Ejercicios: Otros tipos de ecuaciones

Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada realizando el cambio de variable $x^2 = t$:

$x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Halla todas las soluciones reales de la siguiente ecuación bicuadrada incompleta sacando factor común:

$2x^4 - 32x^2 = 0$

Resuelve la siguiente ecuación racional multiplicando todos los términos por $x$ para eliminar el denominador:

$\frac{12}{x} = x - 4$

Encuentra el valor de $x$ que verifica la siguiente ecuación racional sencilla:

$\frac{x+3}{x-1} = 2$

Resuelve la ecuación irracional aislando el radical y elevando ambos miembros al cuadrado:

$\sqrt{3x + 4} = 5$

Determina los valores de $x$ que cumplen la siguiente ecuación con raíces. Recuerda que debes comprobar las soluciones al final para descartar posibles soluciones falsas:

$\sqrt{x + 2} = x$

Resuelve la siguiente ecuación exponencial expresando ambos miembros como potencias de la misma base:

$3^{2x-1} = 27$

Halla el valor de $x$ en la ecuación logarítmica aplicando directamente la definición de logaritmo:

$\log_2(x + 5) = 3$

Daniel tiene que resolver en clase la ecuación con radicales $\sqrt{2x + 5} = x - 5$. Para eliminar la raíz, eleva al cuadrado ambos miembros y obtiene $2x + 5 = x^2 - 10x + 25$. Tras simplificar y pasar todos los términos a un miembro, llega a $x^2 - 12x + 20 = 0$. Aplica la fórmula cuadrática y halla dos soluciones: $x = 10$ y $x = 2$. Muy convencido, escribe en su examen que ambas son soluciones de la ecuación inicial.

1. a) Explica qué propiedad lógica falla al elevar al cuadrado ambos miembros de una igualdad y por qué este paso puede introducir «soluciones falsas».
2. b) Sin volver a resolver la ecuación cuadrática, comprueba numéricamente los dos valores en la ecuación original $\sqrt{2x + 5} = x - 5$ e indica cuál es la única solución válida, explicando por qué se debe descartar la otra.

Se busca construir una ecuación bicuadrada de la forma $x^4 + bx^2 + c = 0$ que cumpla simultáneamente dos condiciones:

1. Sus únicas soluciones reales deben ser $x = 3$ y $x = -3$.

2. Al aplicar el cambio de variable $t = x^2$, la ecuación de segundo grado resultante en la variable $t$ debe tener dos soluciones reales distintas: $t_1$ y $t_2$.

1. a) Razona qué signo y qué valor numérico exacto debe tener una de las soluciones de $t$, y qué signo debe tener obligatoriamente la otra solución para que no aporte más raíces reales a la incógnita $x$.
2. b) Elige un valor numérico para esa segunda solución de $t$ y escribe la ecuación bicuadrada completa $x^4 + bx^2 + c = 0$ resultante, comprobando que cumple las condiciones pedidas.

El área de un rectángulo es de $6 \text{ cm}^2$. Sabiendo que su base mide $x^2 + 2$ cm y su altura $x^2 - 3$ cm, plantea una ecuación bicuadrada para hallar el valor de $x$ (con $x > 0$) y determina las dimensiones reales del rectángulo.

Un ciclista viaja a un pueblo vecino a una velocidad de $20 \text{ km/h}$ y vuelve por el mismo camino a una velocidad de $x \text{ km/h}$. La velocidad media de todo el trayecto de ida y vuelta viene dada por la fórmula $v_m = \frac{2 \cdot 20 \cdot x}{20 + x}$. Si la velocidad media total ha sido de $24 \text{ km/h}$, plantea una ecuación racional y calcula la velocidad de vuelta $x$.

La distancia $d$ (en metros) que recorre un auto desde que pisa el freno hasta detenerse se puede aproximar con la fórmula $d = \frac{v^2}{20}$, donde $v$ es la velocidad en m/s. Si un auto deja unas marcas de frenado de $45$ m, ¿a qué velocidad circulaba?

El número de miembros de un servidor de Discord sigue la fórmula exponencial $N = 500 \cdot 2^{t/3}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses. ¿Cuántos meses deben transcurrir para que el servidor alcance exactamente los $4000$ miembros?

El nivel de intensidad sonora $L$ en decibelios (dB) se calcula mediante la expresión logarítmica $L = 10 \log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)$, donde $I$ es la intensidad acústica en $\text{W/m}^2$. Calcula la intensidad $I$ de un sonido producido por el tráfico intenso, sabiendo que su nivel es de $80 \text{ dB}$.

Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada e indica claramente cuáles son sus soluciones reales y por qué se descartan las demás:

$x^4 - 2x^2 - 8 = 0$

Resuelve la siguiente ecuación racional reduciendo a común denominador. Presta especial atención a las posibles soluciones que anulen algún denominador:

$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$

Resuelve la ecuación irracional aislando una de las raíces y elevando al cuadrado. Recuerda comprobar la solución obtenida:

$\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$

Considera la ecuación racional $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 2} = 1$.

1. a) Antes de operar, realiza una estimación razonada para buscar una solución positiva $x > 0$:

• Si $x = 2$, calcula mentalmente el valor de $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 2}$ y compáralo con $1$.

• Si $x = 6$, calcula mentalmente el valor de esa misma expresión y compáralo con $1$.

• A partir de esas dos pruebas, deduce y justifica entre qué dos números enteros debe encontrarse la solución positiva.

1. b) Resuelve formalmente la ecuación eliminando denominadores mediante el mínimo común múltiplo, comprueba si se confirma tu estimación y determina todas las soluciones reales de la ecuación, señalando qué valores de $x$ estaban prohibidos desde el principio.

Para resolver ecuaciones exponenciales se suelen emplear dos estrategias principales: sacar factor común o realizar un cambio de variable del tipo $u = a^x$. Observa estas dos ecuaciones:

(1) $2^{x + 3} - 2^x = 56$

(2) $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

1. a) Resuelve la ecuación (1) sacando factor común la potencia $2^x$ en el miembro izquierdo y justifica por qué este camino es más directo que hacer un cambio de variable.
2. b) Explica por qué el método de sacar factor común no es aplicable de manera directa a la ecuación (2) (prestando atención a la presencia del término independiente y a las bases de las potencias).
3. c) Resuelve la ecuación (2) utilizando el cambio de variable $u = 2^x$, indicando claramente las soluciones finales para la incógnita $x$.

La diagonal de un marco rectangular de madera mide $\sqrt{10}$ cm. Si uno de sus lados mide $x$ cm y el otro mide $\frac{3}{x}$ cm, plantea una ecuación racional, transfórmala en una ecuación bicuadrada y calcula las dimensiones del marco.

Un tanque de agua para riego se puede llenar usando dos llaves distintas. La primera llave tarda $x$ horas en llenarlo por sí sola, y la segunda llave, que tiene menor caudal, tarda $x+3$ horas. Si se abren las dos a la vez, el tanque se llena en exactamente $2$ horas. Plantea una ecuación racional y determina cuánto tarda cada llave por separado.

En una pieza de chapa con forma de triángulo rectángulo, un cateto mide $x$ cm, el otro cateto mide $\sqrt{x+5}$ cm y la hipotenusa mide $x+1$ cm. Plantea una ecuación irracional aplicando el teorema de Pitágoras, halla el valor de $x$ y calcula el área de la pieza.

El valor de una inversión financiera (en miles de bolivianos) sigue la evolución $V(t) = 4^t - 6 \cdot 2^t + 10$, donde $t$ es el tiempo en años desde el inicio de la inversión. ¿En qué instantes $t$ el valor de la inversión es exactamente de $2$ mil bolivianos? (Pista: utiliza las propiedades de las potencias y haz el cambio de variable $u = 2^t$).

La magnitud de un terremoto en la escala de Richter viene dada por $M = \log(A) - \log(A_0)$, donde $A$ es la amplitud máxima de las ondas sísmicas registradas y $A_0$ es una amplitud de referencia estándar. Si en un terremoto de magnitud $M_1 = 3$ la amplitud fue $A_1$, y en otro terremoto más fuerte la amplitud fue $A_2 = 100 \cdot A_1$, ¿cuál fue la magnitud $M_2$ de este segundo terremoto? Aplica las propiedades de los logaritmos para demostrarlo paso a paso.

Un grupo de amigos alquila una casa rural para el fin de semana por un total de $840$ bolivianos. A última hora se apuntan $2$ amigos más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente pague $21$ bolivianos menos. Si $x$ es el número inicial de amigos, plantea una ecuación racional y averigua cuántos amigos fueron finalmente a la casa rural.

Resuelve la siguiente ecuación irracional que involucra dos radicales. Tendrás que elevar al cuadrado dos veces. Comprueba las soluciones obtenidas al final del proceso:

$\sqrt{2x+3} - \sqrt{x-2} = 2$

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica aplicando las propiedades de los logaritmos (suma de logaritmos) y comprueba el resultado para descartar soluciones que generen argumentos negativos:

$\log(x+2) + \log(x-1) = 1$

Un tren de media distancia de la Empresa Ferroviaria Andina realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos ciudades separadas por $60\text{ km}$. A la ida, debido a una limitación temporal de velocidad por obras de mantenimiento en la vía, el tren circula a una velocidad media de $v - 20\text{ km/h}$, siendo $v$ su velocidad media habitual. En el trayecto de vuelta, ya sin restricciones, circula a su velocidad habitual $v\text{ km/h}$. Se sabe que el viaje de ida duró exactamente 15 minutos ($0,25\text{ horas}$) más que el viaje de vuelta.

1. a) Plantea una ecuación racional que modele la situación a partir de la relación entre el tiempo, la distancia y la velocidad, identificando el significado de cada término y las restricciones que impone la realidad física sobre el valor de $v$.
2. b) Resuelve la ecuación para calcular el valor de la velocidad habitual $v$ y la velocidad real a la que circuló en el trayecto de ida.
3. c) Calcula el tiempo total que estuvo el tren en movimiento a lo largo de todo el recorrido (ida y vuelta), expresando el resultado en horas y minutos.

Se desea diseñar una ecuación logarítmica de la forma $\log(x + a) + \log(x + 1) = \log(b)$, donde $a$ y $b$ son constantes reales fijadas, de modo que ocurra lo siguiente:

• Al aplicar las propiedades de los logaritmos y transformar la igualdad en una ecuación polinómica de segundo grado, las soluciones algebraicas de dicha ecuación sean exactamente $x = 5$ y $x = -3$.

• Sin embargo, al comprobar en la ecuación logarítmica original, el valor $x = -3$ debe quedar descartado (por no pertenecer al dominio de definición), de modo que $x = 5$ sea la única solución válida.

1. a) A partir de las relaciones entre las raíces y los coeficientes de un polinomio cuadrático, deduce los valores numéricos obligatorios de las constantes $a$ y $b$.
2. b) Explica con precisión la aparente paradoja: ¿por qué el valor $x = -3$ consigue verificar la ecuación polinómica producto pero resulta inadmisible en la ecuación logarítmica de partida?
3. c) Comprueba que, con los valores de $a$ y $b$ obtenidos, el valor $x = 5$ satisface plenamente la ecuación logarítmica inicial.