Ejercicios: Inecuaciones con una incógnita

Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Expresa la solución en forma de intervalo.

Resuelve la inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.

Encuentra los valores de $x$ que verifican la inecuación de segundo grado, la cual ya se presenta factorizada: $(x - 4)(x + 2) < 0$.

Resuelve la siguiente inecuación incompleta de segundo grado y representa su solución en la recta real: $2x^2 - 18 \geq 0$.

Halla el intervalo solución de la inecuación de segundo grado: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita y expresa la solución como un único intervalo:

$2x - 3 < 5$

$3x + 1 \geq -2$

Resuelve la inecuación racional sencilla estudiando el signo del numerador y del denominador: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.

La suma del doble de un número natural y $5$ es estrictamente menor que $17$. Plantea la inecuación correspondiente y halla todos los números naturales que la cumplen.

Marcos está resolviendo la inecuación racional $\frac{6}{x - 2} \leq 2$. Para eliminar el denominador, decide multiplicar ambos miembros por $(x - 2)$, obteniendo $6 \leq 2(x - 2)$. Tras operar, concluye que la solución es $x \geq 5$, es decir, el intervalo $[5, +\infty)$. a) Identifica el error conceptual que comete Marcos en su primer paso y explica por qué no es lícito multiplicar ambos miembros de una inecuación por una expresión algebraica sin conocer su signo. b) Encuentra un contraejemplo numérico (un valor de $x$) que verifique la inecuación original pero no pertenezca a la solución de Marcos. c) Resuelve la inecuación de forma correcta pasando todos los términos al primer miembro, agrupando en una única fracción y estudiando los signos resultantes.

Considera la inecuación polinómica de segundo grado $x^2 - 2x - 8 < 0$. a) Antes de realizar ningún cálculo algebraico, estima el signo numérico del polinomio evaluando mentalmente en valores sencillos como $x = -3$, $x = 0$ y $x = 5$. Con esta estimación, predice razonadamente si el conjunto solución será un intervalo acotado de la forma $(a, b)$ o la unión de dos semirrectas infinitas. b) Resuelve la inecuación paso a paso mediante la descomposición factorial del polinomio y una tabla de signos. c) Comprueba si el intervalo hallado coincide con tu predicción inicial y razona si los valores frontera $x = -2$ y $x = 4$ forman parte o no del conjunto solución.

Resuelve la siguiente inecuación prestando atención a los signos negativos delante de las fracciones: $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.

Se quiere construir un jardín rectangular de modo que su largo sea $4$ metros mayor que su ancho $x$. Si se dispone de suficiente abono para cubrir como máximo $45 \text{ m}^2$, plantea una inecuación y determina los posibles valores que puede tomar el ancho $x$.

Una pequeña empresa de artesanía tiene unos gastos fijos mensuales de $2\,100$ bolivianos y producir cada pulsera de cuero le cuesta $14$ bolivianos. Si vende cada pulsera a $35$ bolivianos, ¿cuántas pulseras debe vender como mínimo al mes para empezar a obtener ganancias? Plantea y resuelve la inecuación.

Resuelve la inecuación racional: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Recuerda pasar todos los términos a un miembro y operar para obtener un único cociente antes de estudiar los signos.

Resuelve la inecuación polinómica de grado superior sacando factor común previamente: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.

Resuelve la inecuación con valor absoluto y expresa su solución como unión de intervalos: $|2x - 5| \geq 7$.

Un furgón de reparto consume $8$ litros de combustible cada $100 \text{ km}$ en carretera y $12$ litros cada $100 \text{ km}$ en ciudad. Si en un trayecto de $500 \text{ km}$ en total ha consumido menos de $45$ litros, ¿cuántos kilómetros como máximo ha podido recorrer por ciudad?

Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación de segundo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ carece de soluciones reales. Plantea la inecuación correspondiente utilizando el discriminante y resuélvela.

Una estudiante universitaria de Santa Cruz de la Sierra debe desplazarse a diario a su facultad utilizando el micro. Para la zona que recorre, se le presentan dos opciones tarifarias: Opción A, pagar pasajes sencillos a $2,80$ bolivianos por cada trayecto; u Opción B, contratar un pase mensual de viajes ilimitados por $36$ bolivianos al mes, al que debe sumar un pago único de $4$ bolivianos el primer mes por la emisión física de la tarjeta personalizada. a) Plantea una inecuación de primer grado con una incógnita que determine a partir de cuántos trayectos al mes la Opción B resulta estrictamente más barata que la Opción A durante el primer mes de uso. b) Resuelve la inecuación e interpreta la solución indicando el número entero mínimo de viajes necesarios para amortizar el pase. c) Si el mes lectivo tiene 21 días y realiza 2 viajes diarios (ida y vuelta), calcula cuánto dinero ahorra mensualmente con la opción más favorable frente a la otra.

Para resolver la inecuación con valor absoluto $|2x - 6| \leq 10$, se plantean dos estrategias diferentes: Vía 1 (Método algebraico), transformar la expresión en la doble desigualdad simultánea $-10 \leq 2x - 6 \leq 10$ y despejar $x$; y Vía 2 (Interpretación geométrica), extraer factor común para escribir $2 \cdot |x - 3| \leq 10$, simplificar a $|x - 3| \leq 5$ e interpretar la distancia al valor central $3$ sobre la recta real. a) Desarrolla de forma explícita ambos procedimientos y comprueba que se obtiene exactamente el mismo intervalo solución. b) Justifica razonadamente cuál de los dos métodos consideras más eficiente y cuál minimiza la probabilidad de cometer errores con los signos. c) Explica cómo se adaptaría el planteamiento de cada vía si la inecuación fuese estricta y de sentido opuesto: $|2x - 6| > 10$.

Resuelve la inecuación racional en la que el numerador y el denominador son polinomios de segundo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y explica qué particularidad tiene su conjunto solución:

$x^2 - 4x + 4 \leq 0$

$2x - 1 > 0$

Se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba en un experimento escolar. Su altura $h$ en metros en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina algebraicamente durante qué intervalo de tiempo el cohete estará por encima de los $17 \text{ m}$ de altura.

Resuelve la inecuación con valor absoluto que incluye expresiones fraccionarias: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.

Las ganancias mensuales de una fábrica de monopatines eléctricos, expresadas en miles de bolivianos, están dadas por la función $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, donde $x$ representa el número de cientos de monopatines fabricados. ¿Cuántos monopatines deben fabricarse para que la empresa no tenga pérdidas (es decir, para que $B(x) \geq 0$)?

En un triángulo isósceles, los lados iguales miden $x \text{ cm}$ y el lado desigual mide $10 \text{ cm}$. Para que el triángulo pueda construirse, la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera debe ser estrictamente mayor que la longitud del tercer lado. Además, se desea que su perímetro no supere los $36 \text{ cm}$. Plantea un sistema de inecuaciones y halla los posibles valores de $x$.

Estudia y resuelve el siguiente sistema formado por una inecuación de primer grado y otra de segundo grado:

$3x - 5 \leq x + 1$

$x^2 - 7x + 10 > 0$

Resuelve la siguiente inecuación racional, realizando las sumas algebraicas necesarias para expresarla como un único cociente antes de estudiar los signos: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{4}$.

Se busca diseñar una inecuación racional con una incógnita cuyo conjunto exacto de soluciones sea $(-3, 2] \cup (5, +\infty)$. a) Construye una inecuación de la forma $\frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$, donde tanto el numerador $P(x)$ como el denominador $Q(x)$ sean polinomios factorizados en binomios mónicos de primer grado. Justifica paso a paso, apoyándote en el estudio de signos por tramos, la posición de cada factor en el numerador o en el denominador. b) Explica detalladamente por qué los números $-3$ y $5$ deben aparecer con intervalo abierto (paréntesis) en la solución, mientras que el $2$ queda cerrado (con corchete). c) Sin rehacer toda la tabla de signos, razona qué transformación elemental deberías aplicar a tu inecuación para que la solución pase a ser $(-\infty, -3) \cup [2, 5)$.

Un fabricante de componentes de automoción en Navarra diseña un sensor térmico cuya resistencia eléctrica de funcionamiento $R$ (en ohmios) depende de la temperatura exterior $t$ (en grados Celsius) según la expresión $R(t) = t^2 - 2(k - 1)t + (k + 5)$, donde $k$ es un parámetro real de calibración. Por estrictas normas de seguridad, el dispositivo solo opera correctamente si la resistencia es estrictamente positiva ($R(t) > 0$) para cualquier temperatura $t \in \mathbb{R}$. a) Interpreta la gráfica de $y = R(t)$ como una parábola y deduce qué condición geométrica respecto al eje de abscisas y qué condición algebraica sobre su discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ deben cumplirse para garantizar dicha operatividad. b) Plantea y resuelve la inecuación de segundo grado en la incógnita $k$ resultante de la condición anterior, indicando el intervalo de valores válidos para la calibración del sensor. c) Si en fábrica se comete un error y se ajusta el parámetro en $k = 4$, justifica qué anomalía ocurrirá y determina a qué temperatura exacta $t$ el sensor dejará de funcionar por anularse su resistencia.