Ejercicios: Interés del dinero simple y compuesto

Calcula el interés simple que produce un capital de $21\,000$ bolivianos invertido al $4\%$ anual durante $5$ años. ¿Cuál será el capital final al terminar dicho periodo?

Un banco concede un préstamo de $10\,500$ bolivianos al $6\%$ de interés simple anual. Si el préstamo se devuelve en un plazo de $8$ meses, determina la cantidad total que se debe pagar al banco en concepto de intereses.

Calcula el capital final que se obtiene al depositar $35\,000$ bolivianos en una cuenta de ahorro que ofrece un $3\%$ de interés compuesto anual durante $4$ años.

Encuentra el capital inicial que se invirtió a un interés simple del $5\%$ anual si al cabo de $3$ años generó unos beneficios de $3\,150$ bolivianos.

Una motocicleta nueva tiene un precio de $28\,000$ bolivianos. Si pierde un $10\%$ de su valor cada año que pasa, calcula cuál será su valor exacto al cabo de $3$ años.

Un capital de $14\,000$ bolivianos se ha convertido en $15\,680$ bolivianos tras permanecer invertido durante $4$ años a interés simple. Halla la tasa de interés anual que se ha aplicado.

La batería de un celular pierde un $15\%$ de su carga por cada hora de juego. Si empiezas a jugar con el $100\%$ de carga, determina qué porcentaje de batería quedará al cabo de $5$ horas.

Calcula el interés simple que generan $70\,000$ bolivianos invertidos al $2,5\%$ anual durante $146$ días. Considera que un año tiene $365$ días para realizar los cálculos.

Marcos quiere calcular el capital final que obtendrá tras depositar $4000$ bolivianos durante $3$ años en una cuenta a plazo fijo con un interés compuesto del $2,5\%$ anual. En su examen escribe el siguiente desarrollo:

1. a) Explica cuál es el error conceptual que ha cometido Marcos y qué tipo de crecimiento del dinero ha supuesto en su planteamiento.
2. b) Escribe la fórmula correcta que debería haber aplicado, justificando por qué debe figurar una potencia en lugar de un producto, y calcula el capital final real que obtendrá redondeando a los centavos de bolivianos.

Un pequeño comercio de barrio en Cochabamba adquiere un equipo informático de cobro por $1200$ bolivianos. Se estima que dicho equipo sufre una depreciación continua del $20\%$ anual debido a la rápida obsolescencia tecnológica.

1. a) Antes de realizar cualquier operación con calculadora, haz una estimación mental razonada: ¿valdrá el equipo más o menos de la mitad de su precio original ($600$ bolivianos) transcurridos $3$ años? Justifica tu conjetura analizando la pérdida aproximada de valor año a año.
2. b) Aplica la fórmula de depreciación ($V_f = V_0 \cdot (1 - \frac{r}{100})^t$) para calcular su valor exacto a los $3$ años. Compara el resultado obtenido con tu estimación previa y valora si tu razonamiento intuitivo fue acertado.

Compara el rendimiento de un capital de $56\,000$ bolivianos invertido durante $6$ años a una tasa del $5\%$ anual bajo dos modalidades distintas: interés simple e interés compuesto. ¿Cuál es la diferencia exacta en bolivianos entre los intereses generados por ambos métodos?

Una persona desea disponer de $70\,000$ bolivianos dentro de $5$ años para la compra de un vehículo. Si su banco le ofrece un depósito con un interés compuesto del $4\%$ anual, ¿cuánto dinero debe ingresar hoy para alcanzar exactamente su objetivo?

Un capital inicial de $42\,000$ bolivianos se ha convertido en $50\,022,70$ bolivianos tras $3$ años de inversión. Sabiendo que los intereses se han reinvertido cada año (interés compuesto), determina la tasa de interés anual aplicada.

Se invierten $28\,000$ bolivianos a un interés simple del $3\%$ anual durante $4$ años. Transcurrido ese tiempo, se retira el capital final total y se reinvierte en otro producto financiero que ofrece un $4\%$ de interés compuesto anual durante $2$ años más. Calcula el capital final absoluto que se obtendrá al término de los $6$ años.

Determina cuántos años debe permanecer invertido un capital a una tasa del $8\%$ de interés simple anual para que su valor se duplique.

Un inversor deposita $35\,000$ bolivianos a un interés compuesto anual del $6\%$, pero con periodos de capitalización mensuales. Calcula el capital final que tendrá en su cuenta al cabo de $2$ años.

Una familia gasta mensualmente $8\,400$ bolivianos en alimentación. Si la inflación promedio se estima en un $2,5\%$ anual, ¿cuánto gastará mensualmente dentro de $4$ años para mantener exactamente el mismo nivel de consumo? Asume que el aumento de precios se rige por la fórmula del interés compuesto.

Salma invierte $3000$ bolivianos al $4\%$ anual y Bruno invierte $2500$ bolivianos al $6\%$ anual, ambos bajo la modalidad de interés simple. Plantea una ecuación y calcula en cuántos años tendrán exactamente el mismo capital final acumulado.

Una persona vendió hace poco una máquina industrial de segunda mano por $8403,50$ bolivianos. Sabes con certeza que la máquina se adquirió nueva hace exactamente $4$ años y que durante este tiempo ha sufrido una depreciación acumulada a una tasa constante del $15\%$ anual.

1. a) Plantea la ecuación del valor de la máquina en función del tiempo e identifica claramente cuál es el factor de reducción anual que afecta al precio inicial $V_0$.
2. b) Despeja algebraicamente el dato desconocido y calcula cuánto costó la máquina totalmente nueva, redondeando a las unidades de bolivianos.
3. c) Si la depreciación se hubiese calculado como una pérdida lineal del $15\%$ anual sobre el precio de compra inicial (modelo simple), ¿habría costado lo mismo? Razona qué modelo de pérdida de valor es más perjudicial para el vendedor en los primeros años.

Una familia en Cochabamba decide abrir un plan de ahorro para los futuros estudios de su hija recién nacida. Ingresan un capital inicial de $5000$ bolivianos en una entidad bancaria a un interés compuesto del $3,2\%$ anual. Paralelamente, los abuelos entregan en mano $200$ bolivianos cada año para guardarlos en una alcancía en casa (sin generar ningún tipo de interés).

1. a) Modela matemáticamente el capital acumulado en el banco $C_b(t)$ y el dinero acumulado en la alcancía $C_h(t)$ en función de los años transcurridos $t$.
2. b) Calcula cuánto dinero habrá en cada uno de los dos fondos cuando la niña cumpla $18$ años.
3. c) Si los abuelos hubieran ingresado los $3600$ bolivianos totales ($18 \cdot 200$ bolivianos) desde el primer día en una libreta a interés simple al $2\%$ anual durante esos mismos $18$ años, ¿habrían alcanzado la cifra obtenida por el fondo bancario de los padres? Justifica tu conclusión con los cálculos correspondientes.

Plantea la ecuación correspondiente y usa logaritmos para determinar cuántos años deben transcurrir para que un capital de $35\,000$ bolivianos se convierta en $49\,000$ bolivianos si se invierte a un interés compuesto del $3,5\%$ anual.

Una persona ingresa $14\,000$ bolivianos en una cuenta que ofrece un $4\%$ de interés compuesto anual. Al cabo de exactamente $2$ años, realiza un nuevo ingreso de $10\,500$ bolivianos en la misma cuenta. Si no realiza ninguna extracción, calcula el capital total que tendrá acumulado al cabo de $5$ años desde el primer ingreso.

Para financiar un proyecto, una empresa evalúa dos opciones de préstamo por un monto de $70\,000$ bolivianos a devolver en un pago único al cabo de $3$ años. El Banco A ofrece un interés simple del $6\%$ anual, pero cobra una comisión de apertura del $1,5\%$ sobre el capital inicial que se paga en el momento de la concesión. El Banco B ofrece un interés compuesto del $5\%$ anual sin ninguna comisión. Determina qué opción resulta más económica al final del periodo y cuál es la diferencia en bolivianos entre ambas.

Calcula qué tasa de interés compuesto anual debe aplicarse a un capital para que su valor se triplique en exactamente $15$ años. Expresa el resultado en porcentaje con dos cifras decimales.

Carlos invierte $28\,000$ bolivianos a un interés compuesto del $5\%$ anual. El mismo día, Diana invierte $35\,000$ bolivianos a un interés compuesto del $3\%$ anual. Utiliza logaritmos para determinar al cabo de cuántos años el capital acumulado por Carlos igualará al de Diana.

Un equipo informático de alta gama tiene un precio actual de $10\,500$ bolivianos. Por obsolescencia tecnológica, su valor nominal se deprecia un $15\%$ cada año. Paralelamente, la inflación provoca que el dinero pierda un $2\%$ de su poder adquisitivo anualmente. Calcula cuál será el valor real (ajustado a la pérdida de valor del dinero) del equipo al cabo de $4$ años.

Un inversor desea acumular un capital final de $140\,000$ bolivianos dentro de $4$ años. Para lograrlo, planea realizar un depósito inicial de una cantidad $C$ el día de hoy, y un segundo depósito de la misma cantidad $C$ exactamente dentro de $2$ años. Si la cuenta bancaria ofrece una rentabilidad del $3\%$ de interés compuesto anual, plantea la ecuación correspondiente y halla el valor de la aportación $C$.

El siguiente gráfico muestra la evolución de un mismo capital inicial invertido a interés simple (barras azules) y a interés compuesto (barras verdes) con la misma tasa de interés anual a lo largo de los tres primeros años. Observando los valores exactos en el gráfico, deduce el capital inicial y la tasa de interés. A continuación, calcula cuál será la diferencia exacta en bolivianos entre ambas modalidades al cabo de $10$ años.

Necesitas determinar cuántos años completos deben transcurrir como mínimo para que una inversión inicial de $10\,000$ bolivianos, colocada al $4\%$ de interés compuesto anual, genere un capital final acumulado de al menos $15\,000$ bolivianos. Para resolver esta cuestión, dos compañeros proponen dos vías diferentes:

• Método A (Iterativo numérico con tabla): Calcular el capital año a año multiplicando sucesivamente por el factor de crecimiento hasta superar los $15\,000$ bolivianos.

• Método B (Analítico con logaritmos): Plantear la ecuación exponencial correspondiente y despejar el tiempo $t$ utilizando logaritmos.

1. a) Resuelve el problema aplicando ambos métodos: para el Método A, muestra los valores del capital en los años inmediatamente anterior y posterior a superar el objetivo; para el Método B, obtén el valor decimal exacto de $t$.
2. b) Evalúa ambos métodos: ¿qué ventajas e inconvenientes presenta cada camino si el objetivo fuese averiguar el tiempo necesario para multiplicar el capital por diez en lugar de aumentarlo un $50\%$? Justifica cuál de los dos métodos es más eficiente y generalizable en matemáticas financieras.

Una empresa de mensajería en Santa Cruz de la Sierra renueva su flota adquiriendo una camioneta de bajas emisiones por un valor de $36\,000$ bolivianos, la cual sufre una depreciación estimada del $12\%$ anual. Al mismo tiempo, para anticipar su futura sustitución, la empresa ingresa $12\,000$ bolivianos en una cuenta de inversión corporativa que rinde al $4\%$ de interés compuesto anual.

1. a) Escribe la ecuación algebraica que modela el momento exacto $t$ (en años) en el que el valor residual de mercado del vehículo igualará al capital acumulado en la cuenta de inversión.
2. b) Simplifica algebraicamente dicha ecuación agrupando los términos que contienen la incógnita $t$ en un único cociente de potencias de la forma $\left(\frac{a}{b}\right)^t = k$.
3. c) Despeja $t$ aplicando las propiedades de los logaritmos y calcula su valor redondeado a dos cifras decimales. A partir de este dato, determina en qué año y mes aproximado se alcanzará dicho equilibrio económico.

Reto del tema. Gestión de costos de una convivencia escolar.

Imagina que coordinas el presupuesto de una convivencia de fin de semana para tu curso.

1. Datos reales y proporcionalidad directa: Consulta en la web de la Empresa Nacional de Electricidad (ENDE) el precio medio del kWh vigente ($p$ en bolivianos/kWh). Con una previsión de consumo de $140$ kWh para el grupo, calcula el costo total de la electricidad aplicando proporcionalidad directa.

2. Función de proporcionalidad inversa: El alquiler de las instalaciones supone un costo fijo de $k = 420$ bolivianos. Modela en GeoGebra o en una hoja de cálculo la función $f(x) = \frac{420}{x}$, donde $x$ es el número de asistentes. Genera una tabla y grafica la curva para $x$ entre $6$ y $25$ participantes, explicando el comportamiento de la función.

3. Repartos proporcionales: El costo del transporte compartido ($180$ bolivianos) se financia mediante un reparto inversamente proporcional a las horas de voluntariado aportadas por los tres comités organizadores: $2$, $3$ y $6$ horas. Determina la cantidad que pagará cada comité.

4. Informe final: Redacta una propuesta con la tabla, la gráfica y una conclusión que justifique cuántos alumnos deben asistir como mínimo para que el costo fijo individual sea inferior a $25$ bolivianos.

Se valorará:

• Obtención precisa del dato real de ENDE y resolución correcta de la proporcionalidad directa e inversa.

• Modelización adecuada de la hipérbola $f(x) = k/x$ con herramienta digital.

• Rigor matemático en el reparto proporcional inverso.

• Claridad y justificación de la propuesta final.