Ejercicios: Sucesos

En el estudio de los fenómenos cotidianos, es fundamental distinguir entre la certeza y el azar. Clasificá los siguientes experimentos como aleatorios o deterministas:

1. a) Patear un penal en un entrenamiento y observar si la pelota entra en el arco.
2. b) Medir el tiempo que tarda un objeto en caer desde una altura de 5 metros en el vacío.
3. c) Observar la cantidad de mensajes de WhatsApp que recibís entre las 17:00 y las 18:00 de un lunes cualquiera.
4. d) Calcular el costo total de la compra de 3 kilos de naranjas si el precio por kilo es de $\$1\,250$.
5. e) Extraer una carta de un mazo de cartas españolas y observar si es de bastos.

Disponemos de una ruleta de la fortuna dividida en 8 sectores iguales, numerados del 1 al 8. Se hace girar la ruleta y se anota el número indicado por la flecha.

Basándote en este experimento:

1. a) Escribí el espacio muestral $E$.
2. b) Indicá los elementos que forman el evento $A = \text{"obtener un número mayor que 5"}$.
3. c) Indicá los elementos que forman el evento $B = \text{"obtener un número par"}$.
4. d) Describí con palabras el evento complementario $\bar{A}$.

Se lanzan dos dados cúbicos (de seis caras) y se anota la suma de los puntos obtenidos.

1. a) ¿Cuál es el espacio muestral $E$ de este experimento?
2. b) Escribí los eventos elementales que componen el evento $S = \text{"la suma es múltiplo de 5"}$.
3. c) Determiná si el evento $I = \text{"la suma es un número menor que 2"}$ es un evento posible, imposible o seguro.

En una bolsa hay 10 bolillas numeradas del 1 al 10. Consideramos los siguientes sucesos:

$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$B = \{6, 7, 8, 9, 10\}$

Hallá los elementos de los siguientes sucesos resultantes:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (suceso contrario de $A$)
4. d) $A - B$ (sucesos que están en $A$ pero no en $B$)

Considerá el experimento de extraer una carta de un mazo de cartas españolas de 40 cartas. Indicá si los siguientes pares de sucesos son compatibles o incompatibles:

1. a) $A = \text{"Sacar un Rey"}$ y $B = \text{"Sacar una Sota"}$.
2. b) $C = \text{"Sacar un Oro"}$ y $D = \text{"Sacar una Figura"}$.
3. c) $E = \text{"Sacar un número par"}$ y $F = \text{"Sacar el As de Espadas"}$.
4. d) $G = \text{"Sacar un Caballo"}$ y $H = \text{"Sacar una carta de Copas"}$.

Un grupo de amigos analiza sus pasatiempos. Sea $D$ el evento "practicar deporte" y $M$ el evento "tocar un instrumento musical". Expresá simbólicamente mediante operaciones de eventos las siguientes situaciones:

1. a) El amigo practica deporte o toca un instrumento (o ambas cosas).
2. b) El amigo practica deporte y además toca un instrumento.
3. c) El amigo practica deporte pero no toca ningún instrumento.
4. d) El amigo no practica deporte ni toca ningún instrumento.

Observá el siguiente diagrama de Venn que representa los sucesos $A$ y $B$ dentro de un espacio muestral $E$.

Si el punto $x$ representa un resultado del experimento, indicá si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas basándote en el gráfico:

1. a) El resultado $x$ pertenece al suceso $A \cup B$.
2. b) El resultado $x$ pertenece al suceso $A \cap B$.
3. c) Los sucesos $A$ y $B$ son incompatibles.
4. d) El resultado $x$ pertenece al suceso $A - B$.

En un aula de 1º de Bachillerato hay 12 alumnos que han elegido Francés como segunda lengua, 15 que han elegido Alemán y 3 que han elegido ambas. Si elegimos un alumno al azar:

1. a) ¿Cuál es el número total de alumnos que estudian alguna de las dos lenguas (suceso unión)?
2. b) ¿Cuántos alumnos estudian solo Alemán?
3. c) Utilizando la Regla de Laplace, si en total hay 30 alumnos en la clase, calcula la probabilidad de que el alumno elegido estudie Alemán.

En una encuesta realizada a los alumnos de 1.º de Bachillerato sobre sus suscripciones a plataformas de streaming, se ha obtenido que el $60\%$ está suscrito a Netflix ($N$), el $45\%$ a HBO Max ($H$) y el $20\%$ no está suscrito a ninguna de las dos. Si elegimos un alumno al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que esté suscrito a ambas plataformas.

1. b) La probabilidad de que esté suscrito a Netflix pero no a HBO Max ($P(N - H)$).

1. c) Representa la situación mediante un diagrama de Venn (dibuja el espacio muestral $E$ y los conjuntos $N$ y $H$) indicando las probabilidades de cada región.

Dados dos eventos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, sabemos que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,3$. Si además se conoce que $P(A) = 0,4$ y $P(B) = 0,5$, determiná:

1. a) ¿Son $A$ y $B$ eventos incompatibles? Justificá tu respuesta.
2. b) ¿Son $A$ y $B$ eventos independientes?
3. c) Calculá $P(A \cap \bar{B})$.

En un torneo de e-sports, el $70\%$ de los participantes usa teclado mecánico ($T$) y el $40\%$ usa ratón ergonómico ($R$). Sabemos que la probabilidad de que un participante elegido al azar no use ni teclado mecánico ni ratón ergonómico es de $0,15$.

1. a) Calcula la probabilidad de que un jugador use ambas cosas.
2. b) Si sabemos que un jugador usa teclado mecánico, ¿cuál es la probabilidad de que también use ratón ergonómico?
3. c) ¿Es el uso del ratón ergonómico independiente del uso del teclado mecánico?

Observá el siguiente diagrama de Venn que representa las probabilidades de los eventos $A$ (estudiar francés) y $B$ (estudiar alemán) en un centro de idiomas.

A partir de los datos del gráfico, calculá:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(\bar{A} | B)$
3. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ utilizando las Leyes de Morgan.

Un analista de datos estudia la probabilidad de que una publicación en Instagram sea exitosa. Define los eventos $V$ (el post es un video) y $L$ (el post recibe más de 500 "likes"). Se sabe que $P(V) = 0,25$, $P(L) = 0,40$ y $P(V \cup L) = 0,55$.

1. a) Calculá $P(V \cap L)$.
2. b) Determiná si los eventos "ser video" y "recibir muchos likes" son independientes.
3. c) Calculá la probabilidad de que el post reciba muchos likes sabiendo que no es un video.

En una caja de seguridad hay dos compartimentos. El compartimento A contiene 4 billetes de 10.000 pesos y 6 de 20.000 pesos. El compartimento B contiene 7 billetes de 10.000 pesos y 3 de 20.000 pesos. Se tira un dado: si sale un número menor que 3 se elige el compartimento A, y en caso contrario el B. A continuación, se extrae un billete al azar.

1. a) Dibujá el diagrama de árbol correspondiente.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el billete extraído sea de 20.000 pesos?
3. c) Si el billete extraído es de 10.000 pesos, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del compartimento A?

Un equipo de trabajo de 1º de Bachillerato está formado por 5 chicas y 3 chicos. El profesor debe elegir a 2 personas al azar para presentar el proyecto. Calcula:

1. a) El espacio muestral del experimento (atendiendo al género de los elegidos).
2. b) La probabilidad de que los dos elegidos sean del mismo género.
3. c) La probabilidad de que al menos uno de los elegidos sea una chica.

Se realizó un estudio sobre el uso de anteojos de sol y la fatiga visual en conductores. De 200 conductores, 120 usan anteojos de sol habitualmente. De los que usan anteojos de sol, el $10\%$ afirma tener fatiga visual después de un viaje largo, mientras que entre los que no los usan, el porcentaje de fatiga se eleva al $35\%$.

1. a) Organizá la información en una tabla de contingencia.
2. b) Si elegimos un conductor al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga fatiga visual?
3. c) Si un conductor afirma no tener fatiga visual, ¿cuál es la probabilidad de que use anteojos de sol?

En un estudio sobre el consumo de medios digitales entre adolescentes, se analizan dos eventos: $A$ (el usuario usa habitualmente una plataforma de microblogging) y $B$ (el usuario consume contenido en plataformas de streaming de video). Tras realizar una encuesta, se obtuvieron los siguientes datos de probabilidad:

• La probabilidad de que un usuario no use ninguna de las dos plataformas es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,15$.

• La probabilidad de que use habitualmente la plataforma de microblogging es $P(A) = 0,6$.

• La probabilidad de que no use la plataforma de streaming sabiendo que sí usa la de microblogging es $P(\bar{B}/A) = 0,4$.

Calculá razonadamente las siguientes probabilidades:

1. a) La probabilidad de que el usuario consuma contenido en streaming, $P(B)$.
2. b) La probabilidad de que use la plataforma de microblogging pero no la de streaming, $P(A - B)$.
3. c) ¿Son los eventos $A$ y $B$ independientes? Justificá tu respuesta mediante cálculos.

Considerá un experimento aleatorio donde el espacio muestral es $E$. Sean $S_1$ y $S_2$ dos eventos tales que sus probabilidades dependen de un valor desconocido $k \in \mathbb{R}$. Se sabe que:

• $P(S_1) = k$

• $P(S_2) = k^2 + 0,1$

• $P(S_1 \cup S_2) = 0,7$

Determiná el valor de $k$ sabiendo que los eventos $S_1$ y $S_2$ son incompatibles. Una vez hallado $k$, comprobá si sería posible que $S_1$ y $S_2$ fueran independientes bajo las mismas condiciones de probabilidad individual (ignorando la unión anterior). Justificá si existe algún valor de $k$ que permita la independencia y la unión simultáneamente.

Una empresa de ciberseguridad ha instalado dos sistemas de detección de intrusos, $D_1$ y $D_2$, que funcionan de forma independiente. La probabilidad de que ante un ataque externo el sistema $D_1$ dé la alarma es de $0,92$. Por otro lado, la probabilidad de que el sistema $D_2$ no detecte el ataque es de $0,15$.

El diagrama muestra las ramas posibles (✓ = detecta, ✗ = no detecta).

Si se produce un ataque inesperado, calcula:

1. a) La probabilidad de que al menos uno de los dos sistemas detecte el ataque.

1. b) La probabilidad de que solo el sistema $D_2$ dé la alarma.

1. c) Sabiendo que el ataque ha sido detectado por al menos uno de los sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sistemas hayan funcionado correctamente?

Sean $A$, $B$ y $C$ tres eventos de un mismo experimento aleatorio tales que:

• $A$ y $B$ son independientes.

• $A$ y $C$ son incompatibles.

• $P(A) = 0,4$; $P(B) = 0,5$ y $P(C) = 0,2$.

Calculá detalladamente aplicando las propiedades de la probabilidad:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cup C)$
3. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$
4. d) $P((A \cup B) \cap C)$ sabiendo además que $B$ y $C$ son independientes.

En una prestigiosa academia de música, el $60\%$ de los alumnos toca el piano ($P$), el $45\%$ toca el violín ($V$) y el $20\%$ no toca ninguno de estos dos instrumentos. Se selecciona un alumno al azar.

1. a) Determina la probabilidad de que toque ambos instrumentos.
2. b) Si sabemos que el alumno seleccionado toca el violín, ¿cuál es la probabilidad de que no toque el piano?
3. c) Se eligen tres alumnos al azar de forma independiente. Calcula la probabilidad de que al menos uno de ellos toque el piano pero no el violín.

Demostrá razonadamente, utilizando las Leyes de Morgan y las propiedades axiomáticas de la probabilidad, la siguiente igualdad para dos eventos cualesquiera $A$ y $B$:

$$P(\bar{A} \cap \bar{B}) - P(\bar{A}) = P(B) - P(A \cup B)$$

Posteriormente, interpretá qué significa esta igualdad en términos de la relación entre los eventos $A$ y $B$ cuando el resultado es igual a cero.

Un laboratorio de diagnóstico analiza muestras de agua para detectar una bacteria específica. Se sabe que el $5\%$ de las fuentes de una región están contaminadas ($C$). El test utilizado tiene una probabilidad de dar un falso positivo (dar positivo cuando no hay bacteria) del $2\%$, y una probabilidad de dar un falso negativo (dar negativo cuando sí hay bacteria) del $1\%$.

1. a) Construye el diagrama de árbol correspondiente a esta situación.

1. b) Calcula la probabilidad de que el test resulte positivo ($+$).

1. c) Si el test de una fuente ha dado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté contaminada? Comenta el resultado obtenido desde el punto de vista de la fiabilidad del test.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un torneo de e-sports, un equipo tiene que superar tres fases eliminatorias consecutivas para ganar el premio. Las probabilidades de superar cada fase son dependientes del éxito en la anterior debido a la fatiga acumulada:

• La probabilidad de superar la Fase 1 es $P(F_1) = 0,8$.

• Si superan la Fase 1, la probabilidad de superar la Fase 2 es $P(F_2/F_1) = 0,7$.

• Si no superan la Fase 1, quedan eliminados automáticamente (obviamente no hay Fase 2).

• Si han superado las dos primeras fases, la probabilidad de ganar la Fase 3 es $P(F_3 / F_1 \cap F_2) = 0,5$.

Calcula:

1. a) La probabilidad de que el equipo sea eliminado exactamente en la Fase 2.
2. b) La probabilidad de que el equipo gane el torneo (supere las tres fases).
3. c) Sabiendo que el equipo no ha ganado el torneo, ¿cuál es la probabilidad de que ni siquiera superara la primera fase?