Ejercicios: Concepto

Un creador de contenido analiza la evolución de sus seguidores en una red social durante la última semana. El número de seguidores $S$ en función del día $t$ viene dado por la expresión $S(t) = t^2 + 10t + 500$. Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de sus seguidores entre el día $t=1$ y el día $t=4$. Explica con tus palabras qué significa el resultado obtenido en el contexto del problema.

Observa la siguiente gráfica, que representa la evolución del precio de una criptomoneda en una mañana. Lee en ella los valores de $f(1)$ y $f(5)$ y calcula la Tasa de Variación Media en el intervalo $[1, 5]$, interpretándola como la pendiente de la recta secante que pasa por esos dos puntos.

La velocidad de un monopatín eléctrico durante los primeros segundos de un trayecto sigue la función $v(t) = 0,5t^2 + 2$, donde $v$ es la velocidad en m/s y $t$ el tiempo en segundos.

1. a) Calculá la TVM en los intervalos $[2, 3]$ y $[2, 2,1]$.
2. b) ¿A qué valor creés que se aproxima la variación cuando el intervalo es cada vez más pequeño alrededor de $t=2$?

Dada la función lineal $f(x) = 4x - 3$, utiliza la definición de derivada en un punto mediante el límite:

para calcular el valor de la derivada en el punto $x=2$. Comprueba si el resultado coincide con la pendiente de la recta.

Asocia cada uno de los puntos marcados en la gráfica ($A$, $B$ y $C$) con el signo de la derivada de la función en ese punto (positiva, negativa o cero). Justifica tu respuesta dibujando mentalmente la recta tangente en cada punto.

Una pequeña empresa de fabricación de fundas para celulares estimó que sus costos diarios (en pesos) dependen del número de unidades fabricadas $x$ según la función $C(x) = x^2 - 4x + 100$.

Calculá la Tasa de Variación Instantánea del costo cuando se producen exactamente 5 unidades, aplicando la definición de derivada:

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 + 1$ en el punto de abscisa $x=1$, sabiendo que el valor de la derivada en ese punto es $f'(1) = 2$.

(Recuerda que la ecuación de la recta tangente es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$).

Calcula, mediante la definición de límite, la función derivada de la función constante $f(x) = 7$. Basándote en la interpretación geométrica de la derivada como "tasa de cambio" o "pendiente", explica por qué tiene sentido que el resultado sea $0$.

Una plataforma de streaming ha analizado el crecimiento de sus suscriptores durante los primeros meses del año. La función que estima el número de suscriptores (en miles) viene dada por $S(t) = t^2 + 2t + 10$, donde $t$ es el tiempo medido en meses desde el inicio del año ($t=0$ es el 1 de enero).

1. a) Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) del número de suscriptores entre el segundo mes ($t=2$) y el quinto mes ($t=5$).
2. b) Explica el significado del resultado obtenido en el contexto del problema.
3. c) ¿Sería correcto afirmar que la plataforma ganó exactamente esa cantidad de suscriptores cada mes durante ese periodo? Razona tu respuesta.

Calcula, utilizando estrictamente la definición de derivada en un punto (mediante el límite cuando $h \to 0$), el valor de $f'(3)$ para la función:

La siguiente gráfica muestra el perfil de una montaña rusa en un tramo específico. Se sabe que la pendiente de la vía en un punto determina la sensación de aceleración de los pasajeros.

Basándote en el concepto geométrico de la derivada:

1. a) ¿Es nula la derivada en alguno de los tres puntos señalados ($A$, $B$ o $C$)? ¿Qué significa que la derivada sea nula respecto a la inclinación de la vía?
2. b) Indica si la derivada en el punto $B$ es positiva o negativa. Justifica si la vagoneta está subiendo o bajando en ese instante.
3. c) Ordena de menor a mayor los valores de las derivadas en los puntos $A, B$ y $C$.

Dada la función $f(x) = \frac{4}{x}$, se pide:

1. a) Hallar la Tasa de Variación Instantánea (TVI) en el punto de abscisa $x = 2$ utilizando el límite de la Tasa de Variación Media.
2. b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto $x = 2$.

Un pequeño comercio de ropa estimó que sus beneficios diarios (en pesos) dependen de la cantidad de artículos rebajados ($x$) según la función $B(x) = -x^2 + 40x - 300$.

1. a) Calculá la función derivada $B'(x)$ utilizando las reglas de derivación.
2. b) Calculá $B'(15)$ y $B'(25)$.
3. c) Interpretá los resultados del punto anterior: ¿le conviene al comerciante aumentar la cantidad de artículos rebajados si actualmente tiene 15? ¿Y si tiene 25? Razoná tu respuesta usando el concepto de variación instantánea.

El concepto de derivada permite aproximar el valor de una función cerca de un punto conocido. Observa el siguiente esquema donde se muestra una función y su recta tangente en el punto $P(1, 2)$.

Si sabemos que la ecuación de la recta tangente naranja es $y = 3x - 1$:

1. a) ¿Cuál es el valor de la derivada de la función en $x = 1$? Justifica tu respuesta.
2. b) Si quisiéramos saber el valor de la función en $x = 1,1$, ¿qué valor obtendríamos si usáramos la recta tangente para aproximarlo?
3. c) ¿Crees que para $x = 5$ la recta tangente seguiría siendo una buena aproximación de la función? Explica por qué.

Se dice que una función es "derivable" en un punto si su gráfica no presenta saltos ni picos angulosos en ese lugar. Analiza la siguiente función definida a trozos:

1. a) Comprueba si la función es continua en $x = 1$.
2. b) Calcula las derivadas laterales en $x = 1$ (es decir, la derivada de cada tramo en ese punto).
3. c) A partir de los resultados anteriores, ¿es la función derivable en $x = 1$? Justifica tu respuesta relacionando la continuidad y la existencia de las derivadas laterales.

Encuentra los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$ en los que la recta tangente es horizontal.

Ayuda: Recuerda qué valor debe tener la pendiente (y por tanto la derivada) para que una recta sea horizontal.

El número de seguidores de un canal de streaming de videojuegos sigue la función $S(t) = 2t^2 - 4t + 500$, donde $t$ es el tiempo en meses.

1. a) Calcula la Tasa de Variación Media ($TVM$) en el intervalo genérico $[2, 2 + h]$.
2. b) Utilizando el resultado anterior, deduce el valor del límite cuando $h \to 0$. ¿Qué representa físicamente ese valor para el streamer en el mes $t = 2$?
3. c) ¿Existe algún valor de $h$ para el cual la $TVM$ en el intervalo $[2, 2 + h]$ sea igual a $10$ seguidores/mes?

Calcula, utilizando estrictamente la definición de derivada como un límite, la función derivada de:

A partir del resultado obtenido, determina las coordenadas del punto o puntos de la gráfica donde la pendiente de la recta tangente es exactamente $-3$. Explica por qué no pueden existir puntos donde la pendiente de la tangente sea positiva.

En un festival de aerostación, la altura de un globo aerostático (en metros) respecto al tiempo (en segundos) desde que inicia el ascenso viene dada por la función $H(t) = \sqrt{t + 4}$. La figura muestra su gráfica durante los primeros 12 segundos.

1. a) Calcula la derivada $H'(t)$ aplicando la definición de límite.
2. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la trayectoria en el instante $t = 5$.
3. c) Por seguridad, el reglamento del festival exige que el globo no supere una velocidad de ascenso de $0,25$ m/s. Determina en qué instante la velocidad instantánea es exactamente ese valor.

Estudiá la derivabilidad de la siguiente función en el punto $x = 2$. Para que la función represente el costo de producción de un nuevo componente electrónico de forma suave (sin saltos ni picos), determiná los valores de los parámetros $a$ y $b$:

Recordá que para que sea derivable en $x = 2$, primero debe ser continua en dicho punto.

Halla los puntos de la curva $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ en los que la recta tangente es paralela al eje de abscisas. Una vez hallados, utiliza la interpretación de la derivada para razonar si en esos puntos la función presenta un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de inflexión, analizando el signo de la derivada en las cercanías de dichos puntos.

Se sabe que la función de ingresos de una cooperativa agrícola es $I(x) = -x^2 + 12x$, donde $x$ son las toneladas de producto vendidas.

1. a) Calcula la función derivada $I'(x)$ e interprétala como el "Ingreso Marginal" (el ingreso aproximado por vender una unidad adicional).
2. b) Demuestra que el ingreso es máximo cuando el Ingreso Marginal es igual a cero.
3. c) ¿Qué ocurre con la función de ingresos si la derivada es negativa? Justifica tu respuesta en términos de crecimiento y decrecimiento.

Dada la función $f(x) = |x^2 - 4|$, analiza su derivabilidad en los puntos $x = 2$ y $x = -2$. La figura muestra su gráfica.

1. a) Expresa la función como una función definida a trozos.

1. b) Calcula las derivadas laterales en $x = 2$ utilizando la definición de límite. (En $x = -2$ el razonamiento es análogo, por la simetría de la gráfica.)

1. c) Explica gráficamente qué sucede en esos puntos (concepto de "punto anguloso") y por qué la derivada no existe a pesar de que la función es continua.

Considera la función $f(x) = ax^2 + bx + c$. Determina los valores de $a$, $b$ y $c$ sabiendo que:

1. La gráfica de $f(x)$ pasa por el punto $(0, 5)$.

2. La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 1$ es la recta $y = 2x + 1$.

3. Utiliza la derivada para comprobar si el vértice de la parábola resultante se encuentra a la izquierda o a la derecha del eje $Y$.