Ejercicios: Repartos

Reparte la cantidad de $3\,150$ bolivianos de forma directamente proporcional a los números $2$, $3$ y $4$.

Divide el número $300$ en partes inversamente proporcionales a $2$ y $3$.

En un reparto directamente proporcional a las cantidades $3$, $5$ y $7$, a la primera persona le corresponden $840$ bolivianos. Calcula la cantidad total que se ha repartido y lo que reciben las otras dos personas.

Reparte $330$ puntos de forma inversamente proporcional a $1$, $2$ y $3$.

Realiza el reparto de $620$ acciones de forma directamente proporcional a las fracciones $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{5}$.

Se reparten $910$ bolivianos de forma inversamente proporcional a los números $2$, $3$ y $4$. ¿Cuánto le corresponde a la parte asociada al número $4$?

Un abuelo decide repartir $840$ bolivianos entre sus tres nietos de $8$, $10$ y $12$ años de forma directamente proporcional a sus edades. Determina la cantidad de dinero que recibe cada uno.

En un concurso escolar se reparten $190$ puntos extra de forma inversamente proporcional al número de fallos cometidos. Si los tres finalistas tuvieron $1$, $3$ y $4$ fallos respectivamente, calcula los puntos que obtiene cada alumno.

Hugo, Sara y Leo han obtenido $2$, $3$ y $6$ faltas de puntualidad durante el trimestre escolar. Para premiar el compromiso de fin de curso, el tutor decide repartir $720$ puntos de convivencia de forma inversamente proporcional a las faltas cometidas por cada uno.

Hugo propone lo siguiente: «Como es un reparto inverso, al que tiene menos faltas le corresponde el coeficiente más alto del grupo, y al que tiene más, el más bajo; por tanto, los coeficientes de reparto deben ser $6$ para mí, $3$ para Sara y $2$ para Leo. Sumamos $6 + 3 + 2 = 11$, calculamos la constante y repartimos».

1. a) Demuestra razonadamente por qué la asignación de coeficientes que propone Hugo es conceptualmente incorrecta (compara la proporción entre las partes de Hugo y Sara según su propuesta con la proporción inversa real). Explica qué error típico ha cometido.
2. b) Corrige el planteamiento: escribe los coeficientes correctos, calcula la constante de proporcionalidad y determina cuántos puntos corresponden a cada alumno. Comprueba que la suma de las partes coincide con el total.

Tres estudiantes universitarios, Álex, Blanca y Carlos, comparten un departamento en Cochabamba y reciben una factura de electricidad y gas de $210$ bolivianos correspondiente al mes de julio. Como han pasado semanas fuera, acuerdan pagar de forma directamente proporcional a los días que ha permanecido cada uno en la vivienda: Álex estuvo $10$ días, Blanca $20$ días y Carlos estuvo el mes completo ($30$ días).

1. a) Antes de realizar ningún cálculo numérico:

• Estima si Carlos pagará más, menos o exactamente la mitad de la factura total. Justifica tu estimación analizando la fracción de días que Carlos estuvo en el departamento respecto a la suma total de días registrados.

• Deduce razonadamente qué relación exacta existirá entre el importe que pagará Álex y el que pagará Blanca.

1. b) Realiza el reparto calculando la constante de proporcionalidad directa $k$ y el importe exacto asignado a cada compañero.
2. c) Comprueba si los importes obtenidos confirman tus estimaciones del apartado a) y verifica la validez del reparto sumando las tres partes.

Tres socios, Nerea, Beatriz y Santiago, invierten $15000$ bolivianos, $20000$ bolivianos y $25000$ bolivianos respectivamente para abrir un negocio. Al cabo de un año, la empresa genera un beneficio neto de $14400$ bolivianos. Calcula qué cantidad de los beneficios le corresponde a cada socio si el reparto se realiza de forma directamente proporcional al capital invertido.

En una competición de atletismo, la organización reparte un premio de $23\,800$ bolivianos de forma inversamente proporcional al tiempo que han tardado los tres primeros clasificados en llegar a la meta. Si han cruzado la línea de meta en $12$, $15$ y $20$ minutos respectivamente, determina el premio económico que se lleva cada corredor.

Cuatro operarios trabajan pintando un edificio. El primero trabaja $5$ días a razón de $6$ horas diarias; el segundo, $4$ días a $8$ horas diarias; el tercero, $6$ días a $5$ horas diarias y el cuarto, $3$ días a $10$ horas diarias. Si cobran en total $25\,760$ bolivianos y deciden repartirlo de forma directamente proporcional al total de horas trabajadas por cada uno, halla cuánto cobrará cada operario.

Se ha repartido una cantidad de dinero de forma inversamente proporcional a las edades de tres hermanos, que son $10$, $15$ y $20$ años. Si se sabe que al hermano de $15$ años le han correspondido $2\,800$ bolivianos, halla la cantidad total que se ha repartido y lo que reciben los otros dos hermanos.

Una herencia se reparte de forma directamente proporcional a los números $4$, $7$ y $9$. Sabiendo que el heredero que recibe la mayor parte obtiene $24\,500$ bolivianos más que el que recibe la menor parte, calcula el valor total de la herencia y la cantidad asignada a cada una de las tres partes.

En un experimento de laboratorio se debe repartir una muestra de $145$ gramos de un compuesto químico entre tres recipientes de forma inversamente proporcional a las temperaturas a las que se encuentran. Las temperaturas son $\frac{1}{2}$ ºC, $\frac{2}{3}$ ºC y $\frac{3}{4}$ ºC. Calcula la cantidad exacta de compuesto que se depositará en cada recipiente.

Para llevar a cabo la reforestación de un parque natural, tres municipios aportan diferentes grupos de voluntarios. El municipio A aporta $45$ voluntarios; el B, $60$ voluntarios; y el C, $75$ voluntarios. El gobierno regional les concede una subvención total de $75\,600$ bolivianos destinada a la compra de material, a repartir de forma directamente proporcional al número de voluntarios aportados. ¿Qué cantidad recibe cada municipio?

Un bono de productividad de $17\,710$ bolivianos se reparte entre tres empleados de una fábrica. El reparto se realiza de forma directamente proporcional a los años de antigüedad en la empresa ($4$, $5$ y $8$ años) e inversamente proporcional al número de días de ausencia durante el año ($2$, $3$ y $4$ días). Calcula la bonificación que recibe cada uno de los empleados.

Una dotación municipal de $4550$ bolivianos para proyectos escolares de sostenibilidad se reparte entre tres colegios de forma inversamente proporcional al tiempo (en horas) que tarda su sistema automatizado en clasificar un lote de residuos: el colegio A tarda $\dfrac{3}{4}\text{ h}$, el colegio B tarda $\dfrac{1}{2}\text{ h}$ y el colegio C tarda $\dfrac{2}{5}\text{ h}$.

Para resolver este reparto con coeficientes fraccionarios existen dos procedimientos habituales:

• Método 1: Utilizar directamente las fracciones inversas ($\dfrac{4}{3}$, $2$ y $\dfrac{5}{2}$), sumarlas hallando el común denominador para obtener la constante $k$ y multiplicar cada fracción por $k$.

• Método 2: Multiplicar previamente todos los inversos por el mínimo común múltiplo de sus denominadores ($\text{mcm}(3, 2) = 6$) para transformarlos en números enteros equivalentes, y realizar después un reparto directamente proporcional a dichos enteros.

1. a) Resuelve el reparto aplicando paso a paso el Método 2 y calcula cuánto dinero recibe cada colegio.
2. b) Justifica formalmente por qué el Método 2 es válido (es decir, por qué multiplicar todos los coeficientes por una constante positiva no altera las proporciones ni el dinero final asignado a cada centro).
3. c) Explica razonadamente por qué, al resolver problemas sin calculadora, el Método 2 suele minimizar la probabilidad de cometer errores de cálculo frente al Método 1.

La Gobernación Departamental asigna un fondo extraordinario de $98000$ bolivianos del Plan de Prevención de Incendios Forestales entre tres municipios ($A$, $B$ y $C$). La comisión técnica establece un reparto compuesto:

• Directamente proporcional a la superficie forestal del territorio municipal: el municipio $A$ cuenta con $1200\text{ ha}$, el $B$ con $1800\text{ ha}$ y el $C$ con $3000\text{ ha}$.

• Inversamente proporcional al número de brigadistas profesionales contratados previamente por cada gobierno autónomo municipal (con el fin de compensar a los municipios con menos personal propio): $A$ tiene $2$ brigadistas, $B$ tiene $4$ y $C$ tiene $5$.

1. a) Modela el problema: calcula el coeficiente ponderado de cada municipio combinando ambos criterios y simplifica la relación a números enteros lo más reducidos posible.
2. b) Halla la constante de proporcionalidad y la cantidad económica que le corresponde a cada municipio.
3. c) Interpreta el resultado: el municipio $C$ tiene $2,5$ veces más superficie forestal que el municipio $A$; sin embargo, ¿recibe $2,5$ veces más dinero? Explica matemáticamente cómo influye la variable de personal en esta compensación territorial.

Se reparte una cantidad total de $74$ de forma inversamente proporcional a tres números enteros positivos consecutivos: $x$, $x+1$ y $x+2$. Sabiendo que la constante de proporcionalidad inversa del reparto es $k = 120$:

1. a) Plantea la ecuación correspondiente y halla los tres números enteros.
2. b) Determina el valor de cada una de las tres partes obtenidas en el reparto.

Un premio de $42\,000$ bolivianos se va a repartir entre tres ciclistas al finalizar una gran vuelta. Las bases establecen que el reparto se hará de forma directamente proporcional al número de etapas ganadas ($3$, $4$ y $5$ etapas) e inversamente proporcional al número de caídas sufridas ($1$, $2$ y $x$ caídas). Si el ciclista que ganó $4$ etapas y sufrió $2$ caídas recibió exactamente $14\,000$ bolivianos, determina el número de caídas $x$ del tercer ciclista y la cantidad de dinero que cobró.

Un terreno de forma triangular se divide en tres parcelas trazando líneas rectas desde un punto interior $P$ hacia los tres vértices. Las áreas de las tres parcelas resultantes ($S_1$, $S_2$ y $S_3$) son directamente proporcionales a los números $3$, $4$ y $5$. Si el terreno tiene un área total de $2400$ m$^2$ y se vende a un precio de $15$ bolivianos/m$^2$, calcula el valor económico de cada una de las tres parcelas.

Una abuela quiere repartir $29\,400$ bolivianos entre sus tres nietos de $10$, $12$ y $15$ años. Duda entre hacerlo de forma directamente proporcional a sus edades o de forma inversamente proporcional a las mismas. Calcula cuánto recibiría cada nieto en ambas modalidades e indica qué nieto experimenta la mayor diferencia absoluta de dinero entre un método y otro.

Se ha repartido una cantidad de $60\,900$ bolivianos de forma inversamente proporcional a tres números desconocidos $A$, $B$ y $C$. Las cantidades recibidas han sido $28\,000$ bolivianos, $21\,000$ bolivianos y $11\,900$ bolivianos respectivamente. Sabiendo que el menor de los tres números originales es $51$, determina el valor de los otros dos números.

Una empresa tecnológica reparte $350\,000$ bolivianos de beneficios entre tres departamentos en dos fases. En la primera fase, el $40$% del total se reparte de forma directamente proporcional a las horas extra trabajadas: $120$, $150$ y $130$ horas. En la segunda fase, el $60$% restante se reparte de forma inversamente proporcional al número de incidencias técnicas reportadas: $2$, $4$ y $5$ incidencias. Calcula el beneficio total final que recibe cada uno de los tres departamentos sumando ambas fases.

Reparte la expresión algebraica $N = 6x^2 + 8x$ de forma directamente proporcional a las expresiones $x$, $x+1$ y $x+3$. Expresa las tres partes resultantes en función de $x$ y simplifica al máximo los polinomios obtenidos.

Tres tuberías distintas llenan un depósito industrial. La primera tarda $a$ horas, la segunda $b$ horas y la tercera $c$ horas. Se sabe que los tiempos $a$, $b$ y $c$ son directamente proporcionales a los números $2$, $3$ y $4$. Los costos de mantenimiento de las tuberías ascienden a $9\,100$ bolivianos y se decide repartirlos de forma inversamente proporcional al tiempo que tarda cada una en llenar el depósito. Halla cuánto se debe pagar de mantenimiento por cada tubería.

En un certamen autonómico de proyectos tecnológicos se reparte un premio total de $3500$ bolivianos entre los tres equipos finalistas de forma inversamente proporcional a la posición final obtenida: $1.^{\text{er}}$ puesto, $2.^{\text{o}}$ puesto y $n$-ésimo puesto ($1$, $2$ y $n$, con $n \in \mathbb{N}$ y $n > 2$).

Tras aplicar el reparto reglamentario, la organización constata que el equipo clasificado en primera posición ha recibido exactamente $1500$ bolivianos más que el equipo clasificado en la $n$-ésima posición.

1. a) Plantea una ecuación en función de la incógnita $n$ a partir de la expresión algebraica de cada parte, del total repartido y de la diferencia entre el primer y el último clasificado.
2. b) Resuelve la ecuación y deduce de forma justificada en qué posición ($n$) quedó el tercer equipo clasificado.
3. c) Con el valor obtenido de $n$, calcula la cantidad asignada al segundo clasificado y comprueba con rigor que la suma de las tres partes coincide con el total de $3500$ bolivianos.

Una asociación de regantes del Valle Alto de Cochabamba debe distribuir el costo mensual de mantenimiento y bombeo solar ($7800$ bolivianos) entre tres unidades productivas agrícolas ($A$, $B$ y $C$).

Inicialmente se utilizaba un reparto directamente proporcional al volumen de agua consumida en el mes: $A$ consumió $15000\text{ m}^3$, $B$ consumió $25000\text{ m}^3$ y $C$ consumió $20000\text{ m}^3$.

Para fomentar el uso eficiente del agua, la asamblea aprueba sustituirlo por un reparto compuesto: directamente proporcional al volumen consumido e inversamente proporcional al índice de eficiencia del sistema de riego instalado ($E_A = 0,75$; $E_B = 0,50$; $E_C = 0,40$, donde los índices están normalizados entre $0$ y $1$).

1. a) Modela ambos escenarios: calcula cuánto pagaba cada unidad productiva con el criterio inicial y cuánto pasa a pagar con el reparto compuesto por eficiencia.
2. b) Justifica qué unidad productiva experimenta una mayor subida porcentual respecto a su factura inicial y razona la causa matemática de este incremento.
3. c) La unidad productiva $C$ planea modernizar su tecnología para que, manteniendo su consumo de $20000\text{ m}^3$ y asumiendo que $A$ y $B$ no cambian sus datos, su cuota mensual no supere los $2600$ bolivianos (lo que pagaba con el criterio inicial). Plantea una inecuación con incógnita $E_C$ y calcula el índice mínimo de eficiencia que debe alcanzar. ¿Es técnicamente viable considerando que la eficiencia máxima posible es $1$?