Ejercicios: El principio de Arquímedes: el empuje

Enunciá con tus palabras el principio de Arquímedes: qué es el empuje, en qué dirección y sentido actúa y a qué es igual su valor.

Cuando te metés en la pileta tenés la sensación de pesar menos, como si el agua te sostuviera. ¿Qué fuerza aparece al sumergirte? ¿Quién la ejerce y hacia dónde empuja?

Un cubo sumergido del todo en agua desaloja un volumen de $0,002\ \text{m}^3$ (unos $2\ \text{L}$), como se muestra en la figura.

Calculá el empuje que recibe usando $E = d\cdot V\cdot g$. Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

Sobre la mesa tenés un tapón de corcho ($d = 240\ \text{kg/m}^3$) y una tuerca de hierro ($d = 7\,870\ \text{kg/m}^3$). Sin hacer cálculos, predecí cuál flotará y cuál se hundirá en agua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) y explicá el criterio que usaste.

Un barco de acero de miles de toneladas flota, pero una pequeña bola de acero se hunde hasta el fondo. Si ambos son del mismo material, explicá qué hace flotar al barco (pensá en su forma hueca y en su densidad media).

Dos botellas idénticas llenas de arena se sumergen por completo en agua, una a $1\ \text{m}$ de profundidad y otra a $5\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

¿Recibe una más empuje que la otra? Justificalo fijándote en las magnitudes de las que depende el empuje.

Los cubitos de hielo flotan en el vaso de agua. Sabiendo que la densidad del hielo es de unos $900\ \text{kg/m}^3$, explicá por qué flotan y escribí la condición que debe cumplir la densidad de un cuerpo para que flote en un líquido.

Un globo aerostático asciende cuando el quemador calienta el aire de su interior. Explicá qué le ocurre a la densidad del aire al calentarse y por qué el empuje del aire frío exterior acaba levantando el globo.

Un bloque de $3\ \text{kg}$ tiene un volumen de $0,004\ \text{m}^3$ y se sumerge por completo en agua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), como se muestra en la figura. Tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculá su peso.
2. b) Calculá el empuje que recibe.
3. c) ¿Flota o se hunde? Indicá qué fuerza neta actúa sobre él y hacia dónde.

Una piedra de $5\ \text{kg}$ y $0,001\ \text{m}^3$ de volumen cuelga de un dinamómetro y se sumerge por completo en agua, como se muestra en la figura. Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; tomá $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculá su peso real.
2. b) Calculá el empuje del agua.
3. c) ¿Qué valor marca el dinamómetro con la piedra sumergida? Explicá por qué ese «peso aparente» es menor.

Una pieza metálica de $2\ \text{kg}$ tiene un volumen de $0,0005\ \text{m}^3$ ($0,5\ \text{L}$). Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculá su peso.
2. b) Calculá el empuje que recibe si se sumerge por completo en agua.
3. c) ¿Flota o se hunde? Calculá además su densidad y compará con la del agua para confirmar tu respuesta.

Un tronco de $0,01\ \text{m}^3$ se sumerge por completo, primero en un lago y después en el mar. Tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculá el empuje que recibe en el lago ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$).
2. b) Calculá el empuje que recibe en el mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$).
3. c) Con esos resultados, explicá por qué los bañistas flotan «más alto» en el mar que en una pileta.

Un bloque de madera de $6\ \text{kg}$ flota en equilibrio sobre el agua de una pileta ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), como se muestra en la figura. Tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Si flota en equilibrio, ¿cuánto vale el empuje que recibe? Justificalo.
2. b) Calculá el volumen de agua que desaloja, es decir, su volumen sumergido. Expresalo en $\text{m}^3$ y en litros.

Un cubito de hielo ($d_{hielo} = 900\ \text{kg/m}^3$) flota en un vaso de agua ($d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), como se muestra en la figura.

1. a) En equilibrio, el peso del hielo iguala al empuje: $d_{hielo}\cdot V\cdot g = d_{agua}\cdot V_{sum}\cdot g$. Simplificá la expresión y despejá la fracción sumergida $\frac{V_{sum}}{V}$.
2. b) Calculá qué porcentaje del cubito queda bajo el agua y qué porcentaje sobresale.
3. c) Relacioná el resultado con la expresión «esto es solo la punta del iceberg».

Un objeto pesa $12\ \text{N}$ en el aire y, al sumergirlo por completo en agua, el dinamómetro marca $8\ \text{N}$. Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) ¿Cuánto vale el empuje que recibe?
2. b) Calculá el volumen del objeto.
3. c) Con su peso real y su volumen, calculá su densidad en $\text{kg/m}^3$.

Un huevo de $60\ \text{g}$ tiene un volumen de $55\ \text{cm}^3$. Tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculá su peso en newtons (cuidado con las unidades).
2. b) Calculá el empuje que recibe al sumergirlo del todo en agua de la canilla ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) y deducí si flota o se hunde.
3. c) Al disolver mucha sal, el agua alcanza una densidad de $1\,200\ \text{kg/m}^3$: calculá el nuevo empuje y explicá por qué ahora el huevo flota.

Un yate de $4\,000\ \text{kg}$ flota en el mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$). Tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculá su peso y razoná cuánto vale el empuje que recibe al flotar en equilibrio.
2. b) Calculá el volumen sumergido del casco.
3. c) El yate entra en un río de agua dulce ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$): calculá el nuevo volumen sumergido y explicá si el barco navega más alto o más bajo en el agua.

Un iceberg de $10\,000\ \text{m}^3$ flota en el mar. Datos: $d_{hielo} = 900\ \text{kg/m}^3$, $d_{mar} = 1\,025\ \text{kg/m}^3$.

1. a) Calculá qué fracción de su volumen queda sumergida (recordá: en equilibrio, $\frac{V_{sum}}{V} = \frac{d_{hielo}}{d_{mar}}$).
2. b) ¿Qué volumen del iceberg sobresale del agua?
3. c) Con esos resultados, explicá por qué los icebergs son tan peligrosos para la navegación aunque la parte visible parezca pequeña.

Un submarino de $800\ \text{t}$ ($800\,000\ \text{kg}$) navega totalmente sumergido, en equilibrio, en el mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$), como se muestra en la figura. Tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) ¿Cuánto vale el empuje que recibe? Justificalo a partir de la condición de equilibrio.
2. b) Calculá el volumen de agua que desaloja, es decir, el volumen del submarino.
3. c) Para emerger, el submarino expulsa el agua de mar de sus tanques de lastre y la sustituye por aire: explicá qué magnitud cambia, si el peso o el empuje, y por qué eso le hace subir.

Un globo aerostático tiene un volumen de $2\,000\ \text{m}^3$, como se muestra en la figura. El aire exterior tiene una densidad de $1,2\ \text{kg/m}^3$ y el aire caliente del interior, de $1,0\ \text{kg/m}^3$. Tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculá el empuje que ejerce el aire exterior sobre el globo.
2. b) Calculá el peso del aire caliente que llena el globo.
3. c) La diferencia entre ambos es la fuerza disponible para levantar la envoltura, la canasta y los pasajeros: ¿qué masa máxima pueden tener en conjunto para que el globo ascienda?

Una corona de $1\ \text{kg}$ debería ser de oro puro ($d_{oro} = 19\,300\ \text{kg/m}^3$). La pesás sumergida en agua y el dinamómetro marca $9,2\ \text{N}$. Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) ¿Qué volumen ocuparía la corona si fuera de oro puro? Expresalo en $\text{cm}^3$.
2. b) A partir de la lectura del dinamómetro, calculá el empuje real y el volumen real de la corona.
3. c) Calculá la densidad real de la corona y decidí si es de oro puro o está aleada con un metal menos denso, como sospechaba Arquímedes.

Una balsa de corcho ($d = 240\ \text{kg/m}^3$) tiene un volumen de $0,5\ \text{m}^3$ y flota en agua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$). Tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) ¿Qué fracción de la balsa queda sumergida cuando flota sola?
2. b) Calculá el empuje máximo que puede proporcionar la balsa, es decir, estando totalmente sumergida.
3. c) Calculá el peso de la propia balsa y deducí qué masa máxima puede cargar encima sin hundirse del todo.

Un globo de fiesta contiene $5\ \text{L}$ de helio ($0,005\ \text{m}^3$). Datos: $d_{aire} = 1,2\ \text{kg/m}^3$, $d_{helio} = 0,18\ \text{kg/m}^3$; tomá $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculá el empuje que ejerce el aire sobre el globo.
2. b) Calculá el peso del helio que lo llena.
3. c) La envoltura del globo tiene una masa de $3\ \text{g}$: ¿qué masa extra (cinta, adornos) puede llevar como máximo para seguir ascendiendo?
4. d) Explicá por qué el globo deja de subir al alcanzar cierta altura (pensá en cómo cambia la densidad del aire con la altitud).

Una persona de $70\ \text{kg}$ flota en equilibrio, primero en una pileta ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) y después en el mar Muerto ($d = 1\,240\ \text{kg/m}^3$).

1. a) Escribí la condición de equilibrio $P = E$ con la masa de la persona y el volumen sumergido, y comprobá que, al simplificar, se obtiene $V_{sum} = \frac{m}{d}$: ni siquiera hace falta conocer $g$.
2. b) Calculá el volumen sumergido en la pileta y expresalo en litros.
3. c) Calculá el volumen sumergido en el mar Muerto y explicá, comparando ambos resultados, por qué allí se flota «como un corcho» y es casi imposible hundirse.

Reto del tema. ¿Cómo controla un batiscafo su flotabilidad para rescatar objetos del fondo marino? Diseñá un informe técnico resolviendo este problema mediante un prototipo casero.

1. Datos de partida: Consultá en el Servicio Meteorológico Nacional (SMN) la presión atmosférica actual ($p_0$) de tu localidad. Construí un ludión o diablillo de Descartes introduciendo una tapa de lapicera lastrada con plastilina dentro de una botella de plástico de $1,5\text{ L}$ llena de agua.

2. Toma de datos y gráfico: Presioná la botella para mantener el ludión en equilibrio a $5$ profundidades distintas. Medí cada profundidad $h$ con una regla ($\pm 0,1\text{ cm}$). Construí una tabla registrando $h$ y calculando la presión debida a la atmósfera y a la columna de agua, sin incluir la presión añadida al presionar ($p = p_0 + \rho \cdot g \cdot h$, con $\rho = 1000\text{ kg/m}^3$ y $g = 9,8\text{ m/s}^2$). Representá el gráfico de $p$ frente a $h$ reflejando las incertidumbres.

3. Propuesta razonada: Redactá un informe breve que justifique cómo la presión aplicada se transmite por el agua (principio de Pascal), cómo se comprime el aire variando el empuje (principio de Arquímedes) y la influencia de la presión hidrostática en el descenso.

Se valorará:

• Rigor en la toma de datos casera, estimación de incertidumbres y representación gráfica.

• Aplicación correcta de los principios de Pascal, Arquímedes y el cálculo de la presión hidrostática.

• Calidad de las conclusiones del informe y uso adecuado del lenguaje científico.