Ejercicios: Estudio de la variación de una función

Un creador de contenido ha observado que el número de suscriptores de su canal, medido en miles, sigue aproximadamente la función $f(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5$, donde $t$ es el tiempo en meses desde el inicio del año. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía) de su canal durante los primeros 5 meses ($t \in [0, 5]$).

Calcula las coordenadas de los máximos y mínimos relativos de la función polinómica $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 2$. Indica en cada caso si se trata de un máximo o un mínimo utilizando el criterio de la primera derivada.

Dada la función $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$, determina sus intervalos de concavidad y convexidad, así como las abscisas de sus puntos de inflexión. Utiliza el convenio de que una función es convexa si tiene forma de "U" ($\cup$).

La siguiente gráfica representa la función derivada $f'(x)$ de una función $f(x)$. A partir de ella, responde razonadamente:

• a) ¿En qué intervalos es la función original $f(x)$ creciente y en cuáles decreciente?

• b) ¿En qué valores de $x$ presenta la función $f(x)$ sus extremos relativos? Indica de qué tipo es cada uno.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Halla los puntos de la curva $f(x) = x^3 - 12x + 1$ en los que la recta tangente es horizontal. Escribe las ecuaciones de dichas rectas tangentes.

Se está estudiando la eficacia de un nuevo fármaco. La concentración del mismo en sangre (en $mg/l$) viene dada por la función $C(t) = \frac{4t}{t^2 + 1}$, donde $t$ es el tiempo en horas transcurrido desde la toma. Determina en qué momento la concentración es máxima y cuál es el valor de dicha concentración.

Estudia la curvatura de la función $f(x) = \frac{x}{x^2 + 3}$ y comprueba si el punto $(0, 0)$ es un punto de inflexión. Justifica tu respuesta analizando el signo de la segunda derivada a ambos lados del origen.

Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x) = x^2 + kx + 8$ tenga un mínimo relativo en el punto de abscisa $x = 3$. Una vez hallado $k$, indica el valor del mínimo.

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$, se pide:

1. a) Determinar el dominio de definición de la función.

1. b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía).

1. c) Calcular las coordenadas de los máximos y mínimos relativos, si existen.

La figura muestra la gráfica de $f$ con sus asíntotas, para que puedas contrastar tus resultados.

Considera la función polinómica $f(x) = ax^3 + bx^2 + x - 4$. Determina los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ sabiendo que la función presenta un punto de inflexión en el punto $P(1, -2)$. Una vez hallados, indica si la función es cóncava o convexa en el intervalo $(2, +\infty)$.

Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de la función definida mediante $f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^x$. Justifica los intervalos de concavidad y convexidad analizando el signo de la segunda derivada.

La siguiente gráfica representa la función derivada, $f'(x)$, de una función continua $f(x)$. A partir de ella, deduce razonadamente:

1. a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.
2. b) Los valores de abscisa donde $f(x)$ alcanza sus máximos y mínimos relativos.
3. c) ¿Qué ocurre con la curvatura de $f(x)$ en el punto donde $f'(x)$ tiene un máximo relativo?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

La temperatura $T$ (en grados Celsius) de un componente electrónico durante un proceso de testeo de 8 horas viene dada por la función $T(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 30$, donde $0 \le t \le 8$ es el tiempo en horas.

1. a) ¿En qué intervalos de tiempo aumenta la temperatura del componente?
2. b) ¿Cuál es la temperatura máxima alcanzada y en qué momento se produce?
3. c) Determina en qué instante el ritmo de calentamiento es máximo (punto de inflexión).

Dada la función $f(x) = x - 2\ln(x^2 + 1)$, estudia:

1. a) El crecimiento y decrecimiento de la función en todo su dominio.
2. b) La existencia de extremos relativos y su naturaleza (máximo o mínimo).
3. c) Las asíntotas horizontales, si las tuviera, calculando los límites en el infinito.

Se desea estudiar la variación de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5)$. Hallar:

1. a) El dominio de la función.

1. b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

1. c) La curvatura y los posibles puntos de inflexión.

Sea la función $f(x) = \frac{e^x}{x}$. Analiza su monotonía y curvatura. Demuestra que, aunque la función tiene un valor mínimo relativo, no tiene puntos de inflexión en su dominio. Explica gráficamente qué ocurre con la función cuando $x$ se aproxima a cero por la derecha.

Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión, donde $a, b \in \mathbb{R}$ son parámetros desconocidos:

$f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x-1}$

Determina los valores de $a$ y $b$ sabiendo que se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

1. La recta $y = 2x + 5$ es una asíntota oblicua de la función.

2. La función presenta un extremo relativo en un punto de abscisa $x = c$, tal que la recta tangente a la gráfica en dicho punto es horizontal.

Una vez hallados $a$ y $b$, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función resultante y clasifica sus extremos relativos.

Un equipo de ingenieros está diseñando una rampa de salto para una competición de BMX. El perfil lateral de la rampa sigue la trayectoria de una función $f(x)$ definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} e^{x+2} + a & \text{si } x < -2 \\ x^3 + bx^2 + cx + d & \text{si } x \geq -2 \end{cases}$

Para que el salto sea seguro, la transición en el punto $x = -2$ debe ser "suave", es decir, la función debe ser derivable en ese punto. Además, se sabe que:

1. La rampa toca el suelo en el origen de coordenadas, $O(0,0)$.

2. En el punto $x = -1$, la rampa alcanza su máxima inclinación (punto de inflexión de la parte polinómica).

Calcula los valores de los parámetros $a, b, c$ y $d$ para que se cumplan todas las especificaciones técnicas.

La siguiente gráfica corresponde a la función derivada, $f'(x)$, de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$:

A partir exclusivamente de la información visual de la gráfica de $f'(x)$, responde razonadamente:

1. a) ¿En qué intervalos es la función original $f(x)$ creciente y en cuáles decreciente?
2. b) Indica las abscisas de los máximos y mínimos relativos de $f(x)$.
3. c) ¿En qué intervalos la función $f(x)$ es cóncava ($\cup$) y en cuáles es convexa ($\cap$)? Justifica tu respuesta relacionando la curvatura de $f$ con el crecimiento de $f'$.

La intensidad de la señal de una antena de telefonía celular en una zona determinada está modelada por la función $S(t) = t^2 \cdot e^{-0,5t}$, donde $t \geq 0$ representa el tiempo en horas desde el inicio de una tormenta solar.

1. a) Determiná el instante $t$ en el que la intensidad de la señal es máxima y calculá dicho valor.
2. b) El departamento técnico está preocupado por la "velocidad de caída" de la señal. Determiná el instante en el que la intensidad disminuye más rápidamente (es decir, el punto de inflexión donde la pendiente de bajada es mínima).
3. c) Realizá un estudio de la curvatura de $S(t)$ para entender cómo se estabiliza la señal a largo plazo.

Considera la familia de funciones $f_k(x) = x \cdot \ln(x) + kx$, definida para $x > 0$.

1. a) Halla el valor de $k$ para que la función tenga un mínimo relativo en el punto $(e, f(e))$.
2. b) Demuestra que, independientemente del valor de $k$, todas las funciones de esta familia tienen la misma curvatura en todo su dominio. ¿Es la función cóncava o convexa?
3. c) Para el valor de $k$ hallado en el apartado (a), encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva en su punto de inflexión. Si no tuviera puntos de inflexión, justifica por qué.

Sea la función $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$. Determina los coeficientes $p, q$ y $r$ sabiendo que:

1. La gráfica de $f(x)$ tiene un punto de inflexión en $I(1, 2)$.

2. La recta tangente a la gráfica en ese punto de inflexión $I$ forma un ángulo de $135^\circ$ con el sentido positivo del eje $OX$.

Una vez obtenida la función, verifica si tiene extremos relativos. En caso de que existan, calcula su distancia al origen de coordenadas.

Se desea estudiar la variación de la función $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^x$ en el intervalo $[-3, 3]$.

1. a) Expresa la función como una función definida a trozos.
2. b) Estudia la derivabilidad de $f(x)$ en los puntos $x = -2$ y $x = 2$. ¿Qué ocurre gráficamente en esos puntos (puntos angulosos, tangentes verticales...)?
3. c) Halla los intervalos de monotonía y todos los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función en su dominio.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{e^x}$, realiza un estudio exhaustivo de su variación para responder a lo siguiente:

1. a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos y mínimos relativos.
2. b) Determina los intervalos de concavidad y convexidad y localiza sus puntos de inflexión.
3. c) Calcula los límites en el infinito: $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. ¿Presenta la función algún máximo o mínimo absoluto? Justifica tu respuesta basándote en los resultados de los apartados anteriores.