Ejercicios: Distribuciones bidimensionales

Clasifica las siguientes relaciones entre variables bidimensionales como dependencia funcional o dependencia estadística (aleatoria):

1. a) La longitud del radio de una circunferencia y su área.
2. b) El número de horas de entrenamiento de un atleta y su marca en una carrera de $100$ metros.
3. c) El peso de un paquete de naranjas y su precio en el supermercado.
4. d) La edad de un árbol y su altura.

En un estudio sobre el clima y los hábitos en varias ciudades, se han analizado diferentes pares de variables. Indica si se espera una correlación positiva, negativa o nula en cada caso:

1. a) La altitud de la ciudad y la temperatura media anual.
2. b) La cantidad de lluvia anual y el número de paraguas vendidos.
3. c) El número de habitantes y la temperatura media anual.
4. d) Las horas de sol al año y el gasto en calefacción.

Para una distribución bidimensional $(X, Y)$ de $10$ pares de valores, se han obtenido las siguientes sumas tras tabular los datos: $\sum x_i = 40$, $\sum y_i = 60$ y $\sum x_i y_i = 280$. Calcula el valor de la covarianza de la distribución.

La recta de regresión que relaciona el número de horas de estudio semanal ($X$) con la calificación obtenida en un examen sobre $10$ ($Y$) viene dada por la ecuación $y = 0,6x + 2,5$.

1. a) ¿Qué calificación se estima para un alumno que ha estudiado $8$ horas?
2. b) Si un alumno quiere obtener una calificación estimada de $7$, ¿cuántas horas debería estudiar según este modelo?

Asocia cada uno de los siguientes valores del coeficiente de correlación lineal de Pearson ($r$) con la gráfica correspondiente en el diagrama inferior.

Valores: $r_1 = 0,98$, $r_2 = -0,92$, $r_3 = 0,05$, $r_4 = 0,45$.

Se ha medido el peso en kg ($X$) y la altura en cm ($Y$) de un grupo de $5$ amigos, obteniendo los siguientes pares de valores: $(60, 165)$, $(65, 170)$, $(70, 175)$, $(55, 160)$ y $(80, 180)$. Calcula las coordenadas exactas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de esta distribución bidimensional.

En un experimento de laboratorio se quiere comprobar cómo afecta la temperatura ($T$) a la solubilidad de una sal en agua ($S$).

1. a) Identifica cuál debe considerarse la variable independiente ($X$) y cuál la dependiente ($Y$) para hacer un estudio de regresión.
2. b) Si al aumentar la temperatura, la cantidad de sal disuelta aumenta proporcionalmente, ¿qué signo tendrá el coeficiente de correlación lineal?

El coeficiente de correlación lineal entre la talla de zapato de un grupo de estudiantes y la nota obtenida en el último examen de matemáticas es $r = 0,02$. Explica el significado de este valor. ¿Tiene sentido calcular la recta de regresión para predecir la nota a partir de la talla de zapato?

En un proyecto de seguridad vial, Lucía estudia dos posibles factores que influyen en la distancia de frenado de un vehículo ($Y$, en metros): la velocidad ($X_1$, en $\text{km/h}$) y el tiempo de reacción del conductor ($X_2$, en segundos).

Tras analizar los datos de una muestra, obtiene una covarianza $\sigma_{x_1 y} = 320\text{ km/h}\cdot\text{m}$ para el primer factor y $\sigma_{x_2 y} = 12\text{ s}\cdot\text{m}$ para el segundo. A partir de esto, Lucía afirma:

«La relación lineal entre la velocidad y el frenado es casi 27 veces más intensa que entre el tiempo de reacción y el frenado porque $320$ es mucho mayor que $12$».

Además, añade: «Si pasamos la velocidad a metros por segundo dividiendo entre $3,6$, el coeficiente de correlación $r$ quedará también dividido entre $3,6$».

1. a) Identifica y explica razonadamente los dos errores conceptuales que ha cometido Lucía en sus afirmaciones.
2. b) Sabiendo que en el estudio de la velocidad las desviaciones típicas son $\sigma_{x_1} = 20\text{ km/h}$ y $\sigma_y = 18\text{ m}$, calcula el verdadero coeficiente de correlación lineal $r$ e interpreta la fuerza y sentido de la relación. ¿Qué valor tomaría $r$ si se midiera la velocidad en $\text{m/s}$?

Se ha registrado el número de horas semanales de estudio ($X$) y la calificación obtenida en un examen sobre 10 ($Y$) de cinco estudiantes de $4.º\text{ de ESO}$:

• Estudiante A: $(2; 3)$

• Estudiante B: $(4; 5)$

• Estudiante C: $(6; 6)$

• Estudiante D: $(8; 7)$

• Estudiante E: $(10; 9)$

1. a) Realiza una estimación razonada antes de calcular:

1. Observando los datos extremos y su simetría, propón un valor estimado para las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Observa si las dos variables crecen a la vez y estima razonadamente el signo de $r$ y si su valor estará más cerca de $0$, de $0,5$ o de $1$.

1. b) Comprueba tus estimaciones calculando de forma exacta las medias $\bar{x}$ e $\bar{y}$, las varianzas $\sigma_x^2$ y $\sigma_y^2$, la covarianza $\sigma_{xy}$ y el coeficiente de correlación $r$ (con dos decimales). Valora finalmente si tus estimaciones iniciales eran acertadas.

En un estudio de mercado sobre el precio de la vivienda ($Y$, en miles de bolivianos) en función de su superficie ($X$, en metros cuadrados), se obtuvieron los siguientes parámetros estadísticos:

• La covarianza es $\sigma_{xy} = 450$.

• La desviación estándar de la superficie es $\sigma_x = 25$.

• La desviación estándar del precio es $\sigma_y = 20$.

Calcula el coeficiente de correlación lineal e interpreta la fuerza y el sentido de la relación entre ambas variables.

Se ha preguntado a $6$ familias por sus ingresos mensuales en miles de bolivianos ($X$) y su gasto mensual en ocio en cientos de bolivianos ($Y$). Los resultados son los pares:

$(14, 21)$, $(17,50; 28)$, $(21, 28)$, $(28, 42)$, $(31,50; 49)$, $(35, 56)$.

1. a) Representa la nube de puntos en unos ejes coordenados.
2. b) Observando tu representación, estima si la correlación es fuerte o débil, y si es positiva o negativa.
3. c) Sin hacer cálculos complejos de regresión, ¿crees que la recta de regresión pasaría cerca del punto $(24,50; 37,10)$? Justifica tu respuesta calculando el centro de gravedad de la distribución.

Conocemos los siguientes datos de una distribución bidimensional referida a las ventas de una empresa ($Y$, en miles de unidades) según la inversión en publicidad ($X$, en miles de bolivianos):

• Centro de gravedad: $(84, 40)$.

• Desviación estándar de $X$: $\sigma_x = 21$.

• Desviación estándar de $Y$: $\sigma_y = 5$.

• Coeficiente de correlación: $r = 0,9$.

Halla la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ en la forma $y = mx + n$.

La recta de regresión que relaciona la antigüedad de un modelo de auto en años ($X$) con su valor en el mercado de segunda mano en miles de bolivianos ($Y$) es $y = -8,40x + 126$.

1. a) Estima el valor de un auto que tiene $5$ años de antigüedad.
2. b) Estima el valor de un auto que tiene $20$ años de antigüedad.
3. c) ¿Son igualmente confiables ambas estimaciones? Explica los riesgos lógicos y matemáticos de la extrapolación en el segundo caso.

Un estudio estadístico realizado durante un año en una ciudad costera muestra una fuerte correlación positiva entre las ventas mensuales de helados y el número de personas que sufren incidentes de ahogamiento en la playa.

1. a) ¿Significa esto que comer helados es la causa de los ahogamientos?
2. b) Identifica una posible "variable oculta" que explique el aumento simultáneo de ambas variables y justifique la correlación estadística encontrada.

Una pequeña empresa de software ha registrado el número de desarrolladores asignados a un proyecto ($X$) y el tiempo en meses que han tardado en finalizarlo ($Y$):

$X$: $2, 3, 5, 6$

$Y$: $8, 6, 3, 2$

1. a) Calcula la media de $X$ y la media de $Y$.
2. b) Calcula la covarianza de la distribución.
3. c) ¿La relación es directa o inversa? ¿Tiene sentido este resultado en el contexto del problema?

En una clase de 4.° de secundaria se ha estudiado la relación entre la nota de Física ($X$) y la de Matemáticas ($Y$) de los $20$ alumnos inscritos. El centro de gravedad de la distribución es $(6,2; 6,5)$.

Si un nuevo alumno se incorpora a la clase y obtiene un $4$ en Física y un $5$ en Matemáticas, ¿cómo se desplazará el centro de gravedad de la nueva distribución de $21$ alumnos? (No es necesario calcular el valor exacto, sino razonar la dirección del cambio en ambas coordenadas).

Dadas las ecuaciones de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ ($y = 0,8x + 2,4$) y de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ ($x = 0,5y + 3$) de una misma distribución bidimensional, determina las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$. (Recuerda la propiedad geométrica que relaciona ambas rectas con el centro de gravedad).

En un informe sociológico se estudió la relación entre los ingresos netos mensuales ($X$, en miles de bolivianos) y el gasto mensual en ocio ($Y$, en cientos de bolivianos) de un grupo de familias. Por un error informático se perdió la tabla con los datos individuales, pero se conservaron en las conclusiones las ecuaciones de las dos rectas de regresión:

• Recta de regresión de $Y$ sobre $X$: $y = 0,75x + 2$

• Recta de regresión de $X$ sobre $Y$: $x = 0,48y + 1,6$

1. a) Halla de forma justificada las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribución sin necesidad de disponer de los datos originales.
2. b) Determina el coeficiente de correlación lineal $r$ a partir de las pendientes de ambas rectas. Justifica el signo asignado a $r$.
3. c) Sabiendo que la varianza de los ingresos es $\sigma_x^2 = 16$, reconstruye el valor exacto de la covarianza $\sigma_{xy}$ y el de la desviación típica del gasto en ocio $\sigma_y$.

Un equipo de geografía utiliza registros de la AEMET en un día despejado de invierno para modelizar cómo desciende la temperatura máxima ($Y$, en ºC) a medida que aumenta la altitud ($X$, expresada en centenares de metros) en cinco localidades de la Sierra de Guadarrama:

• Collado Villalba: $(9; 11)$

• Cercedilla: $(12; 9)$

• Navacerrada pueblo: $(13; 6)$

• Puerto de Cotos: $(18; 2)$

• Puerto de Navacerrada: $(23; -3)$

(Por ejemplo, $X = 9$ representa $900\text{ m}$ de altitud).

1. a) Modela la relación lineal calculando la covarianza $\sigma_{xy}$ y el coeficiente de correlación lineal $r$ (con tres decimales). ¿Qué indica este coeficiente sobre la bondad del ajuste?
2. b) Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ e interpreta el significado físico de su pendiente (el gradiente térmico vertical) en el contexto de la montaña.
3. c) Utiliza la recta para estimar la temperatura máxima en el Mirador de las Canchas ($1750\text{ m}$, es decir, $X = 17,5$) y en la cumbre de Peñalara ($2428\text{ m}$, es decir, $X = 24,28$). Razona cuál de las dos estimaciones es más fiable atendiendo al rango de datos observado.

Una empresa de transporte quiere analizar la relación entre la distancia recorrida en un trayecto ($X$, en decenas de km) y el consumo de combustible ($Y$, en litros). Los datos registrados en una muestra de $5$ camiones son:

$X$: $5, 10, 15, 20, 25$

$Y$: $12, 22, 30, 42, 49$

1. a) Calcula las medias $\bar{x}$ e $\bar{y}$.
2. b) Calcula las varianzas $\sigma_x^2$ y $\sigma_y^2$, y la covarianza $\sigma_{xy}$.
3. c) Halla el coeficiente de correlación lineal $r$.
4. d) Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y estima el consumo de combustible para un trayecto de $180$ km ($X=18$).

Se ha estudiado la relación entre las horas de entrenamiento semanal ($X$) y el tiempo en minutos en completar una prueba deportiva de resistencia ($Y$) en un grupo de atletas, obteniendo el siguiente diagrama de dispersión.

Al calcular el coeficiente de correlación con todos los datos, se obtiene una correlación débil ($r = -0,45$).

1. a) Observando la gráfica, identifica qué punto se considera un valor atípico (outlier).
2. b) Explica, razonando sobre el concepto de tendencia lineal, cómo afectaría la eliminación del "Atleta A" al valor numérico del coeficiente de correlación y a la pendiente de la recta de regresión.

En una pequeña localidad se ha recogido la información sobre el número de autos por familia ($X$) y el número de televisores por familia ($Y$), presentados en la siguiente tabla de doble entrada:

1. a) Obtén las distribuciones marginales de $X$ y de $Y$.
2. b) Calcula el centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.
3. c) Calcula la covarianza $\sigma_{xy}$.

Demuestra analíticamente que si la relación empírica entre dos variables $X$ e $Y$ es exactamente lineal y cumple $y_i = a x_i + b$ para todos los pares de valores (con $a > 0$), entonces la covarianza es $\sigma_{xy} = a \cdot \sigma_x^2$ y el coeficiente de correlación lineal es exactamente $r = 1$.

(Pista: recuerda que si $y_i = a x_i + b$, entonces la media cumple $\bar{y} = a \bar{x} + b$. Sustituye estas expresiones en la fórmula de la covarianza $\sigma_{xy} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{N}$).

Se conocen las ecuaciones de las dos rectas de regresión de una distribución bidimensional:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = -1,2x + 10$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = -0,6y + 8$

1. a) Calcula las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) Sabiendo que el coeficiente de correlación $r$ tiene el mismo signo que la pendiente de las rectas de regresión, y que se cumple la relación $r^2 = m_{yx} \cdot m_{xy}$ (donde $m_{yx}$ es la pendiente de la recta de $Y$ sobre $X$, y $m_{xy}$ es la pendiente de la recta de $X$ sobre $Y$), calcula el valor exacto de $r$.

La covarianza entre la variable $X$ (temperatura media diaria en grados Celsius) y la variable $Y$ (ventas de refrescos en bolivianos) en un mes determinado es $\sigma_{xy} = 150$.

Si decidimos cambiar la unidad de medida de la temperatura a grados Fahrenheit usando la fórmula de conversión $F = 1,8C + 32$, responde razonadamente:

1. a) ¿Cuál será el nuevo valor de la covarianza $\sigma_{Fy}$ entre la temperatura en Fahrenheit y las ventas?
2. b) ¿El nuevo coeficiente de correlación lineal cambiará respecto al original? Justifica tu respuesta apelando a la fórmula de $r$.

Un agricultor quiere predecir la producción de su cosecha de tomates ($Y$, en toneladas). Tiene dos variables predictoras posibles: la cantidad de fertilizante usado ($X_1$, en kg) y el número de días de lluvia durante el cultivo ($X_2$).

Tras analizar datos históricos, obtiene los siguientes parámetros:

$\sigma_{x_1} = 10$, $\sigma_{x_2} = 4$, $\sigma_y = 5$.

Covarianza entre $X_1$ e $Y$: $\sigma_{x_1y} = 40$.

Covarianza entre $X_2$ e $Y$: $\sigma_{x_2y} = -18$.

1. a) Calcula el coeficiente de correlación lineal para cada par de variables: $(X_1, Y)$ y $(X_2, Y)$.
2. b) ¿Qué variable proporciona una predicción más fiable de la producción de tomates mediante un modelo lineal? Justifica tu decisión.

En una distribución bidimensional, se sabe que el centro de gravedad es el punto $(4, 7)$, la varianza de la variable $X$ es $\sigma_x^2 = 3$ y la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 1,5x + 1$.

1. a) Comprueba analíticamente si el centro de gravedad pertenece a la recta dada.
2. b) A partir de la pendiente de la recta de regresión, calcula el valor de la covarianza $\sigma_{xy}$.
3. c) Si se sabe además que la varianza de $Y$ es $\sigma_y^2 = 8$, ¿cuál es el valor del coeficiente de correlación lineal $r$?

En un instituto se analiza la relación entre la nota media obtenida en $4.º\text{ de ESO}$ ($X$) y la nota media obtenida en Bachillerato ($Y$) por una muestra representativa de estudiantes. Los parámetros de la distribución son:

$\bar{x} = 6,5$; $\bar{y} = 6,0$; $\sigma_x = 1,5$; $\sigma_y = 1,2$; $\sigma_{xy} = 1,44$.

El equipo docente necesita abordar dos tareas:

1. Predecir la nota de Bachillerato de una alumna que finalizó $4.º\text{ de ESO}$ con un $8,0$.

2. Para un alumno que ha obtenido un $7,5$ en Bachillerato, estimar qué nota media obtuvo previsiblemente en $4.º\text{ de ESO}$.

Para resolver la tarea 2 se proponen dos caminos distintos:

• Método A: Despejar algebraicamente la incógnita $x$ en la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ calculada en la tarea 1, sustituyendo $y = 7,5$.

• Método B: Calcular la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ y evaluar directamente en ella el valor $y = 7,5$.

1. a) Resuelve la tarea 1 calculando la recta de regresión adecuada y ofreciendo la predicción para la alumna.
2. b) Aplica los dos métodos (A y B) para la tarea 2 y compara los dos valores numéricos que arrojan.
3. c) Justifica cuál de los dos métodos es el matemáticamente correcto desde el punto de vista del método de mínimos cuadrados y razona bajo qué única condición ambos métodos darían exactamente el mismo resultado.

Carlos presenta un trabajo sobre el rendimiento de dos tipos de combustible ($X$ e $Y$) y afirma haber obtenido las siguientes dos rectas de regresión:

• Recta de regresión de $Y$ sobre $X$: $y = 2,5x - 3$

• Recta de regresión de $X$ sobre $Y$: $x = 0,8y + 2$

En su exposición final sostiene con seguridad tres afirmaciones:

1. «Como ambas rectas tienen pendientes positivas, los datos muestran una correlación lineal positiva muy fuerte».

2. «El centro de gravedad de la muestra es el punto $(1; -0,5)$».

3. «Si cambiamos las unidades multiplicando ambas variables por $10$, el nuevo coeficiente de correlación quedará multiplicado por $100$».

Demuestra detalladamente que los resultados de Carlos son matemáticamente imposibles analizando los siguientes tres aspectos:

1. a) La relación matemática entre las pendientes de ambas rectas y el coeficiente de correlación lineal $r$, deduciendo por qué esas dos rectas no pueden corresponder a ninguna distribución estadística real.
2. b) La propiedad geométrica que liga de forma obligatoria el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ con ambas rectas de regresión, comprobando si el punto propuesto por Carlos la satisface.
3. c) La propiedad de invarianza del coeficiente de correlación $r$ ante cambios de escala lineales positivos.

Reto del tema. ¿Le quita el celular horas a nuestro descanso nocturno? Para comprobarlo, elaborarás un breve informe estadístico utilizando datos reales de tu entorno con ayuda de una hoja de cálculo o GeoGebra.

1. Toma de datos: Pregunta a 15 familiares o compañeros sus horas diarias de uso de pantalla ($X$) y sus horas de sueño ($Y$) del día anterior (pueden mirarlo en los ajustes del dispositivo).

2. Análisis unidimensional: Con la variable $X$, construye una tabla de frecuencias agrupadas o no agrupadas. Calcula la media ($\bar{x}$), la varianza ($s^2$), la desviación típica ($s$) y los cuartiles ($Q_1$, $Me$, $Q_3$). Genera su diagrama de caja e interpreta la dispersión y posibles valores atípicos.

3. Estudio bidimensional: Representa la nube de puntos para $(X, Y)$. Traza a ojo o con el software la recta de regresión y valora el signo y la fuerza de la correlación existente.

4. Informe final: Resume tus hallazgos en una página, adjuntando los gráficos y proponiendo una recomendación saludable basada en las evidencias obtenidas.

Se valorará:

• Precisión en el cálculo de medidas de posición, dispersión y elaboración del diagrama de caja.

• Corrección al interpretar la relación bidimensional y la correlación entre ambas variables.

• Uso autónomo de GeoGebra o la hoja de cálculo y claridad argumentativa en el informe.