Ejercicios: Función logarítmica

Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición, sin utilizar la calculadora:

a) $\log_2 32$

b) $\log_3 \frac{1}{9}$

c) $\log 10000$

Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades utilizando la definición de logaritmo:

a) $\log_x 25 = 2$

b) $\log_5 x = 3$

c) $\log_2 64 = x$

Determina el dominio de definición de las siguientes funciones logarítmicas:

a) $f(x) = \log(x - 5)$

b) $g(x) = \ln(2x + 8)$

Indica, razonando tu respuesta y sin necesidad de dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes:

a) $f(x) = \log_3 x$

b) $g(x) = \log_{0,5} x$

c) $h(x) = \ln x$

Utiliza la calculadora y la fórmula del cambio de base para hallar el valor de $\log_4 15$. Redondea el resultado a tres cifras decimales.

Observa las gráficas de las funciones logarítmicas representadas en la imagen superior. Asocia, justificando tu respuesta, la Función A y la Función B con sus respectivas expresiones analíticas:

1) $y = \log_2 x$

2) $y = \log_{1/2} x$

Sabiendo que, aproximadamente, $\log 2 = 0,301$, calcula el valor de $\log 8$ utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos.

Sofía está estudiando la función $f(x) = \log_3(x - 2)$ para un examen de 4.º de secundaria y anota en su ficha de repaso las siguientes tres conclusiones:

1. «Como no existe el logaritmo de números negativos ni del cero, el dominio es $[2, +\infty)$, incluyendo el $2$ porque ahí empieza la curva».

2. «Como la base es $a = 3$, que es un número mayor que $1$, la función es decreciente y tiene una asíntota horizontal en el eje $X$».

3. «La gráfica corta al eje de ordenadas (eje $Y$) en el punto $(0, -2)$».

Identifica detalladamente el error conceptual que comete Sofía en cada una de sus tres afirmaciones y redacta la justificación matemática correcta. Por último, determina de forma justificada el dominio real de $f(x)$, la ecuación de su asíntota vertical y las coordenadas exactas de su punto de corte con el eje $X$.

Considera la función logarítmica básica $f(x) = \log_2 x$.

1. a) Sin usar la calculadora, estima entre qué dos números enteros consecutivos se encuentra el valor de $f(20)$. Justifica tu deducción apoyándote en las potencias de base $2$ más próximas a $20$ y en el hecho de que la función sea estrictamente creciente.
2. b) Sabiendo que $2^{4{,}32} \approx 19{,}97$ y que $2^{4{,}33} \approx 20{,}11$, comprueba tu estimación anterior y acota el valor de $f(20)$ con dos cifras decimales.
3. c) Observa que el número $20$ está numéricamente más cerca de $16$ que de $32$ ($20 - 16 = 4$, mientras que $32 - 20 = 12$). Explica, a partir del crecimiento y la forma cóncava de la gráfica del logaritmo, por qué el valor de $f(20)$ está tan próximo a $f(16) = 4$ en comparación con la distancia que lo separa de $f(32) = 5$.

Desarrolla la siguiente expresión aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, cociente y potencia), de forma que queden logaritmos de variables simples:

$\log \left( \frac{x^3 \cdot y^2}{\sqrt{z}} \right)$

Agrupa la siguiente expresión en un solo logaritmo utilizando las propiedades de los logaritmos:

$2 \log a + \log b - 3 \log c$

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas sencillas:

a) $\log(3x - 1) = \log(x + 7)$

b) $\log_2(x - 4) = 3$

Dada la función $f(x) = \log_3(12 - 3x)$:

a) Determina su dominio analíticamente.

b) Indica cuál es la ecuación de su asíntota vertical.

c) ¿Hacia qué dirección (izquierda o derecha) se abre la gráfica de esta función respecto a su asíntota?

Un capital se invierte en un fondo bancario que ofrece un interés compuesto anual. La fórmula que rige el capital acumulado $C$ a lo largo de los años $t$ es $C = C_0 \cdot 1,04^t$, donde $C_0$ es el capital inicial. Si se invierten $14\,000$ bolivianos, determina cuántos años completos deben transcurrir para que el capital supere los $21\,000$ bolivianos. Usa logaritmos para despejar la incógnita.

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada arriba, que corresponde a un logaritmo desplazado de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$:

a) Indica el valor de $b$ observando la asíntota vertical.

b) Utiliza el punto $B(1, 2)$ para calcular la base $a$ del logaritmo.

c) Escribe la expresión analítica completa de la función.

La intensidad del sonido se mide en decibelios (dB) mediante una función logarítmica. La fórmula es $d = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, donde $d$ son los decibelios, $I$ es la intensidad del sonido e $I_0$ es la intensidad umbral de audición (una constante). Despeja la intensidad $I$ en función de los decibelios $d$ e $I_0$.

Sabiendo que $\log 2 = 0,301$ y $\log 3 = 0,477$, calcula el valor de $\log 12$ y de $\log 5$ utilizando las propiedades de los logaritmos, sin usar directamente la tecla log de la calculadora para esos números. (Pista: recuerda que $5 = \frac{10}{2}$).

Una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ tiene su asíntota vertical en la recta $x = -5$ y su gráfica pasa por el punto $(11, 4)$.

1. a) Determina razonadamente el valor del desplazamiento horizontal $b$ y el valor de la base $a$. A partir de ellos, especifica el dominio de $f(x)$ y razona si la función es creciente o decreciente en todo su dominio.
2. b) Recuerda que la función exponencial y la logarítmica son funciones inversas cuyas gráficas son simétricas respecto a la recta $y = x$. Deduce la expresión algebraica de la función inversa $f^{-1}(x)$, indica su dominio y su recorrido, y halla las coordenadas del punto de corte de $f^{-1}(x)$ con el eje $Y$ a partir del punto de corte de $f(x)$ con el eje $X$.

La normativa boliviana sobre contaminación acústica evalúa el nivel de presión sonora en decibelios ($\text{dB}$) mediante la función:

donde $I$ es la intensidad física de la onda acústica en vatios por metro cuadrado ($\text{W/m}^2$) e $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ es el umbral auditivo humano de referencia.

1. a) En una céntrica avenida de Cochabamba, el tráfico denso registraba una intensidad de $I_1 = 10^{-4}\text{ W/m}^2$. Tras aplicar medidas de moderación del tráfico a $30\text{ km/h}$ y una ciclovía, la intensidad bajó a $I_2 = 10^{-6}\text{ W/m}^2$. Calcula el nivel de ruido en decibelios antes y después de la intervención.
2. b) Un dirigente vecinal declara: «Como la intensidad de la onda física se ha reducido a la centésima parte ($100$ veces menos), el nivel de decibelios debería haberse dividido también entre $100$, pasando de $80\text{ dB}$ a menos de $1\text{ dB}$». Aplicando las propiedades del logaritmo de un cociente o de una potencia, refuta con rigor matemático la afirmación del vecino y demuestra cuántos decibelios disminuye exactamente el nivel de ruido cada vez que la intensidad física $I$ se divide entre $10$.

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica comprobando la validez de las soluciones obtenidas:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$

La escala de Richter para medir la magnitud de los terremotos es logarítmica y se define como $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud de la onda sísmica y $A_0$ es una amplitud de referencia.

Un terremoto en la ciudad Alfa tuvo una magnitud de $6$ en la escala de Richter, y otro en la ciudad Beta tuvo una magnitud de $8$. ¿Cuántas veces mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto de Beta en comparación con el de Alfa? Demuestra tu razonamiento matemáticamente.

Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Expresa el resultado en forma de intervalos.

La prueba del Carbono-14 se utiliza para datar restos orgánicos antiguos. La proporción de C-14 disminuye exponencialmente con el tiempo según la función $P(t) = 100 \cdot 0,5^{\frac{t}{5730}}$, donde $P$ es el porcentaje de C-14 restante respecto al original y $t$ es el tiempo transcurrido en años.

Si se descubre un fósil que conserva únicamente el $15\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuál es la antigüedad estimada del fósil? Expresa el resultado en años y redondea a la unidad.

La imagen muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = e^x$ y su función inversa $g(x)$.

a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$.

b) Explica el significado geométrico de la recta punteada naranja $y = x$ en relación con ambas curvas.

c) Determina el dominio y el recorrido de ambas funciones, justificando cómo se intercambian entre una función y su inversa.

Se sabe que una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ pasa por el origen de coordenadas $(0, 0)$ y por el punto $(6, 1)$.

Plantea un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de los parámetros $a$ y $b$. Una vez hallados, escribe la expresión analítica final de la función e indica cuál es su asíntota vertical.

En informática, el tiempo de ejecución $T$ de un determinado algoritmo de ordenación depende de la cantidad de datos $n$ a procesar, y sigue una función del tipo $T(n) = k \cdot n \cdot \log_2 n$, donde $k$ es una constante propia de la computadora.

Si al procesar $n = 8$ datos la computadora tarda $T = 24$ milisegundos:

a) Calcula el valor de la constante $k$.

b) ¿Cuánto tiempo tardará la misma computadora en procesar $n = 32$ datos?

Se quiere averiguar si los gráficos de las funciones $f(x) = \log_2 x$ y su función inversa $g(x) = 2^x$ tienen algún punto de intersección en el plano cartesiano. Dos estudiantes proponen estrategias opuestas:

• Método algebraico (propuesto por Hugo): Igualar ambas expresiones planteando la ecuación $\log_2 x = 2^x$, aplicar la definición de logaritmo para escribir $x = 2^{(2^x)}$ e intentar despejar algebraicamente el valor de $x$ mediante operaciones básicas de potencias y raíces.

• Método geométrico y de propiedades de la inversa (propuesto por Irene): Recordar que los gráficos de dos funciones inversas son simétricos respecto a la recta $y = x$. Irene afirma que si una función creciente corta a su inversa, necesariamente sus puntos comunes deben situarse sobre la recta de simetría $y = x$. Por tanto, en lugar de resolver $\log_2 x = 2^x$, basta analizar la posición relativa de $g(x) = 2^x$ respecto a la recta $y = x$ comparando los valores de $2^x$ y $x$ para $x > 0$.

1. a) Evalúa ambos métodos: explica por qué el intento puramente algebraico de Hugo es un callejón sin salida en el nivel de 4° de secundaria y describe por qué la estrategia de Irene es conceptualmente adecuada.
2. b) Aplica el razonamiento de Irene: calcula los valores de $g(x) = 2^x$ y de la recta $y = x$ para los puntos de prueba $x = 0$, $x = 1$ y $x = 2$. A partir de ellos y del crecimiento exponencial, justifica formalmente si $f(x)$ y $g(x)$ llegan a cortarse alguna vez en el plano.

El Instituto Geográfico Militar (IGM) calibra la respuesta de un sensor sísmico mediante una función logarítmica con traslación del tipo $f(x) = \log_a(x + b)$. Se conocen las siguientes condiciones técnicas sobre su comportamiento:

1. El sensor no puede registrar magnitudes cuando $x \le -3$, siendo la recta $x = -3$ una asíntota vertical de la curva.

2. La función es estrictamente decreciente en todo su dominio.

3. La gráfica de su función inversa, $f^{-1}(x)$, contiene al punto $(-1, 1)$.

1. a) Determina razonadamente los parámetros $b$ y $a$. Justifica por qué la base $a$ debe ser un número estrictamente comprendido entre $0$ y $1$ y formula explícitamente las funciones $f(x)$ y $f^{-1}(x)$.
2. b) Describe el comportamiento asintótico de $f(x)$: apoyándote en la relación entre logaritmos y potencias con base comprendida en $(0, 1)$, deduce razonadamente hacia qué valor tiende $f(x)$ cuando la variable $x$ se aproxima a $-3$ por la derecha ($x \to -3^+$).
3. c) Halla las coordenadas exactas de los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de abscisas ($X$) y con el eje de ordenadas ($Y$).