Ejercicios: Inecuaciones

Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real los valores de $x$ que cumplen la desigualdad $-3 \le x < 5$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Resuelve la siguiente inecuación de primer grado:

$4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$

Resuelve la inecuación de segundo grado $x^2 - 16 < 0$. Expresa la solución en forma de intervalo.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita:

$\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$

Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El triple de un número, disminuido en $4$ unidades, es como máximo $11$".

Comprueba si los puntos $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ y $C(-1, -2)$ son soluciones de la inecuación con dos incógnitas $3x - 2y \le 4$.

Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 3| \le 5$ y expresa su solución mediante un intervalo.

Resuelve la inecuación lineal con denominadores:

$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$

Marcos tiene que resolver la inecuación lineal $-3x + 12 \ge 0$ y en su cuaderno escribe los siguientes pasos:

$-3x + 12 \ge 0$

$-3x \ge -12$

$x \ge \frac{-12}{-3}$

$x \ge 4$

Concluye afirmando que el conjunto de soluciones es el intervalo $[4, +\infty)$.

1. a) Sin resolver aún la inecuación, comprueba qué ocurre si sustituyes en la inecuación original un valor que pertenezca al conjunto de Marcos, por ejemplo $x = 5$. ¿Se cumple la desigualdad?
2. b) Localiza y explica razonadamente qué regla de las desigualdades ha olvidado aplicar Marcos en el paso de la segunda a la tercera línea. ¿Por qué cambia el sentido de una desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo?
3. c) Corrige el procedimiento y escribe el conjunto de soluciones correcto en forma de intervalo.

El departamento de control de calidad de una envasadora de aceite de oliva en Jaén programa su maquinaria para llenar botellas de $1$ litro. Se acepta una botella si el volumen real de aceite, $x$ (en litros), se encuentra dentro del intervalo $[0,98;\ 1,02]$.

1. a) Expresa esta condición de aceptación mediante una inecuación con valor absoluto de la forma $|x - a| \le k$, deduciendo e indicando razonadamente qué número representa el centro $a$ y cuál es el margen de tolerancia $k$.
2. b) Por el contrario, una botella se considera defectuosa y se rechaza si no cumple dicho estándar. Escribe la inecuación con valor absoluto que describe a las botellas rechazadas y expresa el conjunto de volúmenes defectuosos como la unión de dos intervalos disjuntos.

Resuelve la inecuación de primer grado con fracciones y paréntesis:

$\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$

Resuelve la inecuación de segundo grado $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Expresa la solución como un intervalo.

Encuentra la solución del siguiente sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$

Escribe el sistema de inecuaciones con dos incógnitas cuya solución corresponde a la región sombreada en la siguiente figura.

Un agricultor quiere envasar su producción de aceite. Sabiendo que dispone de botellas de $2$ litros y de $5$ litros, y que tiene estrictamente menos de $100$ litros de aceite, escribe una inecuación lineal con dos incógnitas que modele esta situación. Si ya ha llenado $10$ botellas de $5$ litros, ¿cuántas botellas de $2$ litros puede llenar como máximo?

La base de un rectángulo mide $5$ cm más que su altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser mayor que $30$ cm pero su área no puede exceder los $150$ cm$^2$, ¿entre qué valores se encuentra la medida de la altura?

Resuelve la siguiente inecuación racional, estudiando el signo en los intervalos correspondientes:

$\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$

Para aprobar una asignatura, un alumno debe tener una nota media de al menos $5$ puntos en los tres exámenes del trimestre. Si en los dos primeros exámenes ha obtenido un $3,5$ y un $4,2$, ¿qué nota deberá sacar en el tercer examen para aprobar? (La nota máxima es $10$).

Para desplazarse a su colegio y a las actividades extraescolares durante el mes de octubre, Lucía valora dos opciones de transporte público:

• Opción A (Tarjeta recargable): paga $2,50$ bolivianos por la tarjeta soporte física (pago único) y $1,35$ bolivianos por cada viaje individual realizado.

• Opción B (Pase mensual para jóvenes): tarifa plana de $21,40$ bolivianos al mes con viajes ilimitados.

1. a) Estima: sin plantear ecuaciones, calcula mentalmente el costo de 10 y de 20 viajes con la Opción A y estima entre qué decenas de viajes se encontrará el momento en el que el pase para jóvenes empiece a ser más rentable. Explica tu estimación.
2. b) Calcula: plantea una inecuación donde la incógnita $x$ sea el número entero de viajes necesarios para que la Opción B resulte estrictamente más económica que la Opción A. Resuélvela paso a paso.
3. c) Comprueba: determina el número mínimo exacto de viajes con el que ya conviene adquirir el pase y compara este resultado con tu estimación previa. Si Lucía prevé realizar solo 12 viajes en todo el mes, ¿qué opción le aconsejarías elegir?

La Dirección General de Tráfico (DGT) advierte de que sobre asfalto mojado la distancia de frenado aumenta notablemente. Para un turismo, la distancia de frenado $d$ (en metros) en función de la velocidad de circulación $v$ (en km/h) puede modelizarse mediante la fórmula aproximada:

$d = 0,005 \cdot v^2 + 0,2 \cdot v$

En un tramo escolar urbano con lluvia, la distancia máxima disponible para frenar ante un imprevisto sin rebasar el paso de peatones es de $30$ metros (es decir, $d \le 30$).

1. a) Modela la situación planteando una inecuación de segundo grado con respecto a la velocidad $v$.
2. b) Transforma la inecuación para tener un cero en el segundo miembro, halla las raíces de la ecuación cuadrática asociada y construye la tabla de signos correspondiente para determinar su conjunto solución matemático.
3. c) Interpreta el intervalo obtenido atendiendo a la realidad física del problema: ¿cuál es el rango de velocidades seguras a las que puede circular el vehículo? Justifica por qué el intervalo matemático debe acotarse por la izquierda.

Determina los valores del parámetro $m$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - mx + 9 > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.

Resuelve la inecuación polinómica de grado superior factorizando previamente el polinomio:

$x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$

Resuelve la inecuación racional, prestando atención a operar correctamente antes de estudiar los signos (recuerda que no puedes eliminar denominadores que contengan la incógnita):

$\frac{x + 1}{x - 2} > \frac{1}{2}$

Una pequeña empresa fabrica dos tipos de auriculares inalámbricos: el modelo Alfa y el modelo Beta. El modelo Alfa requiere $3$ horas de montaje y $1$ hora de calibración, mientras que el modelo Beta requiere $2$ horas de montaje y $2$ horas de calibración. La empresa dispone de un máximo de $120$ horas para montaje y $80$ horas para calibración a la semana. Plantea el sistema de inecuaciones que define la región factible e indica si sería posible fabricar $20$ auriculares Alfa y $25$ auriculares Beta en una semana.

Observa la siguiente región factible acotada (un triángulo) y determina el sistema de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas que la define.

Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 30t - 5t^2$. ¿Durante qué intervalo de tiempo el cohete se encontrará a una altura estrictamente superior a $25$ metros?

Resuelve la siguiente inecuación que combina valor absoluto y polinomios de segundo grado:

$|x^2 - 5x| < 6$

Una dieta equilibrada requiere que la ingesta diaria de dos alimentos, $A$ y $B$, aporte al menos $60$ g de proteínas y no supere los $80$ g de grasas. Cada porción de $100$ g del alimento $A$ contiene $15$ g de proteínas y $10$ g de grasas. Cada porción de $100$ g del alimento $B$ contiene $10$ g de proteínas y $20$ g de grasas. Si llamamos $x$ e $y$ al número de porciones de $100$ g de los alimentos $A$ y $B$ consumidas respectivamente, plantea el sistema de inecuaciones y averigua si es posible consumir exactamente $3$ porciones de $A$ y $2$ porciones de $B$ cumpliendo las restricciones.

Para resolver la inecuación cuadrática $x^2 - 2x - 8 \le 0$, dos compañeros proponen estrategias distintas:

• Método A (Algebraico): calcular las raíces de $x^2 - 2x - 8 = 0$, factorizar como $(x - 4)(x + 2) \le 0$, separar la recta real en tres tramos y elaborar una tabla de signos evaluando puntos de prueba.

• Método B (Geométrico / Funcional): interpretar la expresión como la función parabólica $y = x^2 - 2x - 8$, observar que sus ramas se abren hacia arriba ($a = 1 > 0$) y que corta al eje $X$ en sus raíces, deduciendo visualmente el tramo donde la curva queda por debajo o sobre el eje ($y \le 0$).

1. a) Resuelve la inecuación por ambos métodos y comprueba que se obtiene el mismo conjunto solución.
2. b) Justifica cuál de los dos caminos consideras más eficiente y con menor riesgo de errores de cálculo con signos en un examen.
3. c) Considera ahora la inecuación $x^2 - 2x + 5 \le 0$. Al calcular sus raíces se comprueba que el discriminante es negativo (no existen raíces reales). Explica cómo el Método B permite deducir la solución de forma prácticamente inmediata sin recurrir a tablas de signos, y determina razonadamente cuál es la solución de esta inecuación.

Dado el siguiente sistema de inecuaciones lineales con una incógnita en el que figura un parámetro real $k$:

$\begin{cases} 2(x - 1) < x + 3 \\ 3x + k \ge 7 \end{cases}$

1. a) Resuelve la primera inecuación de forma aislada y expresa su solución como un intervalo abierto.
2. b) Despeja la incógnita $x$ en la segunda inecuación en función del parámetro $k$. A continuación, resuelve el problema inverso: determina qué valor exacto debe tomar $k$ para que la solución final del sistema (la intersección de ambas inecuaciones) sea exactamente el intervalo semiabierto $[-1, 5)$.
3. c) Analiza qué sucede si se varía el valor de $k$: ¿para qué valores de $k$ el sistema resulta incompatible (no tiene ninguna solución)? Justifica tu conclusión apoyándote en la representación gráfica de intervalos sobre la recta real y en la definición de intersección de conjuntos.