Ejercicios: Cálculo de determinantes

Un joven streamer está analizando el crecimiento de su canal. Para comparar el impacto de dos de sus videos, organiza los datos de "Likes" y "Compartidos" en una matriz $A$ de orden $2 \times 2$. Calcula el determinante de la matriz $A$ para obtener un índice de repercusión:

Calcula el valor del determinante de la matriz $B$ utilizando la Regla de Sarrus. Esta matriz representa el inventario de componentes (chips, pantallas y baterías) de tres almacenes de una tienda tecnológica:

En un videojuego de estrategia, el poder de un ataque mágico se calcula resolviendo una ecuación basada en un determinante. Halla el valor de $x$ para que el siguiente determinante sea igual a $0$:

Sin realizar cálculos complejos, justifica por qué los siguientes determinantes valen $0$ utilizando las propiedades de los determinantes:

1. a) $D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 4 \end{vmatrix}$

1. b) $D_2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 4 \\ 10 & 20 & 30 \end{vmatrix}$

1. c) $D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix}$

Una empresa de logística utiliza una matriz triangular superior para organizar sus rutas de entrega de manera eficiente. Calcula el determinante de la matriz $L$ sabiendo que para este tipo de matrices el cálculo se simplifica enormemente:

Dada la matriz $M$, calcula su menor complementario $\alpha_{21}$ y su adjunto $A_{21}$:

Sabemos que el determinante de una matriz $A$ de orden $2 \times 2$ es $|A| = 5$. Si multiplicamos todos los elementos de la segunda fila por $3$, ¿cuál será el valor del nuevo determinante? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades.

En un programa de diseño gráfico, el área de un triángulo con un vértice en el origen $(0,0)$ y los otros dos en $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ se puede calcular como la mitad del valor absoluto del determinante formado por sus coordenadas. Calcula el área del triángulo formado por los puntos $(0,0)$, $(4, 2)$ y $(1, 5)$.

Mateo debe calcular el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$. Para ahorrar tiempo, observa que la segunda fila tiene dos ceros y decide desarrollar por Laplace a lo largo de dicha fila. Su desarrollo escrito es:

Convencido de su método, en el siguiente ejercicio aplica exactamente la misma regla para calcular el determinante de la matriz $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}$, desarrollando por la tercera fila:

Al corregirle, su profesora le indica que el valor obtenido para $|A|$ fue casualmente correcto debido a la posición del elemento, pero que en $|B|$ ha cometido un error conceptual importante.

a) Identifica el error conceptual cometido por Mateo al calcular $|B|$, explicando con la definición de adjunto ($A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \alpha_{ij}$) qué elemento ha omitido.

b) Justifica por qué en la matriz $A$ su procedimiento no alteró el resultado numérico final.

c) Corrige el cálculo de $|B|$ e indica su valor real.

Para calcular el determinante de la matriz de orden $4 \times 4$:

se proponen dos caminos distintos:

• Estrategia 1: Realizar operaciones elementales entre filas por el método de Gauss hasta conseguir una matriz triangular superior y multiplicar los elementos de la diagonal principal.

• Estrategia 2: Aplicar el desarrollo por Laplace a través de los adjuntos de la segunda fila, reduciendo el cálculo directamente a un determinante de orden 3.

a) Compara ambas estrategias y razona cuál es notablemente más rápida y eficiente para esta matriz concreta en función del número de ceros que contiene.

b) Siguiendo la estrategia que has seleccionado como preferente, calcula razonadamente el determinante de $M$ mostrando con detalle los cálculos intermedios.

Dada la matriz cuadrada $A$ de orden 3, se sabe que su determinante es $|A| = -2$. Utiliza las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de:

a) $|A^3|$

b) $|3 \cdot A^t|$

c) $|A^{-1} \cdot (2A)|$

d) El determinante de la matriz resultante de intercambiar las dos primeras filas de $A$ y multiplicar la tercera fila por $-5$.

Halla todos los valores reales de $x$ para los que se satisface la siguiente igualdad entre determinantes:

Calcula el valor del determinante de la matriz $M$ de orden 4 transformándola previamente en una matriz triangular superior mediante el método de Gauss (haciendo ceros bajo la diagonal principal):

Sabiendo que el determinante de una matriz cuadrada $B$ de orden 3 es:

Calcula, sin desarrollar por Sarrus, el valor del determinante de la matriz $C$:

Determina para qué valores del parámetro real $k$ la matriz $A$ no tiene inversa. Para ello, iguala su determinante a cero y resuelve la ecuación resultante:

En el desarrollo de un videojuego de estrategia, la posición de tres unidades en el mapa viene dada por las filas de una matriz. El determinante de dicha matriz indica el área de influencia del batallón. Calcula el valor de $a$ para que el área de influencia sea nula (unidades alineadas o linealmente dependientes) en el siguiente sistema:

Nota: Este es un determinante de tipo Vandermonde. Intenta simplificarlo usando propiedades de las columnas antes de calcularlo.

Calcula el valor del siguiente determinante de orden 4 desarrollando por los elementos de la fila o columna que consideres más adecuada (Método de Laplace):

Resuelve la ecuación matricial $|X| = 0$, donde $X = A - \lambda I$, siendo $A$ la matriz dada e $I$ la matriz identidad de orden 3. Halla los valores de $\lambda$ que anulan el determinante (valores propios):

Se desea diseñar una matriz $A = (a_{ij})$ de orden $3 \times 3$ con coeficientes enteros no negativos ($a_{ij} \in \{0, 1, 2, \dots\}$) destinada a un algoritmo de encriptación, sujeta a las siguientes condiciones simultáneas:

1. La matriz $A$ es triangular superior (es decir, $a_{ij} = 0$ siempre que $i > j$).

2. La suma de los tres elementos de su diagonal principal es igual a $7$.

3. Su determinante vale exactamente $|A| = 12$.

4. El adjunto del elemento $a_{11}$ vale $A_{11} = 6$.

a) Deduce razonadamente el valor unívoco de $a_{11}$ a partir de las propiedades del determinante de una matriz triangular y del menor complementario asociado.

b) Determina los posibles valores de los restantes elementos diagonales $a_{22}$ y $a_{33}$.

c) Escribe una matriz concreta $A$ que cumpla todas las condiciones exigidas y comprueba explícitamente mediante el producto de su diagonal y el cálculo de $A_{11}$ que los resultados coinciden con los datos prefijados.

Un equipo técnico de la empresa pública Tragsa está elaborando un informe para el Catastro sobre una parcela de olivar en la provincia de Jaén. En el plano topográfico oficial, los linderos de la finca determinan un triángulo cuyos tres vértices tienen coordenadas $A(1, 1)$, $B(7, 3)$ y $C(3, 8)$ (medidas en hectómetros, $\text{hm}$).

En cartografía, el área de una región triangular plana con vértices $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ y $(x_3, y_3)$ se calcula mediante la expresión:

a) Para calcular $|M|$ de forma eficiente sin recurrir a la regla de Sarrus, aplica operaciones elementales entre filas ($F_2 \to F_2 - F_1$ y $F_3 \to F_3 - F_1$) para generar dos ceros en la tercera columna, y desarrolla después por los adjuntos de dicha columna.

b) Calcula el área resultante de la parcela e interpreta el resultado expresándolo en hectáreas ($1\text{ hm}^2 = 1\text{ ha}$).

c) El propietario colindante sostiene que una caseta de riego situada en las coordenadas $D(5, 2)$ se encuentra alineada exactamente sobre el lindero recto que une $A$ y $B$. Plantea el determinante correspondiente para comprobar la alineación y concluye razonadamente si la afirmación es cierta o falsa sin dibujar los puntos.

Sea la matriz $A = (a_{ij})$ de orden $3 \times 3$ definida por $a_{ij} = i + j$. Considera también una matriz $B$ tal que su determinante es $|B| = 2$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcula de forma razonada el valor del determinante de la matriz $M$, siendo:

Argumenta si el resultado obtenido permite afirmar que la matriz $M$ tiene inversa.

En el diseño de un componente aeronáutico, la estabilidad estructural viene dada por el determinante de una matriz de tensiones $T$. Se sabe que el determinante de la siguiente matriz depende de un parámetro de carga $k$:

1. a) Calcula el valor del determinante en función de $k$ utilizando las propiedades de los determinantes para simplificar el cálculo (evita el desarrollo directo por Sarrus).
2. b) Determina para qué valores de $k$ el componente es inestable ($|T| = 0$).
3. c) Si $k=3$, ¿qué relación existe entre las filas de la matriz?

Un sistema de posicionamiento GPS utiliza cuatro satélites para triangular una posición en el espacio. El volumen del tetraedro formado por los cuatro satélites está relacionado con el valor absoluto del determinante de la matriz de sus coordenadas. Calcula razonadamente el valor del siguiente determinante de orden 4, que representa una configuración específica de estos satélites:

Expresa el resultado como un polinomio en $a$ simplificado al máximo.

Dada la matriz dependiente de un parámetro real $\lambda$:

1. a) Halla los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A(\lambda)$ no tiene inversa.
2. b) Para $\lambda = 0$, resuelve la ecuación matricial $A \cdot X \cdot A^t = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Calcula $|X|$ de forma indirecta antes de hallar la matriz $X$.

Sea $C_1, C_2, C_3$ las tres columnas de una matriz cuadrada $M$ de orden 3, tales que su determinante es $|M| = -5$. Calcula, justificando cada paso con la propiedad correspondiente, el valor del determinante de la matriz cuyas columnas son:

En una red de telecomunicaciones, la capacidad de flujo se modela mediante el determinante de la matriz de adyacencia $W$. Se define $W$ como:

1. a) Demuestra, sin desarrollar el determinante por la regla de Sarrus, que $W = (b-a)(c-a)(c-b)$.
2. b) Si los nodos $a, b, c$ representan frecuencias de transmisión, ¿qué condición deben cumplir para que el determinante sea distinto de cero? Justifica la importancia de esta condición para la independencia de las señales.

Resuelve la siguiente ecuación de tercer grado utilizando las propiedades de los determinantes para factorizar el polinomio resultante:

Indica paso a paso las operaciones elementales realizadas sobre las filas o columnas.

Estudia el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los valores de los parámetros reales $m$ y $n$:

Para el caso en que $m=1$ y $n=2$, calcula el determinante de la matriz adjunta de $A$, es decir, $|Adj(A)|$, sin calcular previamente los elementos de la matriz adjunta. (Pista: utiliza la relación entre una matriz, su adjunta y su determinante).

Considera la matriz simétrica de orden $4 \times 4$:

a) Estima: Si todos los elementos fuera de la diagonal principal fuesen ceros, la matriz resultante sería diagonal y su determinante valdría $4^4 = 256$. Razona conceptualmente si esperas que el determinante real $|C|$ sea mayor o menor que $256$, considerando que la presencia de valores positivos fuera de la diagonal hace que las filas sean "más dependientes" entre sí.

b) Calcula: Para triangularizar la matriz sin introducir fracciones:

1. Sustituye la primera fila por la suma de las cuatro filas ($F_1 \to F_1 + F_2 + F_3 + F_4$) y extrae fuera del determinante el factor común que resulte.

2. En la matriz que queda, resta la primera fila a cada una de las demás ($F_i \to F_i - F_1$ para $i = 2, 3, 4$) para obtener una matriz triangular superior.

3. Obtén el valor numérico exacto de $|C|$ multiplicando los elementos de la diagonal.

c) Comprueba y generaliza: Compara el valor exacto con tu estimación inicial. A continuación, generaliza el razonamiento para deducir una fórmula cerrada para el determinante de una matriz de orden $n \times n$ que tenga el valor $k$ en toda la diagonal principal y el valor $1$ en todas las posiciones restantes.

Se considera la matriz de orden $4 \times 4$ dependiente del parámetro real $k$:

Dos alumnos discuten la mejor estrategia para calcular $|A(k)|$ y analizar para qué valores de $k$ la matriz carece de inversa:

• Álvaro propone triangularizar por Gauss dividiendo la primera fila por $k$ para eliminar los unos de la primera columna.

• Beatriz sostiene que dividir por $k$ es problemático si no se analiza el caso $k = 0$ por separado, y defiende que desarrollar por Laplace por filas o columnas con ceros (o restar filas entre sí) evita cualquier división por el parámetro.

a) Justifica por qué la propuesta de Álvaro es metodológicamente incompleta si no distingue casos, explicando el riesgo algebraico de realizar operaciones elementales que impliquen dividir entre una expresión paramétrica.

b) Siguiendo la estrategia de Beatriz, calcula $|A(k)|$ mediante el método de Laplace o combinaciones de filas que no requieran dividir, detallando los menores adjuntos calculados hasta obtener el polinomio factorizado en función de $k$.

c) Determina todos los valores reales de $k$ para los cuales la matriz $A(k)$ no es invertible, analizando qué ocurre con el rango de la matriz cuando $k = 0$.