Ejercicios: Ecuaciones de segundo grado

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:

$4x^2 - 64 = 0$

Calcula las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta extrayendo factor común:

$3x^2 + 15x = 0$

Aplica la fórmula general para encontrar las raíces de la siguiente ecuación de segundo grado completa:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Determina si la ecuación $2x^2 + 3x + 5 = 0$ tiene solución en el conjunto de los números reales calculando previamente el valor de su discriminante $\Delta$.

Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación que ya se encuentra factorizada, sin necesidad de desarrollar el producto:

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Escribe una ecuación de segundo grado en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabiendo que sus únicas soluciones son $x_1 = 3$ y $x_2 = -8$.

Halla el valor del coeficiente $c$ en la ecuación $x^2 + 4x + c = 0$ para que esta tenga una única solución real doble.

El cuadrado de un número natural menos su triple es exactamente igual a $18$. Plantea una ecuación de segundo grado y calcula de qué número se trata.

Lucas está resolviendo la ecuación $2x^2 - 10x = 0$ en la pizarra y realiza los siguientes pasos en su cuaderno:

Al consultar el solucionario del libro, comprueba sorprendido que la ecuación tiene en realidad dos soluciones: $x_1 = 0$ y $x_2 = 5$.

1. a) Explica con precisión matemática qué error conceptual cometió Lucas al dividir ambos miembros entre la incógnita $x$ y por qué esa operación eliminó una de las soluciones válidas.
2. b) Resuelve la ecuación correctamente mediante extracción de factor común y justifica cada paso aplicando la propiedad del producto cero.

Se desea construir una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ cuyas soluciones exactas sean $x_1 = -\frac{3}{2}$ y $x_2 = 4$.

1. a) Aplica las fórmulas de Cardano-Vieta para deducir el valor exacto de la suma ($S = x_1 + x_2$) y del producto ($P = x_1 \cdot x_2$) de las soluciones en forma de fracción irreducible.
2. b) Escribe una ecuación equivalente que tenga coeficientes enteros ($a, b, c \in \mathbb{Z}$), sin denominadores, con $a > 0$ y tales que los coeficientes no compartan factores comunes (es decir, que sean primos entre sí).
3. c) ¿Es la ecuación obtenida en el apartado anterior la única ecuación de segundo grado del mundo que tiene exactamente esas dos soluciones? Justifica tu respuesta razonando qué ocurre al multiplicar todos los coeficientes por una constante $k \neq 0$.

Para reformar el salón rectangular de una vivienda, el arquitecto indica que el largo mide $2\text{ m}$ más que el ancho. Si la superficie total del salón es de $35\text{ m}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula las dimensiones exactas de la estancia.

Un ingeniero aeroespacial lanza un cohete de prueba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 40t - 5t^2$. Determina en qué instantes de tiempo el cohete se encuentra exactamente a $75\text{ m}$ de altura.

Desarrolla los productos notables, agrupa los términos semejantes y resuelve la siguiente ecuación:

$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$

La venta de entradas del musical del colegio deja un beneficio $B$ (en decenas de bolivianos) que depende del número de entradas vendidas $x$ (en decenas) según la ecuación $B(x) = -x^2 + 50x - 400$. Calcula cuántas entradas deben vender exactamente para que el beneficio sea nulo (el punto de equilibrio).

Determina el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación $3x^2 - kx + 12 = 0$ tenga una única solución real doble.

En una rampa de patinaje con forma de triángulo rectángulo, el cateto mayor mide $7\text{ m}$ más que el cateto menor, y la hipotenusa mide $2\text{ m}$ más que el cateto mayor. Plantea una ecuación de segundo grado utilizando el teorema de Pitágoras y calcula la longitud de los tres lados de la rampa.

Resuelve la siguiente ecuación operando previamente con fracciones algebraicas. Asegúrate de comprobar las soluciones obtenidas para descartar posibles raíces falsas que anulen los denominadores:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$

Sabiendo que una de las soluciones de la ecuación $2x^2 + bx - 15 = 0$ es $x_1 = 3$, calcula sin resolver completamente la ecuación el valor de la otra solución $x_2$ y el valor del coeficiente $b$.

Para resolver la ecuación $(3x - 1)^2 - 25 = 0$, Alba y Mateo proponen estrategias distintas:

• Alba propone desarrollar la identidad notable del binomio, restar $25$, agrupar términos en la forma general canónica $ax^2 + bx + c = 0$ y aplicar la fórmula general con el discriminante.

• Mateo propone despejar directamente la potencia, escribiendo $(3x - 1)^2 = 25$, y extraer la raíz cuadrada a ambos miembros considerando el doble signo $\pm$.

1. a) Resuelve la ecuación siguiendo paso a paso el procedimiento de Alba y después el de Mateo, comprobando que ambos conducen a las mismas soluciones.
2. b) Compara los dos caminos y justifica cuál de ellos es más eficiente y presenta menor riesgo de cometer errores de cálculo (signos, operaciones con números grandes).
3. c) ¿Sería aplicable de forma directa el método abreviado de Mateo para resolver la ecuación $(3x - 1)^2 - 6x = 25$? Justifica por qué sí o por qué no.

Según los estudios técnicos de la Dirección General de Tráfico (DGT), la distancia total de detención $d$ (en metros) de un turismo sobre asfalto seco en función de la velocidad $v$ (en $\text{km/h}$) a la que circula se aproxima mediante el modelo cuadrático:

donde $0,3v$ corresponde a la distancia recorrida durante el tiempo de reacción del conductor y $0,005v^2$ a la frenada mecánica. La Policía Local investiga un siniestro en una avenida urbana cuyo límite genérico es de $50\text{ km/h}$ y halla una huella de detención total de $36\text{ m}$.

1. a) Estima: Antes de resolver la ecuación, calcula mentalmente o con tanteo rápido qué distancia requeriría detenerse a $50\text{ km/h}$ y a $70\text{ km/h}$. A partir de esos valores, acota entre qué decenas de $\text{km/h}$ debe encontrarse la velocidad del vehículo.
2. b) Plantea la ecuación cuadrática correspondiente a $d = 36\text{ m}$ y resuélvela mediante la fórmula general para obtener el valor numérico exacto de $v$.
3. c) Comprueba: Descarta con criterio físico una de las soluciones matemáticas obtenidas y determina si el vehículo superaba el límite legal de velocidad, contrastando el resultado con tu estimación previa.

Una fotografía rectangular de dimensiones $20\text{ cm}$ de base por $15\text{ cm}$ de altura se va a enmarcar con un paspartú de anchura uniforme $x$. Si el área total del conjunto (fotografía más paspartú) debe ser exactamente de $500\text{ cm}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula la anchura $x$ del paspartú.

En una liga de voleibol, cada equipo juega exactamente un partido contra todos los demás. Sabiendo que el número total de partidos disputados en un torneo de $n$ equipos viene dado por la fórmula $\frac{n(n-1)}{2}$, y que al finalizar la temporada se han disputado un total de $105$ partidos, plantea la ecuación correspondiente y averigua cuántos equipos participaron en la liga.

Dos mangueras de distinto grosor llenan juntas un depósito de agua en $6\text{ horas}$. Si se utilizara solo una de ellas, la manguera de menor grosor tardaría $5\text{ horas}$ más que la manguera gruesa en llenar el depósito por sí sola. Plantea una ecuación cuadrática sumando las fracciones de depósito que llena cada manguera en una hora, y calcula cuánto tiempo tardaría cada manguera trabajando individualmente.

Discute, en función de los diferentes valores del parámetro $m$, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación de segundo grado:

$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$

Asegúrate de analizar qué ocurre cuando el discriminante es positivo, nulo o negativo, y no olvides el caso especial en el que el coeficiente principal se anula.

Un escultor quiere dividir una varilla de latón de $1\text{ metro}$ de longitud en dos trozos de longitudes $x$ y $1-x$ (siendo $x$ el trozo mayor, es decir, $x > 1-x$). Desea hacerlo de tal forma que la proporción entre la varilla completa y el trozo mayor sea igual a la proporción entre el trozo mayor y el trozo menor. Plantea la ecuación correspondiente y halla el valor exacto de $x$.

El área de un rectángulo es de $60\text{ cm}^2$ y la longitud de su diagonal es de $13\text{ cm}$. Llamando $x$ a la base e $y$ a la altura, expresa $y$ en función de $x$ usando el dato del área. A continuación, sustituye en el teorema de Pitágoras para la diagonal y resuelve la ecuación bicuadrada resultante para hallar las dimensiones exactas del rectángulo.

Resuelve la siguiente ecuación en la que aparece un radical, aislando primero la raíz y elevando al cuadrado ambos miembros. Es obligatorio comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación original para descartar posibles raíces falsas:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Un grupo de estudiantes alquila un bus para una excursión por un costo total de $\text{Bs}\ 2\,800$. A última hora se suman $5$ estudiantes más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente tenga que pagar $\text{Bs}\ 28$ menos. Plantea una ecuación cuadrática para calcular cuántos estudiantes iban a ir al principio y resuélvela.

Una cooperativa olivarera de Tarija dedicada a la producción de Aceite de Oliva Virgen Extra (AOVE) gestiona una finca con una densidad estándar de $120$ olivos por hectárea, obteniendo una cosecha media de $50\text{ kg}$ de aceituna por árbol al año. Los técnicos agrícolas advierten que, por cada olivo adicional $x$ que se plante por hectárea, la competencia por el agua y los nutrientes del suelo reduce la producción media de cada árbol en $0,25\text{ kg}$.

1. a) Escribe la expresión algebraica de la producción total por hectárea en función del número de árboles añadidos $x$, multiplicando el número total de olivos por el rendimiento de aceituna por árbol.
2. b) La cooperativa planifica la campaña para recolectar un total de $6\,375\text{ kg}$ de aceituna por hectárea. Plantea la ecuación de segundo grado correspondiente, ordénala en su forma canónica $ax^2 + bx + c = 0$ y calcula los dos posibles valores de $x$.
3. c) El modelo algebraico proporciona dos soluciones reales positivas. Interpreta el significado práctico de cada una de ellas y justifica razonadamente cuál de las dos opciones le conviene adoptar a la cooperativa si su meta es minimizar costos de poda, recolección y consumo de agua.

Considera la siguiente familia de ecuaciones donde interviene un parámetro real $k$:

1. a) Un alumno afirma que si $k = 2$, la ecuación carece por completo de solución porque al aplicar la fórmula cuadrática el denominador $2a$ se anula ($2 \cdot 0 = 0$). Rebate razonadamente su afirmación explicando qué tipo de ecuación se obtiene en realidad al sustituir $k = 2$ y calcula su solución.
2. b) Para los casos en los que $k \neq 2$, calcula la expresión simplificada del discriminante $\Delta$ en función de $k$ y determina formalmente para qué valores del parámetro la ecuación tiene dos soluciones reales distintas, una solución real doble o ninguna solución real.
3. c) Sin necesidad de calcular las soluciones de la ecuación, utiliza de manera justificada las relaciones de Cardano-Vieta para averiguar si existe algún valor de $k$ que haga que las dos raíces sean simétricas u opuestas ($x_1 + x_2 = 0$). En caso afirmativo, determina dicho valor de $k$, comprueba si sus raíces son reales y halla el valor de ambas soluciones.