Ejercicios: Álgebra de matrices usando determinantes

En una excavación arqueológica, se han registrado las coordenadas de tres puntos clave que forman un sector de búsqueda. Para calcular el área de este sector, primero necesitamos obtener el valor del determinante de la siguiente matriz de posición $A$:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Calcula el valor de $|A|$ utilizando la regla de Sarrus.

Una empresa de mensajería utiliza un sistema de codificación basado en matrices. Para que un mensaje sea "desencriptable", la matriz utilizada $M$ debe ser inversible.

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} k & 4 \\ 1 & k \end{pmatrix}$, determina para qué valores del parámetro real $k$ la matriz no tiene inversa (es decir, es una matriz singular).

Sin realizar el desarrollo completo de la matriz, aplica las propiedades de los determinantes para justificar por qué el siguiente determinante es igual a $0$:

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 15 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

(Pista: Observa la relación entre la primera y la segunda fila).

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = -2$. Utiliza las propiedades de los determinantes para calcular los siguientes valores:

1. a) $|A^t|$ (determinante de la traspuesta).
2. b) $|A^{-1}|$ (determinante de la inversa).
3. c) $|3A|$ (determinante de la matriz multiplicada por el escalar $3$).

Calcula la matriz inversa $A^{-1}$ de la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ utilizando el método de la matriz adjunta:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$

Sigue estos pasos:

1. Halla el determinante $|A|$.

2. Calcula la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$.

3. Realiza la traspuesta y divide por el determinante.

Determina el rango de la siguiente matriz $B$ estudiando sus menores:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$

Indica razonadamente si el rango es $1$, $2$ o $3$.

Resuelve la siguiente ecuación matricial para hallar la matriz incógnita $X$:

$A \cdot X = B$

Donde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

(Recuerda: $X = A^{-1} \cdot B$. Debes calcular primero $A^{-1}$).

Calcula el valor del determinante de la siguiente matriz $4 \times 4$ desarrollando por los elementos de la segunda fila (aquella que tiene más ceros):

$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}$

En un examen de Matemáticas II, Mateo resuelve el siguiente ejercicio:

«Sabiendo que $A$ es una matriz cuadrada de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = -2$, calcula razonadamente el valor de $|-2\cdot A^{-1}|$ y de $|\operatorname{Adj}(A)|$.»

El desarrollo que escribe Mateo es el siguiente:

1) Para el primer determinante: $|-2\cdot A^{-1}| = -2\cdot |A^{-1}| = -2\cdot \frac{1}{|A|} = -2\cdot \frac{1}{-2} = 1$.

2) Para el segundo determinante: Como se cumple la propiedad $A\cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A|\cdot I$, tomando determinantes a ambos lados obtengo $|\operatorname{Adj}(A)| = |A|\cdot |I| = -2\cdot 1 = -2$.

Realiza las siguientes tareas:

1. a) Localiza y explica de forma razonada los dos errores conceptuales cometidos por Mateo, indicando con precisión qué propiedad de los determinantes ha aplicado de forma errónea en cada apartado.
2. b) Corrige el desarrollo de Mateo y calcula los valores correctos de $|-2\cdot A^{-1}|$ y $|\operatorname{Adj}(A)|$ justificando cada paso mediante las propiedades correspondientes.
3. c) Deduce la fórmula general que relaciona $|\operatorname{Adj}(A)|$ con $|A|$ para cualquier matriz cuadrada invertible de orden $n$, partiendo de la identidad fundamental $A\cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A|\cdot I$.

Considera la matriz de Vandermonde $V$ asociada a los valores reales ordenados $x = -1$, $y = 2$ y $z = 4$:

$$V = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 16 \end{pmatrix}$$

1. a) Antes de realizar cualquier cálculo algebraico, estima razonadamente el signo de $|V|$ apoyándote en la posición relativa de los tres valores $x < y < z$ y en la estructura factorizada del determinante de Vandermonde $(y - x)(z - x)(z - y)$. Justifica si el determinante podría llegar a ser nulo o negativo sin alterar el orden de las filas.
2. b) Calcula el valor numérico exacto de $|V|$ utilizando las transformaciones elementales por filas necesarias para hacer ceros en la primera columna, comprobando si coincide con el resultado de la expresión factorizada.
3. c) Si a partir de $V$ se construye una nueva matriz $W$ intercambiando su primera y tercera fila, y multiplicando posteriormente la segunda fila por $-3$: estima el signo del nuevo determinante $|W|$ antes de calcularlo y comprueba tu estimación aplicando las propiedades de los determinantes sobre el resultado obtenido en el apartado b).

Sabiendo que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 es $|A| = -2$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular, de forma razonada, el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|A^t \cdot A|$

1. b) $|3A^{-1}|$

1. c) El determinante de la matriz resultante de multiplicar la primera fila de $A$ por $5$, intercambiar la segunda y tercera filas, y trasponer la matriz.

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$:

1. a) Determina los valores del parámetro real $k$ para los que la matriz $M$ es singular (no tiene inversa).

1. b) Para el valor $k = 0$, calcula la matriz inversa $M^{-1}$ utilizando el método de la matriz adjunta.

Resuelve la siguiente ecuación matricial $A \cdot X \cdot B = C$, donde las matrices $A$, $B$ y $C$ son:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$

Justifica previamente que las matrices $A$ y $B$ son invertibles calculando sus determinantes.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcula el determinante de $A$ en función del parámetro $m$.

1. b) Determina el rango de la matriz $A$ según los valores de $m$.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, calcula:

1. a) El determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus.

1. b) La matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$.

1. c) Comprueba que se cumple la propiedad $A \cdot \text{Adj}(A)^t = |A| \cdot I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Se sabe que una matriz cuadrada $B$ verifica la ecuación $B^2 - 3B + 2I = O$, donde $I$ es la matriz identidad y $O$ es la matriz nula.

1. a) Demuestra que $B$ es una matriz regular (tiene inversa) y expresa $B^{-1}$ en función de $B$ e $I$.

1. b) Si $B$ es de orden 2 y su determinante es $|B| = 2$, ¿cuál es el determinante de la matriz adjunta de $B$, $|\text{Adj}(B)|$?

Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales para hallar las matrices $X$ e $Y$:

$\begin{cases} 2X + Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ X - Y = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{cases}$

Una vez halladas, calcula el determinante de la matriz producto $X \cdot Y$.

Una empresa de componentes electrónicos fabrica tres tipos de circuitos: $C_1$, $C_2$ y $C_3$. El costo de producción de cada circuito viene determinado por el determinante de la matriz de materiales $M$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{pmatrix}$

1. a) Sabiendo que $x$, $y$ y $z$ representan las cantidades de silicio, cobre y estaño respectivamente, demuestra que el determinante de esta matriz (Vandermonde) es $(y-x)(z-x)(z-y)$.

1. b) Si para un circuito concreto las cantidades son $x=1$, $y=2$ y $z=4$, ¿es la matriz $M$ invertible? Justifica tu respuesta usando el resultado del inciso anterior.

Se considera una matriz cuadrada invertible $A$ de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = -2$. Se desea determinar el valor del determinante de la matriz resultante $M = \operatorname{Adj}\big(2\cdot A^t \cdot A^{-1}\big)$.

Para resolver esta cuestión, dos estudiantes proponen estrategias opuestas:

• Camino A (Constructivo): Proponer una matriz diagonal concreta cuyo determinante sea $-2$ (por ejemplo, con elementos $1$, $1$ y $-2$ en la diagonal), calcular de forma explícita su traspuesta, su inversa, multiplicarlas por $2$, hallar los cofactores de la matriz resultante para construir su adjunta y finalmente calcular su determinante mediante la regla de Sarrus.

• Camino B (Estructural): Aplicar de forma encadenada las propiedades algebraicas de los determinantes (determinante del producto, de la traspuesta, de la inversa, extracción del escalar $2$ en dimensión $3$ y la propiedad del determinante de la matriz adjunta).

1. a) Analiza críticamente el Camino A: argumenta por qué calcular una matriz particular no constituye una demostración válida para cualquier matriz $A$ y qué riesgos algebraicos conlleva.
2. b) Aplica el Camino B deduciendo la expresión simplificada de $|M|$ en función de $|A|$ y del orden $n=3$, mostrando detalladamente qué propiedad interviene en cada igualdad.
3. c) Obtén el valor numérico final de $|M|$ y explica la razón por la cual este resultado no depende del valor concreto $|A| = -2$, siempre que $|A| \neq 0$.

Red Eléctrica de España (REE) monitoriza la producción de energía solar fotovoltaica en una planta de Castilla-La Mancha durante tres momentos de una jornada estival: a las $t_1 = 10$ h se registran $16\text{ MW}$, a las $t_2 = 13$ h se alcanzan $25\text{ MW}$ (pico de radiación) y a las $t_3 = 16$ h la producción desciende a $16\text{ MW}$. Para ajustar una curva continua de predicción cuadrática de la forma $P(t) = a\cdot t^2 + b\cdot t + c$:

1. a) Plantea el modelo en forma de sistema matricial $M\cdot X = Y$, donde el vector de incógnitas es $X = \begin{pmatrix} c \\ b \\ a \end{pmatrix}$, el vector de términos independientes es $Y = \begin{pmatrix} 16 \\ 25 \\ 16 \end{pmatrix}$ y la matriz de coeficientes $M$ tiene filas de la forma $(1, t_i, t_i^2)$.
2. b) Demuestra que $M$ es una matriz de Vandermonde y calcula su determinante $|M|$ mediante transformaciones elementales por filas (restando a cada fila la anterior), sin desarrollar directamente por la regla de Sarrus.
3. c) Interpreta el significado matemático de que $|M| \neq 0$: ¿qué garantiza este hecho sobre la existencia y unicidad de la parábola de predicción? ¿Qué ocurriría con la invertibilidad de $M$ si una falla en el sensor duplicara la toma de datos a la misma hora ($t_2 = t_1$)?

Se considera la matriz de orden 4 dependiente del parámetro real $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+k & 1 \\ k & k & k & k^2 \end{pmatrix}$$

Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, realiza las siguientes tareas:

1. a) Halla el valor del determinante de $M$ en función de $k$, presentando el resultado de forma factorizada.

1. b) Determina los valores de $k$ para los cuales la matriz $M$ no tiene inversa.

1. c) Para el caso $k = 2$, calcula el valor del determinante de la matriz adjunta de $M$, es decir, $|Adj(M)|$, sin calcular explícitamente los elementos de dicha matriz adjunta.

Una empresa de logística utiliza un algoritmo de encriptación basado en el álgebra matricial para proteger sus rutas. La clave de seguridad es una matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación:

$$A \cdot X \cdot A^t = B - 2I$$

donde $I$ es la matriz identidad de orden 2 y las matrices $A$ y $B$ son:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 4 & 14 \end{pmatrix}$$

1. a) Justifica, utilizando determinantes, que la matriz $A$ es invertible.

1. b) Despeja la matriz $X$ en la ecuación anterior.

1. c) Calcula explícitamente la matriz $X$.

Dada la matriz cuadrada de orden $n$:

$$D_n = \begin{pmatrix} x & a & a & \dots & a \\ a & x & a & \dots & a \\ a & a & x & \dots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \dots & x \end{pmatrix}$$

1. a) Para el caso $n = 3$, demuestra que el determinante de la matriz es $|D_3| = (x+2a)(x-a)^2$.

1. b) Generaliza el resultado anterior para una matriz de orden $n$ y deduce la expresión de $|D_n|$ en función de $x, a$ y $n$.

1. c) Si $x = 5$ y $a = 2$, ¿para qué valores de $n$ la matriz $D_n$ sería singular?

Estudia el rango de la matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & b & 2 & 4 \\ 1 & 1 & a & 2 \end{pmatrix}$$

Para realizar el estudio, utiliza el método de los menores orlados y razona detalladamente bajo qué condiciones el rango es 1, 2 o 3.

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 tales que $|A| = 2$ y $|B| = -1$. Calcula, justificando cada paso con las propiedades de los determinantes, el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|(A^t \cdot B)^{-1}|$

1. b) $|3 \cdot A^2 \cdot Adj(B)|$

1. c) Si sabemos que una matriz $C$ verifica que $C^2 = C$ (matriz idempotente), demuestra que su determinante solo puede ser 0 o 1.

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$.

1. a) Determina los valores del parámetro $m$ para los que la matriz $A$ posee inversa.

1. b) Para $m = 2$, resuelve la ecuación matricial $X \cdot A - 2 \cdot Adj(A) = |A| \cdot I$, donde $Adj(A)$ es la matriz adjunta de $A$ e $I$ es la matriz identidad.

Sugerencia: Utiliza la relación fundamental entre una matriz y su adjunta: $A \cdot (Adj(A))^t = |A| \cdot I$.

En un sistema de control de tráfico aéreo, la posición de tres drones en un instante dado viene definida por las columnas de una matriz $P$. En el modelo simplificado que se utiliza, se considera que la configuración es segura solo si el determinante de $P$ no se anula. Dada la matriz:

$$P(k) = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$$

1. a) Calcula los valores de $k$ para los que los drones estarían en una configuración "crítica" (determinante nulo).

1. b) Para $k = 0$, comprueba si la matriz es invertible y, en caso afirmativo, halla su inversa $P^{-1}$ mediante el método de la matriz adjunta.

1. c) Demuestra que para cualquier valor de $k \neq 1$ y $k \neq -2$, se cumple que $P(k)$ es regular.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones matriciales para las matrices incógnitas $X$ e $Y$:

$$\begin{cases} 2X + Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$$

donde las matrices de coeficientes son:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Una vez halladas $X$ e $Y$:

1. a) Calcula $|X \cdot Y|$ y $|X + Y|$.
2. b) Determina si la matriz producto $X \cdot Y$ es invertible utilizando su determinante.

Se considera la familia de matrices cuadradas de orden $3$ dependientes de dos parámetros reales $a$ y $b$:

$$M(a, b) = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}$$

1. a) Utilizando exclusivamente propiedades de los determinantes, obtén la expresión completamente factorizada de $|M(a, b)|$. Determina las ecuaciones de las rectas del plano cartesiano $(a, b)$ que forman el conjunto de puntos donde la matriz $M(a, b)$ no es invertible.
2. b) PROBLEMA INVERSO: Encuentra todos los pares de números reales $(a, b)$ que satisfacen simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1. Se cumple la ordenación estricta $a < b < 3$.

2. La distancia entre ambos parámetros es unitaria: $b - a = 1$.

3. La matriz satisface la ecuación determinantal $|2\cdot (M(a, b))^{-1}| = \frac{4}{3}$.

1. c) Para la matriz concreta $M$ que resulta del par de valores obtenido en el apartado anterior, calcula de forma razonada el determinante de su matriz adjunta, $|\operatorname{Adj}(M)|$, y el determinante de la matriz inversa de su traspuesta, $|(M^t)^{-1}|$.

Dada la matriz dependiente de dos parámetros reales $a$ y $b$:

$$M(a, b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & b & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Para clasificar el rango y la invertibilidad de $M(a, b)$ en el plano real $(a, b)$, dos estudiantes contrastan sus métodos de trabajo:

• Método de Alba: Aplicar el algoritmo de reducción de Gauss mediante operaciones elementales por filas ($F_2 \to F_2 - F_1$, $F_3 \to F_3 - a\cdot F_1$) para escalonar la matriz y contar el número de pivotes no nulos.

• Método de Bruno: Calcular y factorizar el determinante mayor $|M(a, b)|$ mediante propiedades para delimitar las regiones de rango 3, y estudiar posteriormente los lugares geométricos donde $|M(a, b)| = 0$ analizando menores de orden inferior.

1. a) Compara críticamente ambos métodos: explica qué inconvenientes y riesgos de bifurcación con parámetros en los denominadores presenta el método de Alba frente a la robustez del método de Bruno.
2. b) Aplicando el método de Bruno, demuestra que el determinante se factoriza como $|M(a, b)| = (1 - a)\cdot [b\cdot(a + 1) - 2]$. Identifica geométricamente en el plano $(a, b)$ la recta y la hipérbola que forman la frontera donde la matriz carece de inversa.
3. c) Demuestra que en casi todos los puntos de dicha frontera el rango de la matriz es $2$, pero existe un único punto singular $(a_0, b_0)$ en todo el plano donde el rango disminuye a $1$. Determina dicho punto justificando tu respuesta con el valor de todos sus menores de orden 2.

Reto del tema. ¿Es viable modelizar y predecir el reparto de la matriz energética nacional?

1. Obtención de datos: Accede a la web del Comité Nacional de Despacho de Carga (CNDC) o del INE y extrae la producción diaria (en GWh) de tres fuentes renovables durante 3 días consecutivos para construir una matriz cuadrada $A_{3\times 3}$.

2. Estudio analítico: Calcula $|A|$ aplicando la regla de Sarrus y determina el rango de $A$ mediante menores. Incorpora un parámetro de previsión climática $t$ en una de las filas ($A(t)$); aplica las propiedades de los determinantes y calcula el límite $\lim_{t \to 1} |A(t)|$ para identificar si el sistema se bloquea por dependencia lineal.

3. Álgebra matricial: Construye un vector de demanda diaria $B$ (en GWh) como demanda esperada: asigna probabilidades a distintos escenarios de consumo (por ejemplo, probabilidad $p = 0,35$ de pico invernal) y pondera la demanda de cada escenario por su probabilidad. Justifica la existencia de $A^{-1}$ a través de determinantes, calcúlala con la matriz adjunta y resuelve en una hoja de cálculo la ecuación $A \cdot X = B$ para hallar los factores de ponderación $X$ (uno por fuente, es decir, por columna de $A$, de modo que la producción ponderada cubra la demanda $B$).

4. Propuesta final: Redacta un informe de una página que exponga la robustez del modelo ante fluctuaciones reales de la red.

Se valorará:

• Corrección y destreza en el cálculo de $|A|$, $\text{rg}(A)$ y $A^{-1}$ mediante determinantes y Sarrus.

• Aplicación rigurosa del álgebra matricial, límites y propiedades de determinantes.

• Extracción verídica de datos oficiales y justificación matemática de las conclusiones.