Ejercicios: El modelo estándar y las partículas fundamentales

El modelo estándar describe la materia ordinaria a partir de unas pocas partículas elementales: los quarks y los leptones. Los quarks son de seis tipos: up ($\text{u}$), down ($\text{d}$), strange ($\text{s}$), charm ($\text{c}$), bottom ($\text{b}$) y top ($\text{t}$), y los dos primeros, con cargas $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ y $q_d = -\frac{1}{3}\,e$, forman los protones y los neutrones.

1. a) ¿Cuántos tipos de quarks existen y cuáles forman la materia ordinaria que nos rodea?
2. b) ¿Qué significa que los quarks sean partículas «elementales»?
3. c) Indicá el valor de la carga eléctrica de los quarks $\text{u}$ y $\text{d}$ expresada en unidades de la carga elemental $e$.

Además de los quarks, el modelo estándar incluye otra familia de partículas de materia: los leptones. El electrón, el muón y el tau, junto con sus tres neutrinos asociados, son leptones.

1. a) ¿Qué propiedad tienen en común los leptones que los diferencia de los quarks? (Pensá en si están o no formados por otras partículas y en qué interacciones sienten.)
2. b) ¿Cuál es el único leptón cargado presente en la materia ordinaria?
3. c) Indicá dos propiedades que distinguen a los neutrinos frente al resto de los leptones.

En el modelo estándar, además de las partículas de materia (quarks y leptones), existen los bosones. El fotón, los bosones $\text{W}$ y $\text{Z}$ y los gluones son partículas mediadoras de las interacciones; el bosón de Higgs también es un bosón, pero no media ninguna de las interacciones fundamentales.

1. a) Nombrá el bosón mediador de la interacción electromagnética.
2. b) ¿Qué bosón del modelo estándar está relacionado con el hecho de que las partículas tengan masa?
3. c) Explicá con tus palabras la diferencia entre el papel de un bosón mediador y el de una partícula de materia como un leptón.

En un detector de un laboratorio de física de partículas se registran estas seis partículas: electrón, protón, neutrón, fotón, neutrino y bosón de Higgs.

1. a) ¿Cuáles de ellas son leptones?
2. b) ¿Cuáles son hadrones, es decir, están formados por quarks?
3. c) ¿Cuáles son bosones mediadores o asociados a un campo?

En 1932, Carl Anderson descubrió el positrón en los rayos cósmicos: una partícula idéntica al electrón pero con carga positiva. Fue la primera antipartícula observada.

1. a) ¿Qué propiedades comparten una partícula y su antipartícula y en qué propiedad se diferencian?
2. b) Indicá cómo se llama y qué carga tiene la antipartícula del protón.
3. c) ¿Qué ocurre cuando una partícula y su antipartícula se encuentran?

En física de partículas las energías se expresan en electronvoltios y sus múltiplos: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$.

1. a) La energía en reposo del electrón es $0,511\ \text{MeV}$: expresala en joules.
2. b) La energía en reposo del protón es $938\ \text{MeV}$: expresala en joules.
3. c) ¿Cuántas veces mayor es la energía en reposo del protón que la del electrón? Expresá el resultado en notación científica.

Según la relatividad, toda partícula en reposo posee una energía $E_0 = m \cdot c^2$ asociada a su masa. Datos: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calculá la energía en reposo del electrón en julios.
2. b) Convertí el resultado a $\text{MeV}$ y comprobá que coincide aproximadamente con el valor aceptado, $0,511\ \text{MeV}$.
3. c) Repetí el cálculo para el protón ($m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$) y compará el resultado con $938\ \text{MeV}$.

En una tomografía por emisión de positrones (PET), técnica de diagnóstico médico, se inyecta al paciente un radiotrazador que emite positrones. Cada positrón se aniquila con un electrón del tejido y se emiten dos fotones gamma en sentidos opuestos. Datos: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Fijate en el esquema:

1. a) Suponiendo que el electrón y el positrón están prácticamente en reposo, calculá la energía total liberada en la aniquilación, en julios.
2. b) ¿Qué energía lleva cada uno de los dos fotones? Expresala en $\text{MeV}$.
3. c) Explicá, usando la conservación del momento lineal, por qué los dos fotones salen en sentidos opuestos y por qué eso permite al equipo PET localizar el punto donde ocurrió la aniquilación.

En el modelo estándar es habitual expresar las masas de las partículas en $\text{MeV}/c^2$. Datos: masa del electrón $m_e = 0,511\ \text{MeV}/c^2$, masa del muón $m_\mu = 105,7\ \text{MeV}/c^2$, $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ y $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Explicá qué significa expresar una masa en $\text{MeV}/c^2$ y qué relación tiene con la ecuación $E_0 = m \cdot c^2$.
2. b) Calculá la masa del muón en kilogramos.
3. c) ¿Cuántas veces más masivo es el muón que el electrón? Este resultado, cercano a $207$, hizo que en los años 30 el muón se confundiera inicialmente con la partícula predicha por Yukawa, que luego se descartó por su débil interacción con los núcleos.

Cada segundo atraviesan nuestro cuerpo unos $10^{14}$ neutrinos procedentes de las reacciones nucleares del Sol, sin que notemos absolutamente nada.

1. a) Explicá, a partir de sus propiedades (carga, masa y tipo de interacción que sienten), por qué los neutrinos atraviesan la Tierra entera sin apenas interactuar.
2. b) ¿A qué familia del modelo estándar pertenecen los neutrinos y en qué se distinguen de los quarks?
3. c) Razoná por qué los detectores de neutrinos, como Super-Kamiokande en Japón, utilizan tanques gigantescos de agua instalados profundamente bajo tierra.

Los muones son leptones inestables, con una vida media de solo $\tau = 2,2\ \mu\text{s}$. Se producen en la alta atmósfera, a unos $15\ \text{km}$ de altura, cuando los rayos cósmicos chocan con las moléculas del aire, y viajan prácticamente a la velocidad de la luz. Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; considerá un muón con velocidad $v = 0,999\,c$. Fijate en el esquema:

1. a) Según la física clásica, calculá la distancia que recorrería el muón, en promedio, antes de desintegrarse.
2. b) Compará esa distancia con los $15\ \text{km}$ que lo separan del suelo y explicá qué predeciría la física clásica sobre la posibilidad de detectar muones en la superficie terrestre.
3. c) En la superficie sí se detectan muones en abundancia: explicá cualitativamente qué efecto relativista (dilatación del tiempo o, equivalentemente, contracción de la longitud) lo hace posible.

La aniquilación materia-antimateria convierte el $100\ \%$ de la masa en energía, el rendimiento más alto que permite la física. Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; la combustión de la nafta libera unos $4,5\cdot10^{7}\ \text{J/kg}$.

1. a) Calculá la energía liberada al aniquilarse $1\ \text{g}$ de antimateria con $1\ \text{g}$ de materia ordinaria. Recordá que desaparece la masa de ambas.
2. b) ¿A cuántos kilogramos de nafta equivale esa energía? Expresá el resultado en notación científica.
3. c) A pesar de ese rendimiento espectacular, la antimateria nunca será una fuente de energía práctica: razoná por qué, pensando en de dónde se obtiene la antimateria y en cuánta energía cuesta fabricarla.