Ejercicios: Sistemas de ecuaciones lineales

Comprueba si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$3x + 2y = 4$

$x - 4y = 6$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución:

$x = 2y + 5$

$3x - 4y = 11$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación:

$y = 3x - 2$

$y = -x + 6$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción:

$5x + 3y = 21$

$2x - 3y = 0$

Observa la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indica cuál es la solución del sistema y clasifícalo según su número de soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).

La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el valor de ambos números.

En una cafetería, por $3$ cafés y $2$ cruasanes nos han cobrado $52,50$ bolivianos. Si compramos $1$ café y $4$ cruasanes del mismo tipo, el precio es de $45,50$ bolivianos. ¿Cuánto cuesta cada café y cada cruasán?

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método analítico que consideres más adecuado:

$4x - y = 7$

$2x + y = 11$

Marcos intenta resolver por el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{cases} 3x - 2y = 8 \\ 5x + 4y = 6 \end{cases}$

Para eliminar la incógnita $y$, decide multiplicar la primera ecuación por $2$ y escribe en su cuaderno:

$6x - 4y = 8$

A continuación, suma miembro a miembro con la segunda ecuación, obteniendo $11x = 14$, de donde concluye que $x = \frac{14}{11}$.

1. a) Identifica con precisión qué error ha cometido Marcos y explica por qué su paso invalida la equivalencia del sistema basándote en las propiedades algebraicas de las igualdades.
2. b) Corrige su desarrollo y halla la solución exacta $(x, y)$ del sistema original.

Analiza detenidamente los siguientes dos sistemas de ecuaciones lineales:

Sistema 1: $\begin{cases} x = 2y - 5 \\ 3x + 4y = 5 \end{cases}$

Sistema 2: $\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases}$

1. a) Sin resolverlos todavía, justifica de forma razonada cuál de los tres métodos algebraicos habituales (sustitución, igualación o reducción) resulta más rápido y eficiente para el Sistema 1, y cuál para el Sistema 2, atendiendo a los coeficientes de las incógnitas.
2. b) Resuelve el Sistema 2 utilizando el método que has seleccionado en el apartado anterior y comprueba que la solución obtenida cumple ambas igualdades.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente para eliminar los paréntesis:

$2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$

$x - 4(y + 2) = -10$

Resuelve el siguiente sistema eliminando primero los denominadores:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$

$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$

Hace $5$ años, la edad de una madre era el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad de la madre será el doble que la del hijo. Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular las edades actuales de ambos.

El perímetro de una parcela rectangular mide $120$ metros. Si el largo de la parcela mide $10$ metros más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?

Un comerciante mezcla aceite de oliva de $28$ bolivianos/litro con aceite de girasol de $14$ bolivianos/litro para obtener $60$ litros de una mezcla que venderá a $24,50$ bolivianos/litro. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos litros de cada tipo de aceite ha utilizado.

En una alcancía hay $40$ monedas, algunas de $1,40$ bolivianos y otras de $3,50$ bolivianos. Si en total hay $87,50$ bolivianos, ¿cuántas monedas de cada tipo contiene la alcancía?

Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales e indica su solución a partir de la gráfica:

$x + y = 5$

$2x - y = 4$

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un taller de reparación de vehículos hay entre autos y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin tener en cuenta las de repuesto), hay un total de $110$ ruedas. ¿Cuántos autos y cuántas motos hay en el taller?

En un auditorio de Santa Cruz de la Sierra se han vendido las 150 entradas disponibles para una obra benéfica. Había dos tipos de localidades: tarifa general a $\text{Bs}\ 18$ y tarifa reducida para estudiantes a $\text{Bs}\ 10$. La recaudación final en boletería fue de $\text{Bs}\ 2220$.

1. a) Antes de plantear ninguna ecuación, realiza una estimación razonada: ¿se vendieron más entradas generales o reducidas? Para justificarlo, calcula qué habría ocurrido con la recaudación si las 150 entradas hubieran sido todas de $\text{Bs}\ 10$ o todas de $\text{Bs}\ 18$.
2. b) Plantea un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que represente la situación y resuélvelo por el método que consideres más conveniente.
3. c) Comprueba si el número de entradas hallado para cada tipo coincide con tu deducción cualitativa previa y argumenta por qué la solución es coherente en el contexto real.

Considera el siguiente sistema con coeficientes desconocidos:

$\begin{cases} 2x + ky = 6 \\ 4x - 6y = c \end{cases}$

1. a) Determina qué valores numéricos deben tomar los parámetros $k$ y $c$ para que el sistema sea compatible indeterminado (infinitas soluciones). Explica qué relación geométrica guardan las dos rectas en este caso.
2. b) Manteniendo el valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, indica qué condición debe cumplir $c$ para que el sistema resulte incompatible. ¿Qué posición relativa tienen las rectas sobre el plano cartesiano?
3. c) Construye una segunda ecuación lineal distinta para que, combinada con $2x - 3y = 6$, forme un nuevo sistema compatible determinado cuya solución única sea el par $(x, y) = (3, 0)$.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, simplificando previamente las expresiones con fracciones y paréntesis:

$\frac{3(x - 1)}{2} + \frac{y + 2}{4} = \frac{11}{4}$

$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2}$

Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):

$kx + 3y = 5$

$4x - 2y = 7$

En una tienda de electrónica, una computadora portátil y una tableta cuestan juntas $10\,500$ bolivianos. Durante la semana de ofertas, aplican un descuento del $15\,\%$ a la computadora portátil y un $10\,\%$ a la tableta, por lo que el precio conjunto pasa a ser de $9\,135$ bolivianos. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el precio original de cada artículo.

Determina el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado):

$3x - my = 12$

$-6x + 8y = -24$

Dos ciclistas salen al mismo tiempo de dos ciudades, A y B, separadas por $78$ km, y se dirigen el uno hacia el otro en línea recta. Tardan exactamente $3$ horas en encontrarse. Si la velocidad del primer ciclista es $4$ km/h mayor que la del segundo, ¿a qué velocidad circula cada uno?

En un laboratorio se dispone de dos disoluciones de un mismo ácido, una al $10\,\%$ de concentración y otra al $25\,\%$. Se desea obtener $45$ litros de una nueva disolución al $16\,\%$ de concentración. ¿Cuántos litros de cada disolución original se deben mezclar?

Observa la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del gráfico, clasifica el sistema según su número de soluciones y explica qué relación algebraica debe existir entre los coeficientes de ambas ecuaciones para que se dé esta situación.

Una persona invierte un total de $175\,000$ bolivianos en dos fondos de inversión diferentes. El primer fondo le ofrece un interés anual del $4\,\%$, mientras que el segundo le ofrece un $6\,\%$. Si al cabo de un año los beneficios totales obtenidos por ambos fondos ascienden a $9\,240$ bolivianos, ¿qué cantidad de dinero invirtió en cada uno de ellos?

Un servicio municipal de préstamo de bicicletas eléctricas en Santa Cruz de la Sierra ofrece un plan de suscripción que incluye una cuota fija mensual de mantenimiento ($x$) y un costo fijo por cada trayecto de más de 30 minutos ($y$).

Durante el mes de abril, Pablo realizó 16 trayectos facturables y su recibo total fue de $\text{Bs}\ 23,20$. Por su parte, Carmen realizó 28 trayectos facturables con el mismo plan y pagó $\text{Bs}\ 34,00$.

1. a) Modela la situación mediante un sistema de ecuaciones lineales y calcula el valor de la cuota fija mensual ($x$) y el precio de cada trayecto ($y$).
2. b) Un nuevo usuario dispone de un presupuesto máximo mensual de $\text{Bs}\ 20$. ¿Cuál es el número máximo de trayectos de más de 30 minutos que puede permitirse realizar al mes con este plan?
3. c) Obtén la expresión del costo medio por trayecto en función del número total de trayectos $n$ realizados en el mes. Razona a partir de cuántos trayectos mensuales el costo medio por trayecto resulta inferior a $\text{Bs}\ 1,30$ e interpreta qué ocurre con el peso de la cuota fija a medida que aumenta el uso del servicio.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de los parámetros $a$ y $b$:

$\begin{cases} ax + 2y = 4 \\ 3x - y = b \end{cases}$

1. a) Sin resolverlo por métodos algebraicos tradicionales, clasifica el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) según los posibles valores de $a$ y $b$, utilizando las razones entre los coeficientes y los términos independientes.
2. b) Si fijamos $a = -6$ y $b = -2$, demuestra algebraicamente que el sistema admite infinitas soluciones, expresa la solución general en función de una de las incógnitas y proporciona tres soluciones numéricas particulares distintas.
3. c) Desde el punto de vista geométrico, describe la posición relativa de ambas rectas en cada uno de los casos analizados en el apartado a) y justifica de forma rigurosa por qué es imposible que un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tenga exactamente dos soluciones distintas.