Ejercicios: Funciones de proporcionalidad inversa: k/x

Identifica en la siguiente tabla si las magnitudes $x$ e $y$ son inversamente proporcionales y, en caso afirmativo, halla la constante de proporcionalidad $k$ y escribe la función que las relaciona.

• $x$: 1, 2, 3, 4, 6

• $y$: 24, 12, 8, 6, 4

Dada la función de proporcionalidad inversa $y = \frac{18}{x}$, calcula el valor de $y$ para $x = 3$, $x = -9$ y $x = 0,5$.

Determina el dominio, el recorrido y las ecuaciones de las asíntotas de la función $y = \frac{-8}{x}$.

Asocia cada una de las siguientes funciones con la descripción de los cuadrantes en los que se sitúan sus ramas al representarlas gráficamente:

1. a) $y = \frac{5}{x}$
2. b) $y = \frac{-2}{x}$
3. c) $y = \frac{0,1}{x}$

Descripciones:

1. Ramas situadas en el primer y tercer cuadrante.

2. Ramas situadas en el segundo y cuarto cuadrante.

Un premio de lotería de $2\,100$ bolivianos se va a repartir a partes iguales entre un grupo de $x$ amigos. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el dinero que recibe cada uno con el número de amigos y calcula cuánto reciben si son $6$ personas.

Para recorrer una distancia fija de $120$ km, el tiempo $t$ empleado (en horas) y la velocidad media $v$ (en km/h) son magnitudes inversamente proporcionales. Escribe la función $v(t)$ y calcula a qué velocidad constante debe ir un auto si quiere tardar exactamente $2,5$ horas en realizar el trayecto.

Indica cuáles son las ecuaciones de las asíntotas vertical y horizontal de la hipérbola cuya expresión algebraica es $y = \frac{5}{x-4} + 3$.

Halla el dominio de definición de la función racional $y = \frac{7}{x+5}$.

Lucía está estudiando la monotonía de la función $f(x) = \frac{8}{x}$. Sabe que la constante es $k = 8 > 0$ y su profesor ha explicado en clase que las funciones con $k > 0$ son decrecientes. Para comprobarlo empíricamente, toma dos valores de la variable: $x_1 = -2$ y $x_2 = 4$. Al calcular sus imágenes, obtiene $f(-2) = -4$ y $f(4) = 2$. Sorprendida, observa que $-2 < 4$ y, sin embargo, $f(-2) < f(4)$, por lo que concluye que «la teoría falla, porque al avanzar hacia la derecha la función ha subido». Identifica y explica con precisión el error conceptual de Lucía, aclara por qué su ejemplo no contradice la teoría y redacta cómo debe enunciarse de forma matemáticamente rigurosa el decrecimiento de $f(x)$.

Halla la expresión algebraica de una función de proporcionalidad inversa trasladada, de la forma $g(x) = \frac{k}{x-h} + v$, sabiendo que cumple simultáneamente estas dos condiciones: su centro de simetría es el punto $(-2, 3)$ y su gráfica pasa por el punto $(1, 2)$. A partir de la función obtenida:

1. a) Determina el valor numérico de las constantes $k$, $h$ y $v$.
2. b) Escribe las ecuaciones de sus asíntotas vertical y horizontal, e indica su dominio y su recorrido justificando qué valor queda excluido en cada caso.
3. c) Razona, a partir del signo de la constante $k$, si las ramas de la gráfica son crecientes o decrecientes en cada intervalo de su dominio.

Observa la siguiente gráfica de una función de proporcionalidad inversa y determina su constante $k$ y su expresión algebraica $y = \frac{k}{x}$.

Para llenar una piscina, $4$ piletas de igual caudal tardan $9$ horas. Escribe la función que relaciona el tiempo de llenado $t$ (en horas) con el número de piletas abiertas $n$. ¿Cuánto tiempo tardarían $6$ piletas en llenar la misma piscina?

Según la ley de Boyle-Mariotte, a temperatura constante, la presión $P$ de un gas y su volumen $V$ son magnitudes inversamente proporcionales ($P \cdot V = k$). Si un gas determinado ocupa un volumen de $20$ litros a una presión de $1,5$ atmósferas, escribe la función $V(P)$ y calcula qué volumen ocupará a $3$ atmósferas.

La gráfica de la función $y = \frac{8}{x}$ se traslada en el plano cartesiano $4$ unidades hacia la izquierda y $3$ unidades hacia abajo. Escribe la expresión algebraica de la nueva función, determina su dominio y halla las coordenadas del punto donde se cortan sus asíntotas.

Halla analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función racional $y = \frac{10}{x-2} + 5$.

Un grupo de personas alquila una cancha de pádel por $168$ bolivianos. Escribe la función $C(x)$ que expresa el costo por persona en función del número de jugadores $x$. Si el costo final ha sido de $42$ bolivianos por persona, ¿cuántos jugadores alquilaron la cancha? ¿Cuál es el dominio lógico de esta función teniendo en cuenta el contexto del problema?

Escribe la ecuación de una hipérbola de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ sabiendo que sus asíntotas son las rectas $x = -2$ e $y = 4$, y que su gráfica pasa por el punto $(0, 5)$.

La resistencia eléctrica $R$ (en ohmios, $\Omega$) de un hilo conductor de longitud constante es inversamente proporcional al área de su sección transversal $S$ (en mm$^2$). Si para una sección de $2 \text{ mm}^2$ la resistencia es de $0,02\ \Omega$, expresa $R$ en función de $S$. ¿Cuál debe ser la sección mínima del hilo para que la resistencia sea menor o igual a $0,01\ \Omega$?

Un grupo de 20 estudiantes de 4° de secundaria de Santa Cruz organiza un viaje de fin de curso y contrata un bus por un precio cerrado de $1\,200\text{ \text{Bs}\ }$, a repartir a partes iguales entre quienes viajen. Antes de formalizar la reserva, la dirección del colegio permite abrir la inscripción a más alumnos.

1. a) Antes de realizar ningún cálculo exacto: si el número de asistentes aumenta de 20 a 30 alumnos (un aumento del $50\text{ \%}$), ¿el costo individual se reducirá a la mitad, a más de la mitad o a menos de la mitad del precio original? Realiza una estimación cualitativa y razona tu respuesta basándote en la relación entre las magnitudes.
2. b) Modela la función $P(x) = \frac{k}{x}$ que expresa el precio por estudiante en función del número total de asistentes $x$. Calcula el importe individual para $x = 20$ y para $x = 30$, calcula el porcentaje de rebaja real que experimenta cada pasaje y comprueba si tu estimación inicial era acertada.
3. c) Si el bus tiene una capacidad máxima de 55 asientos, ¿cuál es el precio mínimo posible por persona? ¿Podría llegar a ser de $0\text{ \text{Bs}\ }$ si viajaran infinitos alumnos? Interpreta este límite mediante la asíntota horizontal de la función.

En un tramo de obras de $30\text{ km}$ en una autovía de Castilla y León, la DGT establece restricciones temporales. El tiempo $t$ (en horas) necesario para recorrer dicho tramo depende de la velocidad media $v$ (en $\text{km/h}$) a la que circula un vehículo según la relación $t(v) = \frac{30}{v}$.

1. a) Justifica por qué $t$ y $v$ son magnitudes inversamente proporcionales e indica las unidades y el significado físico de la constante $k = 30$.
2. b) Analiza las asíntotas de la función en el contexto de este trayecto: ¿qué significado físico tendría aproximarse a la asíntota vertical $v = 0$? ¿Y a la asíntota horizontal $t = 0$? Razona si es físicamente posible alcanzar alguna de las dos.
3. c) Un conductor argumenta: «Si bajo mi velocidad de $120\text{ km/h}$ a $60\text{ km/h}$, el tiempo que pierdo es exactamente el mismo que si bajo de $60\text{ km/h}$ a $30\text{ km/h}$, porque en ambos casos he reducido la velocidad a la mitad». Demuestra cuantitativamente si su afirmación es verdadera o falsa calculando los minutos de retraso en cada caso, y explica qué propiedad de la hipérbola hace que las pérdidas de tiempo no sean iguales.

A partir de la gráfica de esta hipérbola trasladada, determina las ecuaciones de sus asíntotas, las coordenadas de su centro de simetría y deduce su expresión algebraica de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$.

Expresa la función racional $y = \frac{2x+7}{x+3}$ en la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ realizando la división de polinomios. A continuación, indica las ecuaciones de sus asíntotas y las coordenadas de su centro de simetría.

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la hipérbola $y = \frac{-4}{x-1}$ y la recta $y = -x + 4$.

Una fábrica de componentes electrónicos tiene unos costos fijos diarios de $3\,500$ bolivianos por encender la maquinaria, y producir cada unidad cuesta $14$ bolivianos. Escribe la función del costo medio por unidad $C_m(x)$ en función del número de unidades $x$ fabricadas al día. Halla sus asíntotas e interpreta el significado de la asíntota horizontal en el contexto del problema.

Halla el valor de la constante $k$ para que la hipérbola $y = \frac{k}{x}$ sea tangente a la recta $y = -x + 6$ (es decir, para que se corten en un único punto).

Una hipérbola de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ tiene su centro de simetría en el punto $(-1, 3)$ y corta al eje de abscisas en $x = 1$. Halla su expresión algebraica y calcula el punto de corte con el eje de ordenadas.

La distancia focal de una lente delgada convergente es de $20$ cm. La relación entre la distancia del objeto a la lente $s_o$ y la distancia de la imagen $s_i$ viene dada por la ecuación $\frac{1}{20} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Expresa $s_i$ en función de $s_o$. ¿Qué ocurre con la distancia de la imagen cuando el objeto se acerca a $20$ cm de la lente por la derecha?

Determina el dominio, el recorrido, las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de la función $y = \frac{-3}{x+2} - 4$. Indica también sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Te han pedido representar y analizar detalladamente la función homográfica $f(x) = \frac{3x - 1}{x - 2}$ identificando sus asíntotas, su centro de simetría y su monotonía. Dos compañeros proponen métodos distintos:

• Método 1 (Marcos): Construir una tabla con 10 valores de $x$ muy grandes (positivos y negativos) y varios muy próximos a $x = 2$, para intuir gráficamente por dónde pasan las rectas a las que se acerca la curva.

• Método 2 (Sara): Efectuar la división polinómica entre numerador y denominador para expresar la función en la forma canónica $f(x) = \frac{k}{x-h} + v$, y deducir directamente sus propiedades a partir de las transformaciones geométricas.

1. a) Desarrolla el Método 2: efectúa la división algebraica de $(3x - 1)$ entre $(x - 2)$ y escribe $f(x)$ en la forma $\frac{k}{x-h} + v$.
2. b) A partir de la expresión canónica que has obtenido, indica razonadamente las ecuaciones de las dos asíntotas, las coordenadas exactas del centro de simetría y deduce si la función es creciente o decreciente en cada una de sus dos ramas.
3. c) Evalúa críticamente ambos métodos: explica por qué el método algebraico de Sara es superior al método numérico de Marcos para evitar errores de aproximación y deducir con certeza analítica el comportamiento asintótico.

Se desea reconstruir analíticamente una hipérbola trasladada $g(x) = \frac{k}{x - h} + v$ a partir de una serie de condiciones geométricas y analíticas:

1. Su gráfica corta al eje de abscisas en el punto $(6, 0)$.

2. El centro de simetría de la curva es el punto $(4, -2)$.

3. Su gráfica interseca al eje de ordenadas en el punto $(0, -3)$.

1. a) Determina razonadamente los valores numéricos de los parámetros $h$, $v$ y de la constante $k$.
2. b) Comprueba de forma algebraica la condición 1: plantea la ecuación $g(x) = 0$ con los valores obtenidos y resuélvela para verificar que su solución es $x = 6$.
3. c) Dado que el centro de simetría es $(h, v)$, calcula las coordenadas del punto de la curva que es simétrico respecto a dicho centro del punto de corte con el eje $Y$, $(0, -3)$, y verifica analíticamente que dicho punto simétrico satisface la ecuación de $g(x)$.