Ejercicios: Problemas con ecuaciones de segundo grado

Encuentra un número positivo tal que el triple de su cuadrado sea exactamente igual a doce veces ese mismo número.

El producto de dos números enteros consecutivos es $156$. ¿Cuáles son esos números?

La base de una parcela rectangular mide $5$ metros más que su altura. Si su área total es de $150 \text{ m}^2$, calcula sus dimensiones.

Si al cuadrado de la edad que tendrá Lucía dentro de $3$ años le restamos el triple de la edad que tenía hace $2$ años, obtenemos $55$. ¿Qué edad tiene Lucía actualmente?

En un triángulo rectángulo, un cateto mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Si la hipotenusa mide $13 \text{ cm}$, calcula la longitud de ambos catetos.

El producto de dos números pares positivos consecutivos es $288$. Halla dichos números.

La suma de los cuadrados de dos números naturales impares consecutivos es $130$. Determina de qué números se trata.

Si se aumenta el lado de un cuadrado de cerámica en $4 \text{ cm}$, su área se cuadruplica. ¿Cuánto medía el lado inicialmente?

Marcos resuelve en su examen el siguiente problema: «El suelo de un almacén rectangular tiene un largo que mide $5\text{ m}$ más que su ancho. Si la superficie total es de $66\text{ m}^2$, ¿cuáles son sus dimensiones?».

Para resolverlo, plantea $x(x+5) = 66 \implies x^2 + 5x - 66 = 0$. Aplica la fórmula general y obtiene correctamente las raíces algebraicas $x_1 = 6$ y $x_2 = -11$. A continuación, concluye: «Hay dos almacenes posibles: uno de $6\text{ m}$ de ancho por $11\text{ m}$ de largo, y otro de $11\text{ m}$ de ancho por $16\text{ m}$ de largo, porque como las distancias no pueden ser negativas, le cambiamos el signo al $-11$ y le sumamos $5$».

1. a) Identifica con precisión el error conceptual de Marcos al interpretar la solución negativa $x_2 = -11$.
2. b) Explica por qué la ecuación algebraica arroja dos soluciones mientras que el problema geométrico solo admite una.
3. c) Corrige la respuesta final determinando las verdaderas dimensiones del almacén y calcula cuántos metros lineales de rodapié se necesitarán para bordear todo su perímetro (sin descontar puertas).

Un artesano de cerámica de Talavera de la Reina diseña un azulejo decorativo cuadrado. Para un pedido especial, modifica el molde aumentando su base en $3\text{ cm}$ y reduciendo su altura en $2\text{ cm}$, obteniendo una pieza rectangular cuya superficie es de $84\text{ cm}^2$.

1. a) Sin resolver la ecuación, realiza una estimación previa: teniendo en cuenta que el área final ($84\text{ cm}^2$) debe ser muy parecida a la del cuadrado inicial, estima entre qué dos números enteros consecutivos debe encontrarse la longitud del lado original del azulejo.
2. b) Define la incógnita, plantea la ecuación de segundo grado correspondiente y resuélvela paso a paso para hallar la medida exacta del lado del azulejo original.
3. c) Comprueba si tu solución matemática encaja con tu estimación inicial y verifica en el enunciado que las dimensiones del nuevo rectángulo cumplen el área indicada.

Una piscina rectangular de $10 \text{ m}$ de largo por $6 \text{ m}$ de ancho está rodeada por un pasillo de césped de ancho uniforme $x$. Si el área exclusiva del pasillo es de $80 \text{ m}^2$, ¿cuál es el ancho del pasillo?

Para fabricar una cometa, se necesita una tela en forma de rombo. Se sabe que la diagonal mayor mide $4 \text{ cm}$ más que la diagonal menor, y que el área total de la cometa es de $96 \text{ cm}^2$. Calcula la longitud de ambas diagonales.

Un grupo de amigos decide comprar un regalo de bodas que cuesta $840$ bolivianos, a pagar a partes iguales. A última hora se unen dos amigos más al grupo, lo que hace que cada uno de los anteriores deba pagar $21$ bolivianos menos de lo inicialmente previsto. ¿Cuántos amigos conformaban el grupo inicial?

Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ (en metros) en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión matemática $h = 40t - 5t^2$. ¿En qué instantes de tiempo el proyectil se encontrará exactamente a una altura de $75 \text{ metros}$?

El precio de costo de un lote de poleras es de $2\,100$ bolivianos. El vendedor decide quedarse con $5$ poleras para su familia y vender el resto a $14$ bolivianos más de lo que le costó cada una. Si tras venderlas todas obtiene una ganancia neta de $420$ bolivianos (es decir, ingresa $2\,520$ bolivianos en total), ¿cuántas poleras compró inicialmente?

Una empresa de tecnología fabrica paneles solares con forma rectangular. El largo del panel debe ser el doble de su ancho menos $1 \text{ metro}$. Si para un nuevo modelo se requiere que la superficie del panel sea de $28 \text{ m}^2$, halla sus dimensiones.

La diferencia entre las edades de un abuelo y su nieto es de $56$ años. Hace $4$ años, la edad del abuelo era exactamente el cuadrado de la edad del nieto. ¿Qué edades tienen actualmente?

En una competición de atletismo, se lanza un peso. La trayectoria sigue una parábola dada por la ecuación $y = -0,05x^2 + 0,8x + 1,8$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros e $y$ la altura en metros. ¿A qué distancia horizontal tocará el suelo?

Para fomentar la movilidad sostenible, un municipio diseña un nuevo parqueo cerrado para bicicletas de $180\text{ m}^2$ de superficie. Por las limitaciones de la acera peatonal, el fondo (ancho) del recinto debe medir exactamente $8\text{ m}$ menos que su fachada (largo).

1. a) Llama $x$ a la longitud de la fachada en metros, escribe la expresión que representa el fondo y plantea una única ecuación de segundo grado que modele la superficie.
2. b) Resuelve la ecuación, analiza el significado de las dos soluciones matemáticas obtenidas y determina las dimensiones reales del terreno.
3. c) El gobierno municipal dispone de un presupuesto máximo de $8000\text{ euros}$. Si el pavimento drenante cuesta $35\text{ euros/m}^2$ y la valla de seguridad perimetral que rodea los cuatro lados cuesta $25\text{ euros}$ por metro lineal, comprueba numéricamente si el presupuesto asignado es suficiente para ejecutar la obra.

Un docente quiere preparar para su clase un problema de diseño geométrico cuya resolución conduzca a la ecuación de segundo grado $x^2 - 15x + 54 = 0$, cuyas soluciones son $x_1 = 9$ y $x_2 = 6$.

1. a) Redacta el enunciado de un problema contextualizado (por ejemplo, vallar un huerto o diseñar una terraza) en el que intervengan el semiperímetro ($15\text{ m}$) y la superficie ($54\text{ m}^2$), de modo que al plantearlo surja directamente dicha ecuación.
2. b) Resuelve la ecuación e interpreta por qué en este caso particular AMBAS soluciones numéricas son positivas y válidas, explicando qué representan geométricamente.
3. c) Modifica únicamente el dato de la superficie en tu enunciado para plantear una situación físicamente imposible (es decir, que no exista ningún rectángulo que pueda construirse con ese semiperímetro). Justifica tu propuesta analizando el signo del discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) de la nueva ecuación resultante.

Se dispone de una plancha de cartón rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Se desea construir una caja sin tapa cortando un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y doblando las solapas hacia arriba. Si el área de la base de la caja resultante debe ser de $336 \text{ cm}^2$, calcula el valor de $x$ y el volumen de la caja.

Dos tuberías llenan juntas un depósito de agua en $6$ horas. Si se abriera solo la primera tubería, tardaría $5$ horas menos en llenar el depósito que si se abriera solo la segunda. ¿Cuánto tardaría cada tubería en llenar el depósito de forma independiente?

Dos autos parten a la vez desde el mismo cruce por dos carreteras perpendiculares. Uno circula a $10 \text{ km/h}$ más rápido que el otro. Al cabo de $2$ horas, la distancia en línea recta que los separa es de $100 \text{ km}$. ¿A qué velocidad circula cada uno?

Un inversionista coloca un capital de $35\,000$ bolivianos a una determinada tasa de interés compuesto anual. Al cabo de dos años, el capital acumulado es de $37\,856$ bolivianos. ¿Cuál fue la tasa de interés anual aplicada?

Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60 \text{ km}$. A la vuelta, debido a la fatiga, su velocidad media es $5 \text{ km/h}$ menor que a la ida, por lo que tarda $1$ hora más en realizar el mismo trayecto. ¿A qué velocidad circuló a la ida?

Un artesano quiere diseñar un marco de madera para un espejo rectangular. Las dimensiones del espejo son $80 \text{ cm}$ de alto por $60 \text{ cm}$ de ancho. El marco tendrá un grosor uniforme de $x \text{ cm}$ en la parte superior e inferior, pero en los laterales el grosor será el doble, es decir, $2x \text{ cm}$. Si el área total del marco (sin incluir el espejo) debe ser de $2400 \text{ cm}^2$, determina el valor de $x$.

Una compañía de teatro alquila una sala por $5\,600$ bolivianos para una función. Para cubrir los gastos, deciden fijar un precio para la entrada. El día de la función asisten $40$ espectadores más de los esperados, por lo que el organizador decide rebajar el precio de la entrada en $7$ bolivianos, recaudando exactamente los $5\,600$ bolivianos necesarios. ¿Cuántos espectadores asistieron finalmente a la función?

Una lata cilíndrica de conservas se diseña de modo que su altura es exactamente igual al diámetro de su base. Si para fabricar la lata (incluyendo las dos tapas circular y la cara lateral) se han utilizado exactamente $150\pi \text{ cm}^2$ de hojalata, calcula el radio de la base.

Una comunidad de vecinos en Logroño dispone de un patio interior cuadrado de lado desconocido. En una reforma, deciden reducir $2\text{ m}$ en un lateral para instalar una rampa de accesibilidad y ampliar $6\text{ m}$ en el lado perpendicular aprovechando un almacén en desuso. El nuevo patio rectangular resultante tiene una superficie de $105\text{ m}^2$.

Para hallar las dimensiones del patio original, dos miembros de la junta plantean caminos distintos:

• Método A (Carlos): Elige como incógnita $x$ el lado del patio cuadrado original y plantea la ecuación: $(x - 2)(x + 6) = 105$.

• Método B (Lucía): Elige como incógnita $y$ el ancho menor del nuevo patio rectangular, deduce que el largo medirá $y + 8$ y plantea la ecuación: $y(y + 8) = 105$, calculando el lado original al final como $y + 2$.

1. a) Desarrolla y resuelve ambos métodos por completo. Comprueba que con los dos se llega a las mismas dimensiones iniciales y finales.
2. b) Compara algebraicamente ambas ecuaciones: ¿cuál presenta coeficientes más manejables para el cálculo mental del discriminante? ¿Qué ventajas e inconvenientes tiene cada una en cuanto al riesgo de despiste al responder a la pregunta final del problema?

Un tren de alta velocidad cubre habitualmente el trayecto directo de $300\text{ km}$ entre La Paz y Oruro a una velocidad media constante $v$ (en $\text{km/h}$). Debido a unas obras en la infraestructura, en una jornada debe reducir su velocidad media en todo el recorrido en $50\text{ km/h}$, lo que provoca un retraso de media hora ($0,5\text{ h}$) respecto a su horario habitual.

1. a) Define con claridad qué representa la incógnita $v$ y plantea una única ecuación que relacione la distancia fija, las dos velocidades medias y la diferencia de tiempos entre ambos viajes.
2. b) Transforma la relación anterior en una ecuación de segundo grado en forma general ($av^2+bv+c=0$), resuélvela y determina la velocidad media habitual del tren y la duración normal del trayecto.
3. c) La ecuación matemática arroja dos soluciones reales ($v_1$ y $v_2$). Explica razonadamente por qué se descarta la raíz negativa en este contexto físico.
4. d) La normativa de calidad ferroviaria exige que las demoras por obras no superen los $20\text{ minutos}$ ($\frac{1}{3}\text{ de hora}$). Sin necesidad de resolver otra ecuación cuadrática completa, razona cualitativamente si la reducción de velocidad admisible debería ser mayor o menor de $50\text{ km/h}$ para cumplir dicho estándar.