Ejercicios: Funciones definidas a trozos

Dada la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calcula el valor de la función en los puntos $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.

Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos.

Un parqueo céntrico cobra una tarifa de $14$ bolivianos por la primera hora de estadía (o fracción). A partir de la primera hora, cobra a razón de $10,50$ bolivianos por cada hora adicional, facturando el tiempo extra de forma proporcional a los minutos exactos de estadía. Escribe la función definida por tramos $C(x)$ que representa el costo total en función de las horas $x$ que el auto permanece en el parqueo.

Halla el punto de ruptura de la siguiente función y determina si es continua en dicho punto:

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Asocia la siguiente descripción con la estructura de una función definida a trozos: "Se enciende un horno y su temperatura sube de forma constante durante 10 minutos hasta alcanzar los 200ºC. Se mantiene a esa temperatura durante 40 minutos para hornear una pizza y, finalmente, se apaga, descendiendo su temperatura hasta la temperatura ambiente (20ºC) de forma constante en 30 minutos."

Escribe los intervalos de tiempo que definirían los tres tramos de la función temperatura $T(t)$.

Representa gráficamente en tu cuaderno la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

A partir de la gráfica de la función $g(x)$, determina su expresión analítica sabiendo que está formada por dos semirrectas.

Para expresar la función $g(x) = |2x - 6| + 1$ como una función definida a trozos, Alejandro escribe en su examen:

Alejandro argumenta que el cambio de tramo siempre se produce en $x = 0$ porque ahí es donde los números pasan de negativos a positivos.

1. a) Explica razonadamente el error conceptual de Alejandro. ¿Qué expresión es la que realmente debe cambiar de signo para separar los tramos del valor absoluto y en qué valor de $x$ ocurre el cambio?
2. b) Escribe la expresión correcta de $g(x)$ a trozos y comprueba, calculando los límites laterales en el punto de cambio de tramo, que la función no presenta ningún salto (es continua).

Una empresa de paquetería urgente en Bolivia tarifica los envíos nacionales según su peso $x$ (en kilogramos) mediante la función de costo $P(x)$ (en bolivianos):

1. a) Sin realizar cálculos numéricos exactos, observa con atención las dos ramas: la cuota fija pasa de $4$ bolivianos a $8$ bolivianos, pero el costo por kilogramo baja de $1,5$ bolivianos a $0,7$ bolivianos. Estima razonadamente si un cliente que envía un paquete de $5,1\text{ kg}$ pagará mucho más, mucho menos o una cantidad prácticamente idéntica a la de otro que envía un paquete de $4,9\text{ kg}$.
2. b) Comprueba tu estimación calculando los costos exactos $P(4,9)$ y $P(5,1)$. A continuación, calcula los límites laterales $\lim_{x \to 5^-} P(x)$ y $\lim_{x \to 5^+} P(x)$ para determinar si en el umbral de los $5\text{ kg}$ se produce un salto brusco o si la gráfica empalma de forma continua. ¿Es razonable este resultado para el cliente?

Una compañía de telefonía celular ofrece una tarifa de datos que funciona de la siguiente manera: se paga una cuota fija mensual de $105$ bolivianos que incluye los primeros $5$ GB de descarga. Si se supera ese límite, cada gigabyte adicional (o fracción proporcional) se cobra a $14$ bolivianos.

Escribe la función $C(x)$ que representa el costo mensual en función de los gigabytes $x$ consumidos, y calcula cuánto pagará un cliente que ha consumido $3$ GB y otro que ha consumido $8,5$ GB.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Expresa la función $f(x) = |x - 2| + 3x$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto y calcula los valores de $f(0)$ y $f(5)$.

Un tren de cercanías arranca desde una estación y acelera de forma constante hasta alcanzar una velocidad de $20$ m/s en $10$ segundos. Mantiene esa velocidad de crucero durante $30$ segundos y, finalmente, frena de manera uniforme hasta detenerse por completo en la siguiente estación en $5$ segundos. Escribe la función a trozos $v(t)$ que describe la velocidad del tren en función del tiempo transcurrido desde el arranque.

A partir de la gráfica de la función $h(x)$, que está compuesta por un arco de parábola y una semirrecta, halla su expresión analítica.

El recibo de la luz de una vivienda tiene un término fijo de $70$ bolivianos mensuales. Además, los primeros $100$ kWh consumidos se facturan a $0,84$ bolivianos/kWh. Si se superan los $100$ kWh, el exceso de consumo se cobra a $1,05$ bolivianos/kWh. Escribe la función $F(x)$ que da el importe total del recibo en función de los kWh $x$ consumidos.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Represéntala gráficamente y determina sus máximos y mínimos relativos, si los tiene.

En un país ficticio, el impuesto sobre la renta se calcula de la siguiente manera: por los primeros $70\,000$ bolivianos de ingresos no se pagan impuestos ($0$%). Por la cantidad que exceda de $70\,000$ bolivianos y hasta $140\,000$ bolivianos, se paga un $10$%. Por la cantidad que exceda de $140\,000$ bolivianos, se paga un $20$%.

Escribe la función definida a trozos $I(x)$ que calcula el impuesto a pagar en función de los ingresos $x$.

En una localidad boliviana, la factura bimestral del agua para uso doméstico se divide en tres tramos de consumo para incentivar el ahorro de agua:

• Tramo 1 (consumo básico): hasta $15\text{ m}^3$, se cobra una cuota fija de servicio de $6$ bolivianos más $0,50$ bolivianos por cada metro cúbico consumido.

• Tramo 2 (consumo medio): entre $15\text{ m}^3$ y $30\text{ m}^3$, los primeros $15\text{ m}^3$ se pagan según el tramo 1 y el volumen restante que exceda de $15\text{ m}^3$ se factura a $1,20$ bolivianos por cada metro cúbico adicional.

• Tramo 3 (consumo elevado): para consumos superiores a $30\text{ m}^3$, los primeros $30\text{ m}^3$ se pagan según los tramos anteriores y cada metro cúbico adicional por encima de $30\text{ m}^3$ cuesta $2,50$ bolivianos.

1. a) Modela la factura escribiendo la función $C(x)$ (costo en bolivianos) en función del volumen $x$ de agua consumido (en $\text{m}^3$), detallando la expresión algebraica simplificada para cada uno de los tres tramos: $[0, 15]$, $(15, 30]$ y $(30, +\infty)$.
2. b) Comprueba analíticamente mediante los límites laterales correspondientes si la función $C(x)$ es continua en los puntos de cambio de tramo ($x = 15$ y $x = 30$).
3. c) ¿Qué problema de equidad se produciría para los usuarios si la empresa cobrara directamente todo el volumen a $1,20$ bolivianos/$\text{m}^3$ en cuanto el consumo superara los $15\text{ m}^3$?

Se desea diseñar el perfil vertical de una rampa para skate (monopatín) formada por dos tramos que empalman en la coordenada horizontal $x = 2$:

La rampa debe cumplir rigurosamente las siguientes condiciones de diseño:

1. Para $x < 2$, el tramo $f_1(x)$ es una función lineal (recta) cuya gráfica pasa por el punto $(-1, 0)$.

2. Para $x \ge 2$, el tramo $f_2(x)$ es una función cuadrática (parábola) cuyo vértice se sitúa en el punto $(4, 1)$.

3. La pista no puede tener escalones: la función debe ser continua en $x = 2$, siendo la altura en dicho punto de unión exactamente $f(2) = 5$.

1. a) Halla la expresión algebraica de la parábola $f_2(x)$ a partir de la forma de su vértice, $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, y del punto de unión $(2, 5)$.
2. b) Halla la expresión algebraica de la recta $f_1(x)$ determinando su pendiente a partir de los puntos por los que debe pasar.
3. c) Escribe la función $f(x)$ completa con sus dominios y comprueba formalmente, calculando $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$, que no existe discontinuidad en $x = 2$.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$ y pase por el punto $(4, 9)$.

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Una vez hallados $a$ y $b$, comprueba matemáticamente si la función resulta ser continua también en $x=3$.

Expresa la función $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como una función definida a trozos, eliminando los valores absolutos, y simplifica la expresión de cada uno de los tramos resultantes.

Una sala de teatro ofrece un precio de entrada de $70$ bolivianos si asisten hasta un máximo de $50$ personas. Para fomentar la asistencia de grupos grandes, por cada persona que exceda de $50$, el precio de la entrada para todos los asistentes se reduce en $0,70$ bolivianos.

Escribe la función de ingresos totales del teatro $I(x)$ en función del número de asistentes $x$ (como función a trozos) y determina cuántas personas deben asistir para que el teatro obtenga el máximo ingreso posible.

Observa la siguiente gráfica de la función $p(x)$ y determina su expresión analítica completa. A partir de ella, indica su dominio, su recorrido y clasifica las discontinuidades que presenta.

Un cohete de prueba despega verticalmente. Durante los primeros $10$ segundos, su altura en metros se modela mediante la función lineal $h(t) = 5t$. A los $10$ segundos se apaga el motor y el cohete sigue una trayectoria parabólica de caída libre $h(t) = at^2 + bt + c$, de forma que la transición es continua. Sabiendo que el cohete alcanza su altura máxima a los $25$ segundos e impacta contra el suelo a los $50$ segundos, encuentra la expresión de la parábola y determina la altura máxima alcanzada por el cohete.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$

Calcula el valor del parámetro $k$ para que el área total de la figura geométrica encerrada entre la gráfica de la función y el eje de abscisas (eje $X$) sea exactamente de $24$ unidades cuadradas.

Un depósito de agua de $6000$ litros de capacidad está inicialmente vacío. Se enciende una bomba que introduce agua a un ritmo constante de $50$ litros por minuto. Pasados $60$ minutos, se enciende una segunda bomba auxiliar que añade un caudal adicional de $30$ litros por minuto. Escribe la función a trozos $V(t)$ que representa el volumen de agua en el depósito en función del tiempo, y calcula cuánto tiempo en total se tardará en llenar el depósito por completo.

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ y la recta $y = x + 2$.

Para resolver la ecuación $|x - 1| + |x - 3| = 4$, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Método A (Analítico mediante función a trozos): Definir $f(x) = |x - 1| + |x - 3|$ a trozos. Para ello, se estudia el signo de $x - 1$ y de $x - 3$ dividiendo la recta real en tres intervalos ($x < 1$, $1 \le x \le 3$ y $x > 3$), se eliminan las barras según corresponda y se resuelve una ecuación de primer grado en cada tramo, comprobando si cada solución hallada pertenece a su intervalo.

• Método B (Geométrico por distancias): Interpretar $|x - a|$ como la distancia en la recta real entre el valor $x$ y el punto fijo $a$. De este modo, $|x - 1| + |x - 3|$ representa la suma de las distancias desde un punto $x$ hasta el $1$ y hasta el $3$.

1. a) Aplica el Método A: escribe $f(x)$ desglosada en tres tramos simplificados y resuelve la ecuación comprobando la validez de las soluciones en cada intervalo.
2. b) Aplica el Método B: razona sobre la recta numérica cuál es la distancia mínima posible entre $x$ y los puntos $1$ y $3$ (y en qué intervalo de $x$ se alcanza). A partir de ese análisis geométrico, deduce las soluciones de $|x - 1| + |x - 3| = 4$ sin recurrir al álgebra de tramos.
3. c) Compara ambos métodos y justifica cuál de los dos elegirías si la ecuación fuera $|2x - 1| + 3|x - 3| = 8$, y cuál elegirías si te pidieran justificar rápidamente por qué la ecuación $|x - 1| + |x - 3| = 1,5$ no tiene ninguna solución real.

El parlamento de un departamento aprueba una reforma del tramo departamental del impuesto a la renta para rentas del trabajo $x$ (expresadas en miles de bolivianos anuales). El impuesto total $T(x)$ (también en miles de bolivianos) se modeliza mediante una función a trozos:

Para garantizar la progresividad y evitar el «salto impositivo» (que un contribuyente termine con menos dinero neto al ganar un poco más de sueldo bruto), la ley impone dos requisitos:

1. La función $T(x)$ debe ser continua en todo su dominio, en particular en $x = 20$.

2. A partir de $20$ mil bolivianos, el tipo marginal es del $28\,\%$ (es decir, por cada mil bolivianos adicionales sobre los $20$, el impuesto aumenta en $0,28$ mil bolivianos, lo que determina el valor de la pendiente $a$).

1. a) Determina razonadamente los valores de $a$ y de $b$ para que se cumplan las dos condiciones legales.
2. b) Define a trozos la función del sueldo neto restante, $S(x) = x - T(x)$, y calcula el sueldo neto de una persona que gana $20\,000$ bolivianos anuales ($x = 20$) y el de otra que gana $20\,500$ bolivianos anuales ($x = 20,5$). Comprueba si quien tiene mayor salario bruto conserva efectivamente mayor salario neto.
3. c) Un diputado propuso una fórmula alternativa sin parámetro corrector: $T_{\text{alt}}(x) = 0,18x$ si $0 \le x \le 20$, y $T_{\text{alt}}(x) = 0,28x$ si $x > 20$ (aplicar el $28\,\%$ íntegro a todo el sueldo en cuanto se superen los $20$ mil bolivianos). Calcula el salto $\lim_{x \to 20^+} T_{\text{alt}}(x) - \lim_{x \to 20^-} T_{\text{alt}}(x)$ y explica qué situación económicamente absurda sufriría un trabajador que recibiera un aumento de sueldo de $20\,000$ bolivianos a $20\,100$ bolivianos.