Ejercicios: Funciones radicales

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x - 8}$.

Dada la función $f(x) = \sqrt{2x - 1}$, calcula el valor de sus imágenes para $x = 5$ y $x = 13$.

Halla el dominio de la función $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.

Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.

Observa las tres funciones representadas en la siguiente gráfica. Identifica cuál de ellas corresponde a la expresión $f(x) = \sqrt{x - 2}$ y justifica tu respuesta indicando su dominio.

Calcula el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ toma el valor $4$.

Determina el dominio de la función $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.

El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer desde una altura $h$ (en metros) se puede aproximar mediante la función $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo una pelota que se deja caer desde un puente de $45$ metros de altura?

Lucía intenta calcular el punto de corte con el eje de ordenadas ($Y$) de la función $f(x) = \sqrt{x - 4} + 1$. Para ello, escribe en su cuaderno: «Como el corte con el eje $Y$ ocurre cuando $x = 0$, calculo $f(0) = \sqrt{0 - 4} + 1 = \sqrt{-4} + 1 = -2 + 1 = -1$, luego la curva corta en el punto $(0, -1)$». Identifica los dos errores conceptuales cometidos por Lucía, explica por qué su procedimiento contradice la definición de dominio de una función radical en los números reales y determina justificadamente si la gráfica de $f$ corta o no al eje $Y$.

Una función radical elemental tiene la expresión $f(x) = \sqrt{x - h} + v$. Se sabe que su representación gráfica nace exactamente en el punto $(-3, 2)$ del plano cartesiano y que, además, pasa por el punto $(1, 4)$. Determina de forma razonada los valores numéricos de los parámetros $h$ y $v$. A partir de ellos, deduce el dominio y el recorrido de la función apoyándote en el significado de las traslaciones horizontal y vertical respecto a la función básica $y = \sqrt{x}$.

El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple viene dado por la función $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en metros. Si queremos construir un péndulo que tenga un periodo de exactamente $2$ segundos, ¿qué longitud debe tener el hilo? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$.

Dada la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ que resulta al desplazar la gráfica de $f(x)$ tres unidades hacia la derecha y dos unidades hacia arriba.

La velocidad $v$ (en km/h) a la que se propaga un tsunami en el océano depende de la profundidad $d$ (en metros) del agua, según la función $v(d) = 11,2 \sqrt{d}$. Si se ha detectado que un tsunami avanza a una velocidad de $336$ km/h, ¿a qué profundidad se encuentra el océano en ese punto?

Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$.

El radio $r$ de un círculo en función de su área $A$ viene dado por $r(A) = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Calcula la tasa de variación media del radio cuando el área pasa de $100\pi$ a $400\pi$ unidades cuadradas.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \sqrt{ax + b}$ tenga como dominio el intervalo $[-2, +\infty)$ y pase por el punto $(2, 4)$.

Observa las gráficas de las funciones $f(x) = \sqrt{x + 1}$ y $g(x) = \sqrt{-x + 1}$. Determina el dominio de cada una de ellas y calcula el punto exacto donde se intersecan.

Desde el faro de Cabo Vilán (Galicia), la distancia máxima teórica $D$ (en kilómetros) a la que se divisa la línea del horizonte sobre el mar depende de la altura $h$ (en metros) a la que se sitúan los ojos del observador, según el modelo $D(h) = 3,57 \cdot \sqrt{h}$.

1. a) Antes de calcular el valor exacto, estima razonadamente entre qué dos números enteros consecutivos de kilómetros estará la distancia de visión para un visitante situado a $h = 40\text{ m}$ de altura sobre el nivel del mar, justificando tu aproximación a partir de los cuadrados perfectos más próximos a $40$.
2. b) Calcula ahora el valor numérico de $D(40)$ redondeando a dos cifras decimales y comprueba si tu estimación inicial era acertada.
3. c) Si un marinero afirma que para ver el doble de lejos ($2 \cdot D$) basta con situarse al doble de altura ($2 \cdot h$), justifica matemáticamente si su afirmación es verdadera o falsa analizando cómo se comporta la raíz cuadrada ante una duplicación de la variable.

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) registra la velocidad del viento $v$ (en $\text{m/s}$) en las proximidades de un parque eólico en Aragón en función de la altura $z$ (en metros) sobre el terreno mediante la expresión $v(z) = 3 + 2\sqrt{z - 4}$, aplicable a partir de la cota mínima de los anemómetros.

1. a) Interpreta el significado matemático y físico del radicando y deduce el dominio de definición de la función en este contexto real. ¿Por qué carece de sentido evaluar $v(2)$?
2. b) Plantea la ecuación correspondiente para averiguar a qué altura la velocidad del viento alcanza los $11\text{ m/s}$, resuélvela paso a paso y comprueba explícitamente si la solución obtenida pertenece al dominio de la función.
3. c) Sin resolver ninguna ecuación algebraica larga, deduce razonadamente a partir del recorrido (imagen) de la función si es posible que en algún punto por encima de la cota mínima el viento esté en calma total ($v = 0\text{ m/s}$).

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 8}$.

Halla los puntos de intersección entre la recta $y = x - 2$ y la función radical $y = \sqrt{x + 4}$. Comprueba que la solución obtenida pertenece al dominio de ambas funciones y satisface la ecuación original.

La distancia $d$ (en km) a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ (en metros) sobre el nivel del mar se puede aproximar mediante la función $d(h) = 3,57 \sqrt{h}$. Si te encuentras en la parte superior de un faro a $10$ metros de altura, ¿cuántos metros adicionales tendrías que subir para que la distancia al horizonte visible se duplique?

Determina el dominio y el recorrido de la función $f(x) = -2 + \sqrt{3x - 6}$. Justifica tu respuesta analizando las características de la función radical.

El costo de producción $C$ (en bolivianos) de una fábrica de componentes electrónicos depende del número de unidades producidas $x$ según la función $C(x) = 1\,400 + 70\sqrt{x - 100}$. Determina el dominio de la función en este contexto. Si el costo de un lote ha sido de $2\,450$ bolivianos, ¿cuántas unidades se produjeron?

La relación entre el volumen $V$ de un cubo y su arista $a$ es $V = a^3$. Sin embargo, si consideramos el área de una de sus caras $A = a^2$, expresa la arista $a$ en función del área $A$. Luego, expresa el volumen $V$ en función del área $A$ usando una función radical y calcula el volumen si el área de una cara es $25 \text{ cm}^2$.

Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, determina los valores de $x$ para los cuales la función está definida. A continuación, calcula los puntos exactos donde la función toma el valor $\sqrt{5}$.

Observa la siguiente función definida a trozos y su representación gráfica:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} & \text{si } x \le 0 \\ \sqrt{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Estudia su dominio, razona si es una función continua en $x=0$ y demuestra algebraicamente si posee algún tipo de simetría (par o impar).

Para hallar los puntos de corte entre la función radical $f(x) = \sqrt{2x + 10}$ y la recta $g(x) = x - 1$, se debe resolver la ecuación $\sqrt{2x + 10} = x - 1$. Dos estudiantes proponen estrategias distintas antes de operar:

• Método de Marcos: Aislar la raíz, elevar ambos miembros al cuadrado, resolver la ecuación de segundo grado resultante y, al final, sustituir cada solución en la igualdad de partida para descartar posibles soluciones falsas.

• Método de Sara: Antes de elevar al cuadrado, analizar el dominio del radicando ($2x + 10 \ge 0$) y la condición de signo del segundo miembro ($x - 1 \ge 0$), deduciendo que cualquier solución válida debe pertenecer forzosamente al intervalo $[1, +\infty)$.

1. a) Aplica el método de Marcos resolviendo la ecuación paso a paso. Muestra qué solución falsa surge y explica algebraicamente por qué aparece al elevar al cuadrado.
2. b) Explica por qué el método de Sara permite descartar de inmediato la solución falsa sin necesidad de sustituirla en la ecuación original.
3. c) Justifica qué peligro tiene elevar directamente al cuadrado si la ecuación inicial se presentase no aislada como $\sqrt{2x + 10} - x = -1$ y se aplicase el cuadrado a cada término por separado.

Diseña razonadamente la expresión analítica de una función radical de la forma $f(x) = a\sqrt{x - h} + v$ que cumpla simultáneamente estas cuatro condiciones:

1. Su dominio de definición es el intervalo $[4, +\infty)$.

2. Su gráfica corta al eje de abscisas ($X$) en el punto $(13, 0)$.

3. La función es estrictamente decreciente en todo su dominio.

4. El valor máximo que alcanza la función es $6$ (es decir, su recorrido es $(-\infty, 6]$).

Responde de manera justificada a las siguientes cuestiones:

1. a) Deduce paso a paso el valor de cada uno de los parámetros $h$, $v$ y $a$, explicando qué condición te permite fijar cada uno.
2. b) Determina analíticamente si la gráfica de tu función corta o no al eje de ordenadas ($Y$).
3. c) Si cambiamos únicamente el signo del coeficiente $a$ obtenido (dejando $h$ y $v$ intactos), ¿cuál sería el nuevo recorrido de la función y qué ocurriría con el punto de corte con el eje $X$? Justifica tu respuesta sin limitarte a dar solo el resultado.