Ejercicios: División de polinomios

Divide el siguiente polinomio entre el monomio dado, simplificando cada uno de los términos resultantes:

En toda división de polinomios se cumple la relación $P(x) = d(x) \cdot c(x) + r(x)$. Si al dividir un polinomio entre $d(x) = x + 3$ hemos obtenido un cociente $c(x) = x - 1$ y un resto $r(x) = 5$, ¿cuál es el polinomio dividendo $P(x)$?

Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la siguiente división:

Utiliza la regla de Ruffini para realizar la división del polinomio $P(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ entre el binomio $d(x) = x + 1$. Indica claramente cuál es el cociente $C(x)$ y el resto $R$.

Sin realizar la división larga ni usar Ruffini, calcula el valor del residuo de la siguiente operación utilizando el Teorema del Resto:

Calcula el valor de la letra $k$ para que la división sea exacta (es decir, que el resto sea $0$):

El área de un estudio de grabación rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 3x^2 + 15x$. Si sabemos que el ancho del estudio mide $3x$ metros, ¿cuál es la expresión algebraica que representa el largo del estudio?

Comprueba si el número $a = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3$ realizando la división por Ruffini y observando el residuo obtenido. Justifica tu respuesta basándote en el resultado de la operación.

Utiliza el algoritmo de la división para hallar el cociente $C(x)$ y el resto $R(x)$ de la siguiente operación entre polinomios. Recuerda ordenar y completar los términos del dividendo antes de comenzar:

$(6x^4 + 7x^3 - 5x^2 + 1) : (3x^2 - x + 2)$

Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la división del polinomio $P(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 10$ entre el binomio $(x + 3)$. Indica claramente cuál es el valor del resto obtenido.

Sin realizar la división, utiliza el Teorema del Resto para averiguar si el número $x = 2$ es raíz del polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6$. Justifica tu respuesta indicando si la división de $P(x)$ entre $(x - 2)$ es exacta o no.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 4x - 8$ entre el binomio $(x - 2)$ tenga un resto igual a $10$.

El área de una pista de pádel rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 2x^2 + 11x + 12$. Si sabemos que el ancho de la pista mide $(x + 4)$ metros, determina la expresión algebraica que representa el largo de la misma.

Reconstruye el polinomio dividendo $D(x)$ sabiendo que, al dividirlo entre $d(x) = x^2 - 1$, se obtiene como cociente $C(x) = x + 5$ y como resto $R(x) = 3x - 2$. Utiliza la propiedad fundamental de la división: $D(x) = d(x) \cdot C(x) + R(x)$.

Un equipo de jóvenes programadores está diseñando un nivel de un videojuego donde el volumen de una caja de suministros es $V(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$. Si la base de la caja tiene un área de $A(x) = x^2 - 4x + 4$, ¿cuál es la expresión de la altura de la caja? ¿Qué valor toma la altura si $x = 5$ unidades?

Comprueba si el binomio $(x + 1)$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 - 1$. Para ello, puedes usar tanto la división larga como la regla de Ruffini o el Teorema del Factor. Explica qué significa que un binomio sea "factor" de otro polinomio en relación con el residuo de la división.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - ax^3 + bx^2 + x - 6$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$. Pista: utiliza el Teorema del Resto para plantear un sistema de ecuaciones.

Una empresa de logística utiliza cajas de cartón cuyo volumen en centímetros cúbicos viene dado por el polinomio $V(x) = 2x^3 + 9x^2 + 7x - 6$. Si sabemos que el área de la base de la caja es $B(x) = 2x^2 + 5x - 3$, calcula el polinomio que representa la altura $H(x)$ de la caja.

Al dividir un polinomio $P(x)$ entre $Q(x) = x^2 - 4$, obtenemos como cociente $C(x) = x^2 + 2x - 3$ y como resto $R(x) = 5x + 1$. Reconstruye el polinomio original $P(x)$ y exprésalo en su forma estándar (ordenado de mayor a menor grado).

Determina el valor de $k$ para que el resto de la división $(2x^4 - 5x^3 + kx^2 - 12) : (x + 2)$ sea igual al resto de la división $(x^3 + 2x^2 - x + 10) : (x - 3)$.

Calcula el cociente y el residuo de la siguiente división utilizando la regla de Ruffini. Presta atención, ya que el divisor no tiene coeficiente principal igual a 1:

Recuerda que para usar Ruffini el divisor debe ser del tipo $(x - a)$. ¿Cómo podrías transformar $2x - 1$ para que tenga esa forma?

El beneficio total de una tienda de videojuegos por la venta de un nuevo lanzamiento viene expresado por el polinomio $B(x) = x^3 + 15x^2 + 54x$. Si el beneficio por cada videojuego vendido se representa por el binomio $(x + 6)$, realiza la división para hallar el polinomio que representa el número total de videojuegos vendidos.

Se quiere diseñar una valla publicitaria rectangular cuya superficie total está definida por $S(x) = x^4 - 16$. Si sabemos que uno de sus lados mide $L(x) = x^2 + 4$, calcula el polinomio que representa el otro lado. A continuación, indica si el área es divisible por $(x - 2)$ y justifica tu respuesta sin realizar la división larga.

Considera el polinomio $P(x) = 3x^3 - kx^2 + 12x - 4$.

1. Calcula el valor de $k$ para que $x = 2$ sea una raíz del polinomio.

2. Una vez hallado $k$, utiliza la regla de Ruffini para dividir $P(x)$ entre $(x - 2)$ y comprueba que el residuo es cero.

3. ¿Es el cociente obtenido un polinomio de segundo grado mónico? (Un polinomio es mónico si su coeficiente principal es 1).