Ejercicios: La distribución normal (idea y conceptos)

Una conocida marca de zapatillas analiza el tiempo de duración de sus suelas antes de desgastarse. Determinaron que este tiempo sigue una distribución normal con una media de $\mu = 800$ km y una desviación estándar de $\sigma = 120$ km.

Explicá con tus propias palabras qué significan estos dos parámetros ($\mu$ y $\sigma$) en el contexto del desgaste de las zapatillas. ¿Qué le ocurriría al gráfico de la distribución si la empresa lograra que todas sus zapatillas duraran de forma mucho más similar entre sí (es decir, que hubiera menos variabilidad)?

Observa las siguientes dos funciones de densidad correspondientes a dos variables aleatorias distintas, $X_1$ y $X_2$, que representan el tiempo de uso diario (en minutos) de dos aplicaciones de redes sociales diferentes:

Sabiendo que ambas curvas tienen la misma forma (misma desviación típica), razona cuál de las dos aplicaciones tiene un tiempo medio de uso superior. Justifica tu respuesta basándote en la posición de $\mu$ en el eje horizontal.

El peso de los estudiantes de un colegio sigue una distribución normal de media $\mu = 65$ kg. Sin realizar cálculos con tablas, y basándote únicamente en la propiedad de simetría de la distribución normal, respondé a las siguientes preguntas:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar pese más de $65$ kg?
2. b) ¿Qué porcentaje de alumnos se espera que pesen menos de $65$ kg?
3. c) Si en el colegio hay $800$ alumnos, ¿cuántos de ellos esperarías que estuvieran por encima de la media de peso?

Imaginá que comparamos el rendimiento de dos procesadores de computadora, $P_1$ y $P_2$. La velocidad de procesamiento de ambos sigue una distribución normal con la misma media ($\mu$), pero sus gráficos son los siguientes:

Indicá cuál de los dos procesadores tiene una desviación estándar ($\sigma$) mayor y explicá qué significa esto respecto a la estabilidad de su velocidad (es decir, ¿cuál de los dos es más "predecible" en su rendimiento?).

En una distribución normal, el área total encerrada bajo la curva y el eje de abscisas representa la probabilidad del evento seguro.

1. a) ¿Cuál es el valor numérico de dicha área total?
2. b) Si sabemos que la probabilidad de que una variable $X$ sea menor que un valor $k$ es $P(X < k) = 0,72$, ¿cuál será la probabilidad de que sea mayor que ese mismo valor, $P(X > k)$? Justificá tu respuesta usando las propiedades del área bajo la curva.

Identifica cuál de las siguientes variables aleatorias tiene más probabilidades de seguir una distribución normal y justifica brevemente por qué (recuerda la idea de que los valores tienden a agruparse en torno al centro):

1. El resultado del lanzamiento de un dado de seis caras.

2. El tiempo que tardan los adolescentes de una ciudad en recorrer 100 metros lisos.

3. El número de veces que sale "cara" al lanzar una moneda 2 veces.

Se dice que una distribución normal es "estándar" cuando sus parámetros tienen unos valores específicos que facilitan el uso de tablas estadísticas.

1. a) ¿Cuáles son los valores de la media ($\mu$) y de la desviación típica ($\sigma$) para una distribución normal estándar $Z \sim N(\mu, \sigma)$?
2. b) En una normal estándar, ¿cuál es el valor de la ordenada (altura de la curva) en el punto donde se encuentra la media? (No necesitas el número exacto, solo indicar si es el punto máximo, mínimo o nulo de la función).

Dada una variable aleatoria continua que sigue una distribución $X \sim N(100, 10)$, dibuja un esquema a mano alzada de la campana de Gauss y sitúa en el eje horizontal los valores que se encuentran a una, dos y tres desviaciones típicas a la derecha de la media.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dadas las dos funciones de densidad representadas en la imagen, correspondientes a dos variables aleatorias con distribución normal, identifica razonadamente cuál de ellas posee una mayor desviación típica y cuál una mayor media. Explica cómo influye cada parámetro en la forma y posición de la "campana de Gauss".

Una variable aleatoria continua sigue una distribución normal de media $\mu = 50$ y desviación típica $\sigma = 10$. Utilizando las propiedades de simetría de la campana de Gauss, y sabiendo que el área total bajo la curva es $1$, determina el valor de las siguientes probabilidades sin necesidad de consultar las tablas:

1. a) $P(X > 50)$
2. b) $P(X = 50)$
3. c) Si sabemos que $P(X < 40) = 0,1587$, calcula $P(X > 60)$.

El tiempo que los adolescentes de un colegio secundario pasan diariamente en una conocida red social sigue una distribución normal con una media de $145$ minutos y una desviación típica de $20$ minutos.

1. a) Tipificá la variable para un alumno que pasa exactamente $175$ minutos al día.
2. b) ¿Qué significa, en términos de desviación típica, el valor obtenido en el punto anterior respecto a la media del grupo?

En una distribución normal $N(0, 1)$, se sabe que el valor crítico $z_{\alpha/2}$ que deja a su derecha un área de $0,025$ es $1,96$. Utiliza esta información y la simetría de la distribución para calcular:

1. a) $P(Z < 1,96)$

1. b) $P(Z > -1,96)$

1. c) $P(-1,96 < Z < 1,96)$

Las puntuaciones de un videojuego de estrategia se distribuyen según una normal de media $\mu = 2500$ puntos y $\sigma = 400$ puntos. Los desarrolladores quieren otorgar una "insignia legendaria" al $5\%$ de los jugadores con las puntuaciones más altas.

Si el valor de la variable normalizada $Z$ que deja a su derecha un área de $0,05$ es $z = 1,645$, ¿cuál es la puntuación mínima necesaria para obtener dicha insignia?

Dada una variable $Z$ con distribución $N(0, 1)$, utiliza las propiedades de la distribución normal para expresar las siguientes probabilidades en función de $P(Z < k)$, siendo $k$ un valor positivo:

1. a) $P(Z > k)$
2. b) $P(Z < -k)$
3. c) $P(-k < Z < k)$
4. d) $P(Z > -k)$

Se ha medido la duración de las baterías de un modelo de smartphone, resultando una distribución normal con una media de $35$ horas. Sabemos que el intervalo característico $(31, 39)$ contiene al $95\%$ de los dispositivos.

1. a) ¿Cuál es el error máximo admisible de este intervalo respecto a la media?
2. b) Sabiendo que para una confianza del $95\%$ el valor crítico es $z_{\alpha/2} = 1,96$, calcula el valor de la desviación típica $\sigma$ de la duración de las baterías.

Compara conceptualmente las siguientes tres distribuciones de probabilidad: $N(10, 2)$, $N(10, 5)$ y $N(15, 2)$.

1. a) ¿Cuáles tienen la misma forma (curvatura) pero distinta posición en el eje horizontal?
2. b) ¿Cuáles están centradas en el mismo punto pero tienen distinta dispersión (una es más "puntiaguda" que la otra)?
3. c) Si tuvieras que elegir la distribución que mejor representa a un grupo de alumnos con notas muy parecidas entre sí y cercanas al aprobado justo ($5$), ¿qué valores aproximados de $\mu$ y $\sigma$ propondrías?

En una academia de e-sports, se ha comprobado que la puntuación obtenida por los jugadores en un simulador de estrategia sigue una distribución normal. Se sabe que el $15,87 \%$ de los jugadores obtienen más de $85$ puntos y que el $2,28 \%$ no llega a los $40$ puntos. Calcula, de forma razonada, la media $\mu$ y la desviación típica $\sigma$ de esta población de jugadores.

Una empresa tecnológica fabrica procesadores cuya vida útil sigue una distribución normal con una media de $12.000$ horas. Debido a un error en la cadena de montaje, el $10 \%$ de los procesadores fallan antes de las $9.500$ horas.

1. a) Calcula la desviación típica $\sigma$ de la distribución.
2. b) Si la empresa quiere ofrecer una garantía que solo cubra al $2 \%$ de los procesadores que duren menos, ¿cuántas horas de vida útil debería marcar como límite de esa garantía?

El tiempo que los estudiantes de 2º de Bachillerato dedican diariamente a usar aplicaciones de productividad sigue una distribución $N(\mu, \sigma)$. Se sabe que el tiempo medio es de $45$ minutos. Si la probabilidad de que un estudiante use estas apps entre $30$ y $60$ minutos es de $0,8664$, determina el valor de la desviación típica.

En un estudio sobre el consumo de datos móviles, se observa que la cantidad de GB utilizados mensualmente por los jóvenes sigue una distribución normal de media $25$ GB. Se comprobó que el intervalo característico correspondiente al $95 \%$ de los usuarios es $[15,2, \,\, 34,8]$.

1. a) Determiná la desviación estándar de la distribución.
2. b) ¿Cuál sería el intervalo característico si quisiéramos cubrir al $99,7 \%$ de la población (regla de las $3\sigma$)?

Dos amigos, A y B, han hecho el mismo examen de matemáticas pero en clases diferentes. Las notas de la clase de A siguen una distribución $N(6,5; \,\, 1,2)$ y las de la clase de B una $N(7; \,\, 0,8)$. A ha obtenido un $8,2$ y B un $8,1$. Justifica matemáticamente, utilizando la tipificación de la variable, cuál de los dos ha obtenido un mejor resultado relativo respecto a su grupo.

Un fabricante de bombillas LED afirma que la duración de sus productos sigue una normal con una desviación típica de $200$ horas. Para que el departamento de marketing pueda decir que "el $90 \%$ de nuestras bombillas duran más de $T$ horas", deben calcular ese valor $T$. Si se sabe que la media es de $5.000$ horas, calcula el valor de $T$ y explica gráficamente su significado en la campana de Gauss.

La cantidad de café (en ml) que dispensa una máquina automática sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se sabe que el $5 \%$ de los vasos contienen menos de $190$ ml y el $10 \%$ contienen más de $215$ ml. Plantea un sistema de ecuaciones para hallar $\mu$ y $\sigma$.

En un control de calidad de paquetes de harina de $1$ kg, se acepta un paquete si su peso está entre $990$ g y $1010$ g. Si los pesos siguen una distribución normal con media $1000$ g y desviación típica de $8$ g:

1. a) ¿Qué porcentaje de paquetes son rechazados?
2. b) Si el fabricante desea que solo el $5 \%$ de los paquetes sean rechazados por pesar poco (menos de $990$ g), ¿a qué valor debería ajustar la media $\mu$ de la máquina (manteniendo $\sigma = 8$)?

En toda distribución normal se cumple la llamada regla del 68-95-99,7: aproximadamente el $68\ \%$ de los valores cae dentro del intervalo $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$, el $95\ \%$ dentro de $(\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma)$ y el $99,7\ \%$ dentro de $(\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)$.

Las puntuaciones de un test de coeficiente intelectual (CI) en una población muy numerosa siguen una distribución normal de media $\mu = 100$ y desviación típica $\sigma = 15$. Se aplica el test a $10.000$ personas.

1. a) ¿Cuántas personas se espera que obtengan una puntuación entre $85$ y $115$ puntos? ¿Y entre $70$ y $130$?

1. b) ¿Qué porcentaje de las personas superará los $130$ puntos? ¿A cuántas desviaciones típicas de la media se encuentra esa puntuación?

1. c) Una persona ha obtenido $148$ puntos. Utilizando la regla anterior, razona si su puntuación puede considerarse un valor atípico.