Ejercicios: Función lineal; inversa; raíz; a trozos; valor absoluto

Una plataforma de streaming de videojuegos ofrece una suscripción mensual que consiste en una cuota fija de $\$12\,000$ al mes más un costo adicional de $\$500$ por cada hora de juego en la "nube".

1. a) Escribí la expresión algebraica de la función $f(x)$ que relaciona el costo mensual con el número de horas jugadas $x$.
2. b) Indicá cuál es la pendiente ($m$) y la ordenada al origen ($n$) de esta función.
3. c) ¿Cuánto pagará un estudiante que haya jugado $20$ horas en un mes?

Calculá la función inversa de la siguiente función lineal, que representa la conversión de una moneda virtual en un juego a pesos:

$f(x) = \dfrac{x - 100}{50}$

Seguí los pasos aprendidos en clase:

1. Sustituí $f(x)$ por $y$.

2. Despejá la variable $x$ en función de $y$.

3. Intercambiá las variables para obtener $f^{-1}(x)$.

El diseño de una nueva rampa para un parque de skate sigue la forma de una función raíz cuadrada. Para que la estructura sea estable, el ingeniero debe calcular su dominio de definición.

Halla el dominio de la función:

$f(x) = \sqrt{2x - 8}$

Recuerda que para las funciones con raíces de índice par, el radicando debe ser mayor o igual a cero.

Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \dfrac{4}{x}$, realiza las siguientes tareas:

1. a) Completa la tabla de valores para $x = \{-4, -2, -1, 1, 2, 4\}$.
2. b) Indica cuáles son las asíntotas de la función.
3. c) Explica razonadamente por qué el valor $x = 0$ no pertenece al dominio de esta función.

Un joven emprendedor vende remeras personalizadas por internet. Decidió aplicar un descuento por volumen de compra, definiendo el precio total mediante la siguiente función por tramos:

$f(x) = \begin{cases} 15x & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 12x + 15 & \text{si } x > 5 \end{cases}$

Donde $x$ es el número de remeras compradas.

1. a) ¿Cuánto costará comprar $4$ remeras?
2. b) ¿Cuál es el precio de un pedido de $10$ remeras?
3. c) ¿Es la función continua en el punto de ruptura $x = 5$? Justificá tu respuesta calculando el valor de la función en ese punto por ambos tramos.

Representa gráficamente la función de valor absoluto $f(x) = |x + 2|$.

Para ello:

1. Identifica el vértice de la función (el valor de $x$ que hace que el interior del valor absoluto sea cero).

2. Crea una tabla de valores con dos puntos a la izquierda y dos a la derecha del vértice.

3. Dibuja la gráfica resultante en unos ejes cartesianos, marcando el vértice y los puntos de la tabla.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dadas las funciones $f(x) = 2x - 3$ y $g(x) = x^2 + 1$, calcula las siguientes composiciones de funciones:

1. a) $(g \circ f)(x)$ [Recuerda que esto es $g(f(x))$]
2. b) $(f \circ g)(x)$ [Recuerda que esto es $f(g(x))$]
3. c) Evalúa el resultado de $(g \circ f)(2)$.

Observa la siguiente gráfica que muestra la relación entre la temperatura de un invernadero y la hora del día.

1. a) Determina el dominio y el recorrido de la función basándote en la imagen.
2. b) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
3. c) ¿A qué hora se alcanza la temperatura máxima y cuál es dicho valor?

Un servicio municipal de alquiler de monopatines eléctricos quiere modelar sus costos. El costo total diario de operación $C(x)$ (en pesos) depende de los kilómetros recorridos en conjunto por la flota $x$ y sigue una función lineal. Se sabe que un día que los monopatines recorrieron $20$ km el costo fue de $15\,000$ pesos, y otro día con $50$ km recorridos el costo ascendió a $30\,000$ pesos.

1. a) Determiná la expresión analítica de la función $C(x)$.
2. b) Identificá y explicá el significado de la pendiente y de la ordenada al origen en el contexto del problema.
3. c) Si el presupuesto máximo diario es de $50\,000$ pesos, ¿cuántos kilómetros pueden recorrer como máximo?

La municipalidad de una localidad estableció una nueva tarifa para el consumo de agua orientada al ahorro. El costo mensual $f(x)$ en pesos por $x$ metros cúbicos consumidos se define mediante la siguiente función por tramos:

$$f(x) = \begin{cases} 800x + 12.000 & \text{si } 0 \leq x \le 15 \\ 1.200x + k & \text{si } x > 15 \end{cases}$$

1. a) Hallá el valor de $k$ para que la tarifa sea continua en el punto de cambio de tramo (para que no haya saltos bruscos en la factura).
2. b) Representá gráficamente la función resultante.
3. c) ¿Cuánto pagará una familia que consume $22$ $m^3$ al mes?

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{2x - 5}{x - 3}$:

1. a) Calcula su dominio de definición.
2. b) Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
3. c) Determina la función inversa $f^{-1}(x)$.
4. d) Comprueba que $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

Un dron de vigilancia forestal analiza el terreno siguiendo una trayectoria cuya altura respecto al suelo viene dada por la función $h(x) = \sqrt{2x + 8}$, donde $x$ es la distancia horizontal desde la base de operaciones, en kilómetros, y $h(x)$ es la altura, en hectómetros.

1. a) Determina el dominio de definición de la función en este contexto (ten en cuenta qué valores de $x$ tienen sentido como distancia).

1. b) Calcula la tasa de variación media (TVM) de la altura en el intervalo $[0, 4]$.

1. c) ¿A qué distancia de la base el dron alcanza una altura de $4$ hectómetros?

Representa gráficamente la función $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$. Para ello, sigue estos pasos:

1. a) Representa la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ hallando su vértice y puntos de corte con el eje $OX$.
2. b) Aplica la definición de valor absoluto para expresar $f(x)$ como una función definida a trozos.
3. c) Indica los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un laboratorio de química, la concentración de un reactivo en una solución (en mg/L) en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la función de proporcionalidad inversa:

$$C(t) = \dfrac{40}{t + 2}$$

1. a) ¿Cuál es la concentración en el instante inicial $t=0$?
2. b) Representa la función para valores de $t \ge 0$.
3. c) ¿Es posible que la concentración llegue a ser de $0$ mg/L? Justifica tu respuesta analizando la asíntota horizontal de la función.
4. d) ¿En qué momento la concentración es de exactamente $5$ mg/L?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Calcula el dominio de las siguientes funciones y clasifica sus posibles puntos de discontinuidad:

1. a) $g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$

1. b) $h(x) = \sqrt{x^2 - 9}$

En cada caso, justifica tus respuestas: plantea qué condición debe cumplirse para que la función esté definida, factoriza cuando sea necesario y, para cada punto de discontinuidad, estudia el límite correspondiente para decidir si es evitable, de salto o de asíntota (infinita).

Una plataforma de venta online de videojuegos ofrece un descuento que depende del gasto total $x$ realizado. La función que describe el importe final a pagar $G(x)$ tras aplicar el descuento es:

$$G(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 \leq x < 30 \\ 0,8x + 6 & \text{si } x \ge 30 \end{cases}$$

1. a) Estudia si la función es continua en $x = 30$. ¿Qué significa este resultado para el comprador?
2. b) Representa la función gráficamente.
3. c) Si un usuario ha pagado $54$ pesos, ¿cuál era el precio original de su compra antes del descuento?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un taller de impresión 3D determinó que el costo de producción mensual (en miles de pesos) está dado por la función $C(x)$, donde $x$ representa el número de lotes producidos. Por razones logísticas, la estructura de costos cambia al superar los 10 lotes:

$$C(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 20 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ \sqrt{bx + 100} + 40 & \text{si } x > 10 \end{cases}$$

Se pide:

1. Determiná los valores de $a$ y $b$ para que la función de costos sea continua en todo su dominio, sabiendo que si no se produce nada el costo es de 20.000 pesos y que si se producen 10 lotes el costo es de 120.000 pesos.

2. Una vez hallados $a$ y $b$, analizá si existe algún nivel de producción en el segundo tramo para el cual el costo se estabilice en un valor fijo.

Estudia analíticamente el dominio de definición de la siguiente función que combina radicales y fracciones algebraicas:

$$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 5x + 6}{x + 4}}$$

Para ello, deberás resolver la inecuación racional resultante y expresar el dominio final utilizando la notación de intervalos. Justifica si los extremos de los intervalos deben estar incluidos o excluidos basándote en la definición de la función.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 3}$:

1. a) Halla su función inversa $f^{-1}(x)$.

1. b) Demuestra analíticamente que la composición $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

1. c) Representa ambas funciones en el mismo plano cartesiano y dibuja la recta de simetría $y = x$. Indica las coordenadas de los puntos donde la función y su inversa coinciden (puntos invariantes).

Una aplicación de gestión de carteras de inversión utiliza una función para modelar el riesgo en función del tiempo de exposición $t$ (en meses). La función de riesgo acumulado es:

$$R(t) = |t^2 - 6t + 5|$$

Se solicita:

1. Expresa la función $R(t)$ como una función definida a trozos sin usar valores absolutos.

2. Esboza su gráfica e identifica los momentos en los que el riesgo es nulo.

3. Determina los intervalos de tiempo, dentro de los primeros 6 meses, en los que el riesgo es estrictamente creciente.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Halla la expresión analítica de la función $f(x) = |x + 2| + |x - 3|$. Para ello:

1. a) Divide la recta real en los intervalos definidos por las raíces de los argumentos de los valores absolutos.

1. b) Escribe la función resultante como una función definida a trozos, con la expresión de $f(x)$ en cada intervalo.

1. c) Represéntala gráficamente. ¿Qué nombre recibe este tipo de función, formada por tramos de rectas? ¿Cuál es su valor mínimo absoluto?

En un estudio de mercado, se han analizado los precios de un producto en tres momentos distintos:

• En el mes 1, el precio era de 10.000 pesos.

• En el mes 3, el precio subió a 18.000 pesos.

• En el mes 5, el precio se situó en 22.000 pesos.

Se pide:

1. Utiliza la interpolación cuadrática (método de Newton o sistema de ecuaciones) para hallar la función $P(t)$ que mejor se ajusta a estos datos.

2. Estima mediante extrapolación el precio esperado para el mes 7.

3. Discute si este modelo es razonable a largo plazo analizando el vértice de la parábola obtenida.

Las funciones de oferta ($O$) y demanda ($D$) de un modelo de auriculares inalámbricos están dadas por las siguientes expresiones, donde $p$ es el precio en pesos:

$$O(p) = \frac{1}{2}p - 10$$ $$D(p) = \frac{800}{p}$$

1. Determiná el punto de equilibrio del mercado (precio y cantidad de unidades).

2. Si el gobierno impone un precio máximo de 30 pesos, ¿se producirá un exceso de oferta o un exceso de demanda? Calculá dicha diferencia.

3. Representá gráficamente ambas funciones en el primer cuadrante identificando las asíntotas de la función de demanda.

Dada la función $f(x) = \sqrt{x + 1}$, se pide:

1. Hallar su función inversa $f^{-1}(x)$, especificando claramente el dominio y el recorrido de ambas.

2. Considera ahora una nueva función $g(x) = f(x - 3) + 2$. Explica detalladamente qué transformaciones geométricas (traslaciones horizontales y verticales) se han aplicado a la función raíz original para obtener $g(x)$.

3. Escribe la expresión analítica de $g(x)$ y calcula su punto de corte con el eje de ordenadas, si existe.