$, $\text{Mediana}$, $Q_3$, máximo) y el rango intercuartílico ($RIC$).
2. b) Determina mediante el criterio matemático de Tukey si el registro de $18\;^\circ\text{C}$ (producido por un episodio excepcional de viento cálido) debe catalogarse como dato atípico. A la vista del resultado, ¿hasta qué valor numérico se dibujaría el bigote derecho del diagrama de caja?
3. c) Si se transforman todas las temperaturas a la escala Fahrenheit mediante la función lineal $F = 1{,}8 \cdot C + 32$, calcula la nueva mediana y el nuevo rango intercuartílico ($RIC_F$) aplicando las propiedades de las transformaciones lineales, sin necesidad de convertir los $15$ datos uno a uno.

Ingeniería inversa. Crea un conjunto de datos formado por 7 números enteros que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones para su diagrama de caja:

• Mínimo = $2$

• $Q_1 = 4$

• Mediana = $7$

• $Q_3 = 10$

• Máximo = $15$

Demuestra paso a paso que tu conjunto de datos cumple con los valores requeridos.

El siguiente histograma muestra la distribución de las edades de los visitantes a un museo durante una tarde.

A partir de las frecuencias representadas en el histograma, determina los intervalos en los que se encuentran el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$) y el tercer cuartil ($Q_3$). Justifica tus cálculos utilizando las frecuencias acumuladas.

En una distribución estadística, los cuartiles vienen dados por expresiones algebraicas en función de un parámetro $x > 0$:

• $Q_1 = x$

• $Me = 2x + 1$

• $Q_3 = x^2 - 2$

Sabiendo que el rango intercuartílico ($IQR$) es igual a $10$, plantea una ecuación, resuelve para hallar el valor de $x$, y calcula los valores numéricos de $Q_1$, $Me$ y $Q_3$.

En un diagrama de caja, el bigote derecho es extremadamente largo en comparación con el bigote izquierdo y la caja. Por ejemplo: Mínimo = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Máximo = $120$.

Razona y justifica matemáticamente si la media aritmética de esta distribución será mayor, menor o aproximadamente igual a la mediana. ¿Por qué ocurre esto?

Se tiene un conjunto de datos formado por 6 números: $4, 8, 10, 15, 20, y$.

Sabiendo que la mediana de este conjunto de datos es $12$, halla el valor desconocido de $y$. Una vez hallado, calcula el primer y tercer cuartil, y determina si existe algún valor atípico.

Demuestra con un contraejemplo que un diagrama de caja no es suficiente para identificar si una distribución es bimodal (es decir, si tiene dos modas o picos de frecuencia).

Para ello, inventa dos conjuntos de datos de 8 elementos cada uno: uno que sea claramente unimodal y otro que sea claramente bimodal, pero de tal forma que ambos tengan exactamente el mismo resumen de los cinco números (Mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Máximo).

Una empresa analiza el tiempo de vida (en horas) de dos marcas de bombillas, A y B. Ambas marcas tienen la misma mediana ($Me = 1000$ h) y el mismo rango intercuartílico ($IQR = 200$ h). Sin embargo, el rango total de la marca A es de $400$ h, mientras que el rango total de la marca B es de $1200$ h.

¿Qué información nos aporta esta diferencia en los rangos totales sobre la fiabilidad y la presencia de valores atípicos en ambas marcas? ¿Cuál de las dos marcas considerarías más predecible y por qué?

Se ha registrado el número de pulsaciones por minuto de 11 atletas tras una carrera: $110, 115, 120, 122, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 200$.

Calcula el resumen de los cinco números e identifica si el valor $200$ es un valor atípico utilizando el criterio de $1,5 \cdot IQR$. Si eliminamos ese valor atípico del conjunto de datos, ¿cómo varían la media y la mediana? ¿Qué medida de centralización es más robusta frente a este cambio?

Ingeniería inversa de una distribución salarial. En un estudio sociológico se recopilan los salarios netos mensuales de $N = 10$ empleados de una cooperativa, expresados en cientos de bolivianos y ordenados de menor a mayor: $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{10}$.

Construye una serie numérica de $10$ valores enteros que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones en su diagrama de caja:

1. $\text{Mínimo} = 10$ ($1000\text{ \text{Bs}\ }$).

2. $Q_1 = 13$ y $Q_3 = 19$. (Para una muestra de $10$ datos ordenados, toma como cuartiles la mediana de cada mitad: $Q_1 = x_3$ y $Q_3 = x_8$).

3. La mediana de la muestra es exactamente $16$ ($1600\text{ \text{Bs}\ }$), pero ningún empleado de las posiciones centrales cobra exactamente esa cantidad ($x_5 \ne x_6$).

4. En la distribución existe exactamente un valor atípico superior y ningún valor atípico inferior.

Calcula de forma explícita las fronteras que delimitan los datos atípicos, propón los $10$ valores numéricos $\{x_1, x_2, \dots, x_{10}\}$ y justifica paso a paso por qué tu conjunto satisface cada uno de los requisitos.

Dos líneas de micro urbano (Línea A y Línea B) conectan la estación de tren con un campus universitario. A partir del registro de tiempos de trayecto (en minutos) durante toda la gestión escolar, se han trazado sus diagramas de caja, cuyos datos característicos son:

• Línea A: $\text{Mínimo} = 12$, $Q_1 = 18$, $\text{Mediana} = 25$, $Q_3 = 28$, $\text{Máximo} = 34$ (sin datos atípicos).

• Línea B: $\text{Mínimo} = 15$, $Q_1 = 20$, $\text{Mediana} = 22$, $Q_3 = 24$, $\text{Máximo} = 42$ (con un único dato atípico en $42$; el último valor no atípico donde acaba el bigote es $29$).

1. a) Un estudiante llega a la estación a las $8:30$ y su examen comienza a las $9:00$ (dispone de $30$ minutos de margen). Deduce a partir de los cuartiles qué porcentaje de los viajes tarda $28$ minutos o menos en la Línea A y qué porcentaje tarda $24$ minutos o menos en la Línea B. ¿Qué línea le ofrece mayor garantía de que al menos el $75\,\%$ de las veces llegará a tiempo?
2. b) Analiza el sesgo de cada línea comparando las distancias $(Me - Q_1)$ frente a $(Q_3 - Me)$ y la longitud de los bigotes. Justifica en cuál de las dos líneas es previsible que la media aritmética sea claramente inferior a la mediana.
3. c) Para agilizar el tráfico se habilita un carril reservado que reduce el tiempo de viaje según la relación $t' = 0{,}8 \cdot t - 1$. Demuestra de forma algebraica general que si un dato cualquiera $x$ era un valor atípico superior en la variable original $t$, su valor transformado $x'$ seguirá siendo obligatoriamente un valor atípico superior en la variable $t'$.