Ejercicios: La distribución normal

Dada una variable aleatoria que sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, calcula la probabilidad de que $Z$ tome un valor menor o igual a $1,32$. Representa gráficamente el área correspondiente bajo la curva de Gauss.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una aplicación de mensajería instantánea analiza el tiempo que tardan los servidores en entregar un mensaje. Se sabe que este tiempo sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ tras una transformación de los datos. Calcula la probabilidad de que el valor tipificado sea menor o igual a $-0,45$ utilizando las propiedades de simetría de la campana de Gauss.

El número de "me gusta" que recibe una publicación en una red específica, una vez normalizado, se comporta como una variable $Z \sim N(0, 1)$. Halla la probabilidad de que una publicación elegida al azar tenga un valor de $Z$ mayor que $1,15$.

Dada una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, calcula la probabilidad de que la variable se encuentre en el intervalo comprendido entre $0,5$ y $1,84$; es decir, calcula $P(0,5 \le Z \le 1,84)$.

La puntuación obtenida por los alumnos en un popular videojuego de simulación sigue una distribución normal $X \sim N(500, 40)$, donde la media es $\mu = 500$ puntos y la desviación típica es $\sigma = 40$ puntos. Tipifica el valor $X = 560$ para obtener su valor correspondiente en la distribución normal estándar $Z$.

El tiempo de duración de la batería de un modelo de smartphone en uso continuo sigue una distribución normal con media $\mu = 14$ horas y desviación típica $\sigma = 1,5$ horas. Calcula la probabilidad de que un teléfono elegido al azar dure menos de $15,5$ horas.

En un control de calidad de componentes electrónicos, el voltaje de salida se distribuye según una $N(0, 1)$. Si se desea descartar el $10\%$ de los componentes con voltajes más altos, ¿cuál es el valor crítico $k$ tal que $P(Z > k) = 0,10$? Utiliza la tabla de la normal para hallar el valor de $k$ más cercano.

Las estaturas de un grupo de adolescentes de $17$ años siguen una distribución normal $X \sim N(172, 8)$, con media $\mu = 172$ cm y desviación típica $\sigma = 8$ cm. En la figura se ha sombreado la zona correspondiente al intervalo $[164, 180]$.

Determina la probabilidad de que un adolescente elegido al azar mida entre $164$ y $180$ centímetros utilizando la regla de las desviaciones típicas (intervalo $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$).

Dada una variable aleatoria $Z$ que sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$, utiliza la tabla de probabilidades acumuladas para calcular los siguientes valores de probabilidad:

1. a) $P(Z \leq 1,32)$
2. b) $P(Z \geq 0,74)$
3. c) $P(Z \leq -1,15)$
4. d) $P(-0,45 \leq Z \leq 1,20)$

El puntaje obtenido por los estudiantes de un colegio en el simulacro del examen de ingreso a la universidad sigue una distribución normal de media $\mu = 6,8$ y desviación estándar $\sigma = 1,2$. Si se elige un estudiante al azar, calculá la probabilidad de que:

1. a) Su puntaje sea superior a $8$.
2. b) Su puntaje esté comprendido entre $6$ y $7,5$.
3. c) Haya obtenido menos de $5$.

Una empresa que fabrica componentes para drones ha comprobado que la duración de sus baterías de litio sigue una distribución normal con una media de $220$ minutos y una desviación típica de $15$ minutos.

1. a) ¿Qué porcentaje de baterías dura más de $240$ minutos?
2. b) Si el fabricante desea garantizar el $90 \%$ de las baterías, ¿cuál debería ser el tiempo mínimo de duración para cumplir con esta garantía?

El peso de los paquetes de café comercializados por una marca se distribuye según una normal de media desconocida $\mu$ y desviación típica $\sigma = 10$ gramos. Sabiendo que el $15,87 \%$ de los paquetes pesan más de $510$ gramos, calcula el valor de la media $\mu$.

En una plataforma de streaming, el tiempo que los adolescentes dedican diariamente a ver series sigue una distribución normal de media $95$ minutos y desviación típica $20$ minutos.

1. a) Calcula la probabilidad de que un usuario elegido al azar dedique más de $120$ minutos al día.
2. b) Si sabemos que un usuario dedica más de $100$ minutos, ¿cuál es la probabilidad de que dedique menos de $130$ minutos?

Se sabe que el nivel de glucosa en sangre en ayunas de una población de adultos sanos sigue una distribución normal $N(85, 8)$ mg/dL.

1. a) Determina el intervalo central que comprende al $95,44\,\%$ de la población (intervalo de $\pm 2\sigma$).

1. b) ¿Cuál es el valor del nivel de glucosa tal que solo el $5\,\%$ de los adultos tienen un nivel superior a él?

Dos aplicaciones de mapas, "RutaRápida" y "GeoGuía", estiman el tiempo de llegada a un destino. Los errores en las estimaciones de "RutaRápida" siguen una $N(0, 4)$ minutos, mientras que los de "GeoGuía" siguen una $N(0, 6)$ minutos (un error positivo indica que la aplicación predijo más tiempo del real).

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que "RutaRápida" cometa un error de más de $3$ minutos por exceso?
2. b) ¿Qué aplicación es más probable que cometa un error, ya sea por exceso o por defecto, de menos de $1$ minuto?

Una fábrica de neumáticos produce un modelo cuya duración kilométrica sigue una distribución normal. Se sabe que el $10 \%$ de los neumáticos duran menos de $35.000$ km y el $5 \%$ duran más de $55.000$ km. Calcula la media y la desviación típica de la duración de estos neumáticos.

El tiempo de reacción de los pilotos de un simulador de vuelo de última generación sigue una distribución normal $X \equiv N(\mu, \sigma)$. La empresa desarrolladora ha determinado que el $15,87 \%$ de los pilotos tarda más de $0,8$ segundos en reaccionar, mientras que solo el $2,28 \%$ de los pilotos logra reaccionar en menos de $0,4$ segundos.

1. a) Calcula los parámetros $\mu$ y $\sigma$ de esta distribución.

1. b) Si se selecciona un piloto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su tiempo de reacción esté comprendido entre el tiempo medio y $0,75$ segundos?

La vida útil de la batería de un modelo de smartphone de gama alta sigue una distribución normal con una media de $3500$ ciclos de carga. Se sabe que la probabilidad de que una batería dure más de $3800$ ciclos es de $0,1587$.

1. a) Determina la desviación típica de la distribución.

1. b) Si el fabricante ofrece una garantía de sustitución para el $5 \%$ de las baterías que duren menos tiempo, ¿cuántos ciclos de carga debería cubrir dicha garantía?

1. c) Si una batería ya ha superado los $3400$ ciclos de carga, ¿cuál es la probabilidad de que funcione correctamente hasta al menos los $3600$ ciclos?

En un proceso de fabricación de componentes electrónicos, el diámetro de una pieza circular sigue una distribución normal $X \equiv N(20, \sigma)$. Una pieza se considera "óptima" si su diámetro está entre $19,7$ mm y $20,3$ mm. Se sabe que el $25,1 \%$ de las piezas producidas son desechadas por ser demasiado grandes (diámetro superior a $20,3$ mm).

1. a) Calcula el valor de la desviación típica $\sigma$.

1. b) Si se empaquetan las piezas en lotes de $10$ unidades, ¿cuál es la probabilidad de que en un lote elegido al azar haya exactamente $6$ piezas óptimas?

Las puntuaciones de un examen de acceso a la universidad siguen una distribución normal. La media de las puntuaciones es de $6,2$ puntos. Se sabe que la probabilidad de obtener una nota superior a $8$ es de $0,0668$, la misma que la probabilidad de obtener una nota inferior a $x$:

1. a) Calcula la desviación típica de las notas.

1. b) Halla el valor de $x$.

1. c) ¿Qué nota mínima debería sacar un alumno para estar entre el $10 %$ de los mejores expedientes?

Un algoritmo de inteligencia artificial clasifica imágenes de satélite. El tiempo que tarda en procesar cada imagen (en milisegundos) se distribuye según una normal $N(\mu, \sigma)$. Se ha observado que el tiempo medio de procesamiento es de $120$ ms y que el $75 \%$ de las imágenes se procesan en menos de $135$ ms.

1. a) Calcula el valor de la desviación típica.

1. b) El sistema entra en modo "alerta" si el tiempo de procesamiento de una imagen supera los $150$ ms. Si el algoritmo procesa de forma independiente un lote de $5$ imágenes, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema entre en modo "alerta" al menos una vez?

En una competición de tiro con arco, la desviación (con signo) del impacto respecto al centro de la diana (en cm) sigue una distribución normal $X \equiv N(0, \sigma)$. Debido a que la distancia no puede ser negativa, el modelo la toma como el valor absoluto de esa desviación: $d = |X|$.

1. a) Si se sabe que el $50 \%$ de los impactos se encuentran a una distancia del centro inferior a $4$ cm, calcula el valor de $\sigma$.

1. b) Los arqueros de élite son aquellos que consiguen que el $95 \%$ de sus disparos impacten a menos de $2$ cm del centro. ¿Cuál debería ser la desviación típica máxima de un arquero para ser considerado de élite?

El peso de las manzanas de una cosecha se distribuye normalmente. Se ha comprobado que el $20 \%$ de las manzanas pesa menos de $150$ g y el $20 \%$ pesa más de $230$ g.

1. a) Calcula el peso medio y la desviación típica de la cosecha razonando sobre la simetría de la curva.

1. b) Las manzanas se clasifican en tres categorías: "Pequeña" (menos de $130$ g), "Estándar" (entre $130$ y $250$ g) y "Extra" (más de $250$ g). Si un agricultor recoge $2000$ manzanas, ¿cuántas se espera que pertenezcan a la categoría "Estándar"?

Se desea realizar un estudio sobre la estatura de los estudiantes de un campus universitario. Se asume que la estatura sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Tras un muestreo preliminar, se obtienen los siguientes datos:

• El $10,56 \%$ de los estudiantes mide menos de $165$ cm.

• La probabilidad de que un estudiante mida más de $180$ cm es de $0,3085$.

1. a) Plantea un sistema de ecuaciones y calcula la estatura media y la desviación típica de los estudiantes.

1. b) Si se eligen $3$ estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos mida más de $190$ cm?