Ejercicios: Proporcionalidad inversa

Indica cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son inversamente proporcionales:

• La velocidad a la que circula un tren y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija.

• El número de kilos de manzanas que compras y el precio total que pagas.

• El número de obreros que trabajan en una obra y los días que tardan en finalizarla.

• La edad de una persona y su altura.

• El caudal de agua que arroja una pileta y el tiempo necesario para llenar una piscina.

Completa la siguiente tabla sabiendo que las magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales, y calcula la constante de proporcionalidad $k$.

Un equipo de $4$ pintores tarda $6$ días en pintar la fachada de un edificio. Si la empresa decide enviar a solo $3$ pintores, ¿cuántos días tardarán en realizar exactamente el mismo trabajo?

Un auto circula a una velocidad constante de $90\text{ km/h}$ y tarda $4$ horas en llegar a su destino. Si en el viaje de vuelta quiere hacer el mismo recorrido en $3$ horas, ¿a qué velocidad constante debe circular?

Una pileta arroja un caudal de $15$ litros por minuto y tarda $20$ minutos en llenar un tanque. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar el mismo tanque otra pileta cuyo caudal es de $25$ litros por minuto?

Reparte la cantidad de $2\,100$ bolivianos en partes inversamente proporcionales a los números $2$ y $3$.

Un engranaje de $20$ dientes está conectado a un motor y da $30$ vueltas por minuto. Si está acoplado a otro engranaje más pequeño que tiene $15$ dientes, ¿cuántas vueltas por minuto dará este segundo engranaje?

La siguiente gráfica representa una relación de proporcionalidad inversa entre las magnitudes $X$ e $Y$. Observa el punto destacado y determina la constante de proporcionalidad $k$. A continuación, calcula qué valor tomará la magnitud $Y$ cuando $X = 4$.

[ERROR AJENO] En una carrera solidaria del colegio se van a repartir $260\text{ euros}$ entre los tres primeros clasificados de forma inversamente proporcional al número de faltas de asistencia no justificadas acumuladas durante el trimestre: Alicia tuvo $2$ faltas, Bruno tuvo $3$ faltas y Carlos tuvo $4$ faltas.

Marcos, el delegado de curso, propone resolverlo así:

«Como la suma de faltas es $2 + 3 + 4 = 9$, para que quien tenga menos faltas cobre más dinero le asignamos a Alicia $\frac{4}{9}$ del premio, a Bruno $\frac{3}{9}$ y a Carlos $\frac{2}{9}$».

1. a) Explica con precisión por qué el método de Marcos es erróneo. Para demostrarlo, calcula el producto de las faltas por el dinero que recibiría cada uno según Marcos y comprueba si se conserva la constante de proporcionalidad inversa ($x \cdot y = k$).
2. b) Plantea el reparto correcto calculando la parte que le corresponde legítimamente a cada participante.

[ESTIMA Y COMPRUEBA] Para llenar el estanque de riego del huerto escolar se pueden utilizar dos tomas de agua: la manguera principal $A$, que llena el depósito vacío por sí sola en $3\text{ horas}$, y una toma auxiliar $B$, que tarda $6\text{ horas}$ en solitario. Se decide abrir ambas a la vez.

1. a) Antes de realizar ningún cálculo formal, haz una estimación razonada: ¿por qué el tiempo conjunto debe ser obligatoriamente menor que $3\text{ horas}$ y mayor que $1,5\text{ horas}$? Razona ambos límites pensando en el ritmo de llenado.
2. b) Calcula con exactitud el tiempo que tardarán en llenar el estanque trabajando juntas sumando sus ritmos de trabajo por hora. Expresa el resultado en horas y minutos, y comprueba si confirma tu estimación inicial.

Una cuadrilla de $12$ obreros se compromete a terminar la reforma de un parque en $15$ días. Al cabo de $5$ días de trabajo, $2$ obreros se dan de baja por enfermedad y no pueden ser sustituidos. ¿Cuántos días tardarán en terminar el resto de la obra los obreros que quedan?

Un abuelo decide repartir $31\,500$ bolivianos entre sus tres nietos de forma inversamente proporcional a sus edades, que son $10$, $12$ y $15$ años. Calcula la cantidad exacta de dinero que le corresponde a cada uno de los nietos.

Una llave $A$ es capaz de llenar un tanque en $6$ horas, mientras que una llave $B$ lo llenaría en $4$ horas. Si ambas llaves se abren simultáneamente estando el tanque vacío, ¿cuánto tiempo tardarán en llenarlo? Expresa el resultado en horas y minutos.

Un tren de mercancías realiza un trayecto a una velocidad media de $120\text{ km/h}$ y tarda $2$ horas y $45$ minutos. Si en el viaje de vuelta, con mayor carga, el trayecto dura $3$ horas y $18$ minutos, ¿cuál ha sido su velocidad media en el viaje de regreso?

Para envasar la cosecha de aceite de una cooperativa se necesitan $420$ bidones de $5$ litros de capacidad. Si finalmente se decide utilizar botellas de vidrio de $1,5$ litros, ¿cuántas botellas serán necesarias? Además, si cada botella vacía cuesta $1,40$ bolivianos, ¿cuál será el costo total de los envases?

Un grupo de amigos quiere comprar en conjunto un regalo de cumpleaños. El siguiente gráfico muestra cuánto debe pagar cada uno (en bolivianos) dependiendo del número de amigos que participen finalmente. Observa los puntos destacados para deducir el precio total del regalo. Si al final solo participan $3$ amigos, ¿cuánto pagará cada uno?

Una fundación protectora de animales debe repartir $1550\text{ kg}$ de pienso entre tres refugios. Deciden hacerlo de forma inversamente proporcional a las fracciones $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{5}$ (que representan índices de recursos propios de cada refugio). Calcula cuántos kilogramos de pienso recibirá cada uno.

En una carrera de relevos solidaria, un equipo de corredores mantiene una velocidad media de $12\text{ km/h}$ y tarda $40$ minutos en completar su recorrido. Si en la próxima edición entrenan para mantener una velocidad media de $15\text{ km/h}$, ¿cuánto tiempo ganarán respecto a su marca anterior? Expresa la diferencia en minutos.

[MODELIZA] La Dirección General de Tráfico (DGT) controla la velocidad en el túnel de Guadarrama (autopista AP-6) mediante un radar de tramo cuya longitud exacta es de $3,3\text{ km}$. La velocidad máxima permitida en dicho tramo es de $100\text{ km/h}$.

1. a) Modela la función $t(v)$ que determina el tiempo $t$ (en segundos) que tarda un vehículo en recorrer el tramo en función de su velocidad media $v$ (en $\text{km/h}$). ¿Qué tipo de función es y cuál es el valor y las unidades de su constante de proporcionalidad?
2. b) ¿Cuál es el tiempo mínimo legal, medido en segundos con un decimal, que debe registrar el radar para que el conductor no sea sancionado?
3. c) Si un conductor circula a $80\text{ km/h}$ (un $20\,\%$ menos de velocidad que el límite legal), ¿su tiempo de recorrido aumenta exactamente un $20\,\%$? Demuestra algebraicamente qué porcentaje aumenta en realidad y justifica este comportamiento a partir de las propiedades de la proporcionalidad inversa.

[ELIGE EL MÉTODO] Una convocatoria departamental concede una ayuda extraordinaria de $4500\text{ euros}$ para digitalización a tres colegios de una misma provincia. El importe se distribuye de forma inversamente proporcional a la relación de estudiantes por computadora que tiene cada colegio: el colegio $A$ tiene una relación de $6$ estudiantes/computadora, el colegio $B$ tiene $8$ estudiantes/computadora y el colegio $C$ tiene $12$ estudiantes/computadora.

Se plantean dos procedimientos de resolución:

• Método 1 (Directo a los inversos): Repartir directamente a las fracciones $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{8}$ y $\frac{1}{12}$, reduciéndolas a común denominador y dividiendo el total según los numeradores enteros resultantes.

• Método 2 (Ecuación con constante $k$): Expresar la asignación de cada colegio como $\frac{k}{6}$, $\frac{k}{8}$ y $\frac{k}{12}$, resolver la ecuación $\frac{k}{6} + \frac{k}{8} + \frac{k}{12} = 4500$ y calcular cada asignación a partir de $k$.

1. a) Resuelve el reparto empleando ambos métodos paso a paso y comprueba que se obtiene el mismo resultado.
2. b) Compara la carga de cálculo de ambos métodos y justifica cuál de los dos resultaría más operativo si tuvieras que programar una hoja de cálculo para repartir fondos entre los $85$ colegios de todo el departamento.

Un tanque de agua para riego dispone de dos llaves de llenado y un desagüe. La primera llave lo llenaría estando vacío en $4$ horas, y la segunda llave lo llenaría en $6$ horas. Por su parte, el desagüe es capaz de vaciar el tanque por completo en $8$ horas. Si el tanque está vacío y se abren los tres conductos simultáneamente, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse? Expresa el resultado en horas, minutos y segundos.

Una empresa reparte una bonificación de $50\,400$ bolivianos entre tres de sus empleados de forma inversamente proporcional al número de faltas de asistencia que han tenido durante el año: $2$, $3$ y $6$ faltas respectivamente. Antes de ingresarles el dinero, la empresa aplica una retención de impuestos escalonada: al que más cobra le retiene un $15\%$, al mediano un $10\%$ y al que menos cobra un $5\%$. ¿Qué cantidad neta de dinero recibe cada empleado finalmente?

Una empresa constructora calcula que una plantilla de $20$ obreros terminará un edificio en $40$ días. Después de $10$ días de trabajo ininterrumpido, una huelga de transporte de materiales obliga a detener la obra durante $5$ días. Para no incumplir el contrato, la empresa decide contratar a más personal. ¿Cuántos obreros adicionales habrá que contratar para terminar el edificio en el plazo total inicialmente previsto?

Un mecanismo industrial consta de tres engranajes $A$, $B$ y $C$ conectados en línea (el $A$ mueve al $B$, y el $B$ mueve al $C$). El engranaje $A$ tiene $24$ dientes, el $B$ tiene $36$ dientes y el $C$ tiene $16$ dientes. Si el motor hace girar el engranaje $A$ a una velocidad de $120$ revoluciones por minuto (rpm), calcula la velocidad de giro del engranaje $C$. ¿Influye el número de dientes del engranaje intermedio $B$ en la velocidad final del engranaje $C$? Justifica tu respuesta.

Las dos curvas del siguiente gráfico muestran relaciones de proporcionalidad inversa del tipo $y = \frac{k}{x}$. La curva $A$ pasa por el punto $(2, 6)$ y la curva $B$ pasa por el punto $(3, 8)$. Halla las constantes de proporcionalidad $k_A$ y $k_B$. A continuación, calcula el valor exacto de $x$ para el cual la curva $B$ toma el valor $y = 6$.

Tres socios de un negocio deben repartirse los gastos de una reparación en el local de forma inversamente proporcional a los años de antigüedad de sus vehículos de empresa, que son $2$, $4$ y $x$ años. Si el gasto total de la reparación asciende a $9\,800$ bolivianos y se sabe que el primer socio (el del vehículo de $2$ años) ha tenido que pagar $5\,600$ bolivianos, ¿cuál es la antigüedad del auto del tercer socio y cuánto pagará el segundo?

Un ciclista aficionado realiza una ruta de montaña lineal (ida y vuelta por el mismo camino). Durante el trayecto de subida mantiene una velocidad media de $12\text{ km/h}$, y durante el trayecto de bajada su velocidad media es de $36\text{ km/h}$. Si el tiempo total pedaleando ha sido exactamente de $4$ horas, ¿cuál es la distancia total que ha recorrido el ciclista sumando la ida y la vuelta?

Una novela tiene un total de $240$ páginas. En su formato original, cada página contiene $30$ líneas y cada línea tiene una media de $60$ caracteres. La editorial decide lanzar una edición de bolsillo, reduciendo el tamaño de la letra de modo que ahora caben $40$ líneas por página y $75$ caracteres por línea. Si además deciden añadir $15$ páginas extra de ilustraciones a color (que no llevan texto), ¿cuántas páginas tendrá en total la nueva edición de bolsillo?

[PROBLEMA INVERSO] Un profesor de 4.º de secundaria quiere redactar un problema de examen sobre trabajo combinado de máquinas que tenga soluciones «limpias». El borrador dice:

«Dos impresoras 3D industriales trabajando simultáneamente tardan exactamente $6\text{ horas}$ en completar una maqueta de urbanismo. Trabajando por separado, la impresora más rápida tarda $x\text{ horas}$ y la más lenta tarda $y\text{ horas}$ (con $x \le y$)».

El profesor necesita que tanto $x$ como $y$ sean números enteros de horas.

1. a) Plantea la ecuación que relaciona los ritmos de trabajo y transfórmala algebraicamente hasta escribirla en la forma factorizada $(x - a) \cdot (y - b) = c$, identificando los enteros $a$, $b$ y $c$.
2. b) A partir de los divisores enteros positivos del número $c$, encuentra todas las posibles combinaciones de tiempos enteros $(x, y)$ que el profesor podría elegir para el enunciado.
3. c) Si el profesor añade además la restricción de que la máquina lenta no debe tardar más del triple de tiempo que la máquina rápida ($y \le 3x$), ¿cuáles de las soluciones halladas en el apartado anterior siguen siendo válidas?

[MODELIZA] Una empresa de logística analiza el trayecto de ida y vuelta que realiza una furgoneta de reparto entre una nave central y un polígono comarcal, separados por una distancia fija de $d = 120\text{ km}$ ($240\text{ km}$ en total).

En el trayecto de ida, debido al tráfico matinal y a las paradas, la furgoneta registra una velocidad media de $v_1 = 60\text{ km/h}$.

1. a) Demuestra algebraicamente que la velocidad media global del viaje completo, $V_m$, en función de la velocidad media en el trayecto de vuelta, $v_2$, viene dada por la función racional: $V_m(v_2) = \dfrac{120 \cdot v_2}{60 + v_2}$.
2. b) La dirección exige que la velocidad media del viaje completo de ida y vuelta alcance los $120\text{ km/h}$. Intenta calcular qué velocidad $v_2$ debería alcanzar a la vuelta: plantea la ecuación correspondiente, intenta resolverla e interpreta físicamente qué ocurre con el tiempo disponible.
3. c) Estudia la asíntota horizontal de la función calculando hacia qué valor tiende $V_m(v_2)$ cuando $v_2$ toma valores extremadamente grandes ($v_2 \to \infty$). Explica qué límite infranqueable impone la física del problema a la velocidad media global, independientemente de lo rápido que circule el vehículo en el viaje de regreso.